NDVwWO28D2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

––––––––––––––––––––––––––––––––––––

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к лабораторным работам

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2014

1

УДК 681.51. 681.3

Проектирование оптимальных систем управления: методич. указания к лаб. работам / сост.: А. С. Ветчинкин, В. А. Зуев. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ

«ЛЭТИ», 2014. 38 с.

Содержат базовые теоретические сведения по процедурам проектирования оптимальных систем управления. Приведены практические рекомендации к построению оптимальных алгоритмов управления.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 220400.68 «Управление в технических системах».

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014

2

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных разделов дисциплины «Проектирование оптимальных систем управления» является выбор математического метода решения задачи оптимизации и соответствующего программного обеспечения.

Настоящие лабораторные работы предназначены для формирования у студентов навыков решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Поскольку в соответствии с принципом максимума оптимальное управляющее воздействие рассматривается как решение некоторой системы дифференциальных уравнений, то одной из задач лабораторных работ является напомнить студентам основные положения теории таких уравнений. Рассмотренные в методических указаниях примеры решения дифференциальных уравнений выполнены с применением метода преобразования Лапласа. Использованный метод решения дифференциальных уравнений имеет некоторые преимущества перед классическим методом. Во-первых, метод преобразования Лапласа оперирует понятиями начальных условий, которые определены и в связи с принципом максимума. Понятие начальных условий имеет гораздо больше физических аналогий, чем постоянные интегрирования в классическом методе. Кроме того метод преобразования Лапласа тесно связан с такими, часто используемыми в теории автоматического управления понятиями как передаточные функции и частотные характеристики.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений, возникающих при решении задач оптимального управления на основе принципа максимума, как правило, связано со значительными трудностями. Их причинами являются сложность практически важных моделей объектов управления и необходимость удвоения порядка рассматриваемых уравнений (по сравнению с порядком объекта управления) за счет необходимости учета сопряженных переменных. Практические результаты, как правило, получаются путем применения численных методов.

Основная задача, решаемая численными методами, заключается в поиске начальных условий для системы сопряженных уравнений. Кроме того, в процессе поиска возникает необходимость решения системы дифференциальных уравнений.

3

Следовательно, решение задачи оптимального управления подразумевает знакомство студентов с методами поиска и численными методами решения дифференциальных уравнений. В связи с этим задания на лабораторные работы составлено таким образом, чтобы студенты смогли проявить навыки применения численных методов поиска и решения дифференциальных уравнений при решении конкретных задач оптимизации. Кроме того, предусмотрены лабораторные работы, направленные на изучение собственно методов поиска и методов численного решения дифференциальных уравнений.

Рассмотренные в методических указаниях примеры ориентируют студентов на использование упомянутых ранее численных методов, реализованных в среде математического пакета программ MATLAB.

1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Аналитическое решение дифференциального уравнения 1-го порядка методом преобразования Лапласа

Преобразованием Лапласа функции времени f (t) , называется функция F (s) комплексной переменной σ + iω, такая, что

Удобство использования этого преобразования для решения дифференциальных уравнений заключается в том, что после преобразования по Лапласу дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Причиной описанного изменения свойств уравнений при использовании преобразования Лапласа являются следствия (1.1):

Таким образом, процесс решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа заключается в выполнении следующих шагов:

∙ преобразование исходного дифференциального уравнения в алгебраическое;

4

∙нахождение решения алгебраического уравнения;

∙определение решения дифференциального уравнения с помощью обратного преобразования Лапласа, применяемого к полученному ранее решению алгебраического уравнения.

Под обратным преобразованием Лапласа понимается следующее соотношение:

При выполнении практических расчетов, требующих решения дифференциальных уравнений, используются таблицы преобразования Лапласа, которые позволяют выполнять операции прямого и обратного преобразований без выполнения операций интегрирования, предусмотренных выражениями (1.1) и (1.3)

Для примера рассмотрим решение следующего дифференциального уравнения первого порядка:

dxdt = −2x, x (0) = 3.

После преобразования по Лапласу в соответствии с (1.2) получаем алгебраическое уравнение

После применения табличного соотношения к нашему случаю получаем искомое решение дифференциального уравнения:

x (t) = 3e−2t.

Приведенный пример решения дифференциального уравнения показывает, что метод преобразования Лапласа представляет собой формализованную процедуру, достаточно просто реализуемую при выполнении практических расчетов.

5

1.2. Аналитическое решение дифференциального уравнения 2-го порядка методом преобразования Лапласа

1.2.1. Вещественные корни характеристического уравнения

Допустим, что задана система дифференциальных уравнений и соответствующие ей начальные условия для переменных:

В результате преобразования заданной системы дифференциальных уравнений по Лапласу получается следующая система алгебраических уравнений:

Для удобства применения обратного преобразования Лапласа к выражениям (1.7) эти дробно-рациональные выражения следует разложить на простейшие дроби. Далее рассматривается процедура разложения на простейшие дроби, основанная на методе неопределенных коэффициентов.

6

С помощью неизвестных коэффициентов A1 и B1 выражение для x1(s) может быть представлено в виде суммы простейших дробей вида:

Система уравнений для неизвестных коэффициентов A2 и B2 :

x20 = A2 + B2, −2x10 = 2A2 + B2.

Выражения для неизвестных коэффициентов:

B2 = 2x10 + 2x20,

A2 = −2x10 − x20.

7

В соответствии с таблицей преобразования Лапласа на основании выражений (1.11) и (1.12) можно получить решения системы уравнений (1.5) как функций времени:

x1(t) = (2x10 + x20)e−t − (x10 + x20)e−2t,

x2 (t) = (−2x10 − x20)e−t + (2x10 + 2x20)e−2t.

1.2.2. Комплексные корни характеристического уравнения

Допустим, что задана система дифференциальных уравнений и соответствующие ей начальные условия для переменных:

В результате преобразования заданной системы дифференциальных уравнений по Лапласу получается следующая система алгебраических уравнений:

sx1 − x2 = x10,

2x1 + (s + 2) x2 = x20. (1.14)

Правило Крамера позволяет записать решение системы алгебраических уравнений (1.14) в следующем виде:

8

Выражения (1.16) позволяют записать x1(s) и x2 (s) в дробнорациональном виде:

слагаемые, которой соответствуют следующим табличным выражениям:

полученное разложение дробно-рациональной функции позволяет представить оригинал x1(s) в следующем виде:

1

Сопоставление выражений (1.17) и (1.18) позволяет получить следующую систему уравнений для коэффициентов разложения A1 и B1 :

B1 = x10, (1.20)

A1 + B1 = 2x10 + x20.

Подстановка решения системы уравнений (1.19) в (1.20) позволяет получить окончательное выражение для x1(t) :

x1(t) = (x10 + x20)e−t sin (t) + x10e−t cos(t).

Выражение для x2 (t) может быть получено в результате аналогичных преобразований:

x2 (t) = -(2x10 + x20)e−t sin (t) + x20e−t cos(t).

Полученные выражения для x1(t) и x2 (t) показывают, что в случае

комплексных корней характеристического уравнения решения дифференциального уравнения содержат гармонические функции времени.

9

1.3.Численное решение дифференциального уравнения (см. 1.1)

спомощью функции ODE45 из MATLAB

Программа, предназначенная для численного решения дифференциального уравнения, в среде MATLAB должна состоять из двух скриптов. В первом скрипте выполняется вызов функции ODE45 и выполняется формирование графиков переходных процессов на основании данных, полученных в результате работы ODE45. Во втором скрипте реализуется функция, обеспечивающая вычисление значений правых частей решаемого уравнения.

Файл Main1.m (вызов ODE45)

[t,y]=ode45('odefun1’,[0 3],1);

%При вызове ODE45 используются следующие параметры:

%odefun1 – имя файла-функции, которая вычисляет значения

%правой части решаемого дифференциального уравнения

%[0 3] – значения границ временного интервала, в котором

%ищется решение дифф. ур-ния

%Построение графика переходного процесса

plot(t,y);

Файл Odefun1.m (вычисление правых частей)

function f=odefun1(t,y)

%При вызове рассматриваемой функции из ODE45, ей передаются

%через фактические параметры текущие значения t и y, по

%которым производится вычисление значения правой части

%дифференциального уравнения, которое присваивается

%возвращаемому значению f

f=-2*y;

1.4.Численное решение дифференциального уравнения (см. 1.2.1)

спомощью функции ODE45 из MATLAB

Скрипты, приведенные в настоящем разделе, аналогичны соответствующим скриптам из 1.3. Для расширения функциональности головной скрипт дополнен операторами, которые позволяют исследовать влияние начальных условий на вид графиков переходных процессов.

Файл Main2.m (вызов ODE45)

%exp(-t) and exp(-2*t)

x10=1;

x20=1;

10