1284

90

А

jQ

Qi Ai

в)

Рисунок 2.46 – Амплитудно-частотная (а), фазо-частотная (б) и ампли- тудно-фазовая (в) характеристики

Рассмотрим временные и частотные характеристики основных динамических звеньев.

Безынерционное звено описывается уравнением:

хвых = k хвх,

где k – коэффициент передачи (усиления) звена. Передаточная функция этого звена постоянна:

W(p) = k.

К безынерционным звеньям можно отнести (рисунок 2.47, а, б) делитель напряжения, операционный усилитель, постоянная времени которого пренебрежимо мала, и т.д. Переходная функция безынерционного звена явля-

ется ступенчатой (рисунок 2.47, в): xвыx = h(t) = kl(t).

Фазовые сдвиги в безынерционном звене отсутствуют при любой частоте входного сигнала, т.е. = 0. Поэтому ФЧХ этого звена совпадает с осью частот и, следовательно, может не учитываться при расчетах.

Апериодическое звено описывается уравнением:

(Tp + 1) хвых = k хвх,

где Т – постоянная времени звена.

Передаточная функция этого звена записывается как:

91

в)

Рисунок 2.47 – Примеры безынерционных звеньев

Примерами такого типа звена могут быть RC- и RL-цепи, изображенные на рисунке 2.48, а, б. Переходная функция апериодического звена описывается уравнением экспоненты (рисунок 2.48, в):

Величина отрезка, отсекаемая на асимптоте касательной к экспоненте при t = 0, равна постоянной времени Т. Причем касательную можно провести из любой точки экспоненты, перенося в эту же точку начало координат. Практически время переходного процесса считается равным примерно трем

постоянным времени, т.е. tП 3T, а в более точных расчетах tП = 4T 5T.

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением:

(T2p2 + 2сTp + 1) хвых = k хвх,

где с – параметр затухания, 0 < с < 1. Передаточная функция этого звена:

92

в)

Рисунок 2.48 – Примеры апериодических звеньев

Примером колебательного звена могут быть RLC-цепи (рисунок 2.49, а). Переходная функция колебательного звена (рисунок 2.49, б) описывается выражением:

Рисунок 2.49 – Примеры колебательных звеньев

93

Интегрирующее звено описывается дифференциальными уравнениями:

dxвых kxвх или pxвых = kxвх.

dt

Выходной параметр можно определить из уравнения с помощью интегрирования:

t

xвых k xвх dt .

0

Передаточная функция этого звена записывается как:

W ( p) kp .

К интегрирующим звеньям можно отнести примеры, приведенные на рисунке 2.50, а, б: RС-цепь, интегрирующий операционный усилитель и т. д. Переходная функция рассматриваемого звена (рисунок 2.50, в) записывается как:

хвых = h(t) = kt.

в)

Рисунок 2.50 – Примеры интегрирующих звеньев

Дифференцирующее звено описывается уравнениями:

94

xвых kdxвых или xвых = kpxвх.

dt

Передаточная функция этого звена записывается как:

W(p) = kp. (2.12)

Дифференцирующие звенья с такой передаточной функцией называются идеальными. Реально дифференцирующие звенья чаще всего применяются в системах управления в качестве корректирующих цепей и имеют в большинстве случаев передаточную функцию следующего вида:

К таким звеньям можно отнести (рисунок 2.51, а, б) дифференцирующие RС-цепи, дифференцирующие трансформаторы и т.д. Переходная функция реального дифференцирующего звена описывается выражением (рисунок

2.51, в):

t

xвых h(t) ke T . T

в)

Рисунок 2.51 – Примеры дифференцирующих звеньев

95

Нетрудно заметить, что реальное дифференцирующее звено представляет собой два последовательно включенных звена: идеальное дифференцирующее (2.12) и апериодическое (2.11).

Из рассмотренных типовых звеньев элементарными являются безынерционное, интегрирующее и дифференцирующее. Все другие звенья можно сформировать из элементарных путем соответствующего соединения их между собой.

Звенья, у которых переходная функция со временем затухает, называются устойчивыми. Типовые звенья всегда устойчивы. Их действие описывается линейными дифференциальными уравнениями с положительными коэффициентами. Исключение составляет интегрирующее звено, которое, исходя из условий устойчивости, называют нейтральным. В неустойчивых звеньях переходный процесс является расходящимся. Действие этих звеньев описывается линейными дифференциальными уравнениями с отрицательными коэффициентами. Примерами неустойчивых звеньев являются звенья с передаточными функциями:

Для устойчивых и неустойчивых звеньев одного типа АЧХ одинаковы, а ФЧХ различны. На одной и той же частоте вынужденных колебаний сдвиг фаз в устойчивом звене по абсолютной величине меньше, чем в неустойчивом, поэтому устойчивые звенья являются минимально-фазовыми, а неустойчивые – неминимально-фазовыми. Важно также отметить, что ФЧХ типовых звеньев не зависит от коэффициентов передачи этих звеньев.

При исследовании системы управления ее можно разбить на комбинацию динамических звеньев с определенными передаточными функциями. В простейшем случае считается, что динамические звенья направленные и независимые, т.е. такие, сигналы которых проходят только от входа к выходу. Подключение последующих звеньев не влияет на характер переходных и устанавливающихся процессов в предыдущих звеньях. Следовательно, исходные уравнения звеньев и их передаточные функции останутся неизменными. В системах управления используются следующие соединения динами-

ческих звеньев: последовательное, параллельное и соединение обратной связью.

При последовательном соединении звеньев (рисунок 2.52, а) выходной сигнал предыдущего звена является входным сигналом последующего. Результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = W1(p) W2(p) W3(p) …

или

i 1

96

При параллельном соединении (рисунок 2.52, б) на вход всех звеньев подается общий сигнал, на выходе образуется сигнал, являющийся суммой выходных сигналов звеньев. Результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций звеньев:

W(p) = W1(p) + W2(p) + W3(p) …

или

i 1

При соединении обратной связью (рисунок 2.52, в) выходной сигнал первого звена является входным для второго. Причем входной сигнал первого звена образуется в результате сложения или вычитания входного и выходного сигналов второго звена. Результирующая передаточная функция будет описываться выражением:

Знак минус в этой формуле ставится при положительной обратной связи, т.е. при сложении сигналов, а знак плюс – при отрицательной обратной связи, т.е. при вычитании сигналов. Если второе звено отсутствует в цепи обратной связи, то передаточная функция примет вид:

Для систем управления с комбинированным включением звеньев следует использовать формулы (2.13) – (2.15).

Для составления дифференциальных уравнений, которые характеризуют процессы в системах управления, требуется разделить систему на типовые звенья с определенной комбинацией их включения, т.е. составить структурную схему. Количество типовых звеньев, к которым сводится система управления, определяется необходимой точностью ее описания. Например, при наличии двух разных апериодических звеньев с разными постоянными времени, в случае отличия последних друг от друга на порядок или более, можно заменить их одним апериодическим звеном с большей постоянной времени. Если же необходимо уточнить расчет, то следует отказаться от этого упрощения и включить в структурную схему оба исходных апериодических звена. В большинстве случаев системы управления можно привести к последовательному соединению типовых звеньев, образующему замкнутую цепь. Такие системы управления называются одноконтурными. Другие системы управления приводятся к комбинации последовательно и параллельно соединенных типовых звеньев и называются многоконтурными.

98

системы уравнений звеньев необходимо исключить все зависимые переменные, кроме одной. Удобнее это начинать с уравнения для последнего звена системы. Затем подставляют полученные значения переменных и их производных в дифференциальные уравнения предыдущих звеньев. Таким образом, дойдя до первого звена системы управления, получают дифференциальное уравнение с одной переменной, при этом порядок уравнения будет соответствовать числу переменных в системе управления. Обычно звенья в структурной схеме располагаются так, чтобы оставшаяся переменная характеризовала отклонение управляемой величины.

Следует заметить, что в зависимости от сигналов, принятых за входной и выходной, а также от принятых при составлении дифференциальных уравнений допущений один и тот же элемент системы управления можно описать разными уравнениями, а значит, и отобразить различными типовыми звеньями.

Пример анализа системы автоматического регулирования теплового режима микротермостата [6]. По конструктивным признакам микротермо- стат является подогревным, одноконтурным, в интегральном гибриднопленочном исполнении (рисунок 2.53) [14].

1 - выводы; 2 - корпус; 3 - термостатируемая подложка; 4 - термостатируемые ЭРЭ; 5 - теплоизоляция; 6 - нагреватель; 7 – датчик

Рисунок 2.53 - Гибридно-пленочный микротермостат

Структурная схема системы автоматического регулирования (САР) теплового режима микротермостата (рисунок 2.54), представляет собой совокупность электрической и тепловой подсистем. САР подвержена влиянию

внешних воздействий: задающему сигналу по температуре статирования ТЗАД

и возмущающему воздействию температуры среды ТСР. Электрическая подсистема - это схема регулирования температуры, состоящая из трех последовательных звеньев: датчика Д, усилителя УС, нагревателя Н. Тепловая подсистема включает три последовательных звена и параллельное им четвертое звено, которые соответствуют основным конструктивным элементам микро-

99

термостата: датчику Д, термостатируемой подложке П, нагревателю Н, корпусу К. Работа системы направлена на поддержание постоянства температу-

ры подложки ТП (объекта термостатирования).

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОДСИСТЕМА

Рисунок 2.54 - Структурная схема микротермостата

Найдем передаточную функцию рассматриваемой САР. Для электрической подсистемы передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

WЭ(р) = WД_Э(р) WУС(р) WН_Э(р),

где WД_Э(р), WУС(р), WН_Э(р) - передаточные функции соответственно для датчика, усилителя, нагревателя в электрической подсистеме.

Для нахождения передаточной функции тепловой подсистемы воспользуемся правилом переноса воздействий из одной точки в другую [13]. После соответствующего преобразования тепловой подсистемы ее передаточная функция равна:

WТ(р) = WК(р)+WК(р) WД_Т(р)+

WК(р) WД_Т(р) WП(р)+WН_Т(р) WП(р) WД_Т(р),

где WН_Т(р), WП(р), WД_Т(р) - передаточные функции соответственно для нагревателя, подложки, датчика в тепловой подсистеме.

Результирующая передаточная функция САР равна произведению передаточных функций электрической и тепловой подсистем, с учетом того, что тепловая подсистема является контуром обратной связи: