mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Основные понятия

Каждый упорядоченный набор (x1; x2; :::; xm) из m действительных чисел называется точкой m-мерного координатного пространства Rm и обозначается X(x1; x2; :::; xm), числа x1; x2; :::; xm

называются координатами точки X. Если расстояние между точками

A(a1; a2; :::; am) и B(b1; b2; :::; bm) определяется формулой

q

(A; B) = (a1 b1)2 + (a2 b2)2 + ::: + (am bm)2;

то координатное пространство называется евклидовым и обозначается Em.

Пусть дана точка X0 2 Em и некоторое неотрицательное число r: Множество точек

X(x1; x2; : : : ; xm) 2 Em, для которых выполняется неравенство (X; X0) r; называется

m-мерным шаром радиуса r с центром в точке X0: Если неравенство является строгим, то шар называется открытым. Если неравенство заменить на равенство (X; X0) = r, то множество таких точек называется m-мерной сферой.

Открытый шар радиуса " с центром в точке X0 называется "-окрестностью точки

X0 и обозначается O"(X0):

ницей множества D: Множество D; содержащее все свои граничные точки, называется

замкнутым. Множество, полученное присоединением к множеству D всех его граничных точек, называется замыканием множества D и обозначается обычно D: Если все точки множества D являются внутренними, то такое множество называется открытым.

Пример 1.1. Определить является ли множество D; представляющее из себя отрезок, открытым или замкнутым в пространстве: 1) E; 2) E2:

Решение. 1) В первом случае множество D = fx 2 R : x 2 [a; b]g, где a и b некоторые действительные числа (рис. 1.2). В одномерном случае "-окрестность точки x 2 R это интервал (x "; x + "): Если взять любую точку x 2 (a; b); то можно подобрать такое число

"; что O"(x) [a; b]; т. е. любая точка интервала (a; b) является внутренней (рис. 1.3). Точка a является граничной точкой множества D; так как в любой ее окрестности (рис. 1.4) содержатся точки, принадлежащие множеству D (правая полуокрестность), так и точки, не

2

принадлежащие D (левая полуокрестность). Аналогично доказывается, что и точка b является граничной точкой множества D: Точки, лежащие вне отрезка [a; b]; не могут быть по определению внутренними для множества D; так как не принадлежат этому множеству. Не могут они быть и граничными, так как для любой точки x 62[a; b] можно подобрать значение

"; такое что в "-окрестности точки x не будет ни одной точки множества D (рис. 1.5). В итоге, множество D замкнутое, так как содержит обе свои граничные точки.

2) Во втором случае без ограничения общности можно считать, что отрезок лежит на оси абсцисс, т. е. множество D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b]; y = 0g, где a и b некоторые действительные числа (рис. 1.6). В двумерном случае "-окрестность точки M 2 R2 это открытый круг (круг без точек на самой окружности) с центром в точке M. Любая точка M 2 D

является граничной точкой множества D; так как в любой ее окрестности (рис. 1.7) содержатся точки, принадлежащие множеству D, так и точки, не принадлежащие D. Если же точка M 62D, то она не является граничной, так как можно подобрать такую окрестность этой точки, в которой не будет ни одной точки из множества D (рис. 1.8). Следовательно, по определению, множество D замкнутое.

ДЗ: Рассмотреть множество D = [a; b) в E и E2: Определить, какие точки являются внутренними; граничными. Выяснить, является ли множество открытым или замкнутым.

Множество D называется ограниченным, если все его точки лежат внутри некоторого шара. Так, любой отрезок ограниченное множество, прямая неограниченное. Если множество является одновременно ограниченным и замкнутым, то оно называется компактным, или просто компактом.

Далее нам понадобится понятие непрерывной кривой в Em: Пусть функции 'k(t);

k = 1; m непрерывны на некотором отрезке [ ; ]: Непрерывной кривой L в пространстве

Em называется множество

Будем говорить, что точку A(a1; a2; : : : ; am) можно соединить непрерывной кривой с точкой B(b1; b2; : : : ; bm); если существует такая непрерывная кривая L; определяемая парамет-

ризацией (1.1), что

'k( ) = ak; 'k( ) = bk; k = 1; m:

3

4

§2. Предельное значение функции нескольких переменных

Рассмотрим в m-мерном евклидовом пространстве Em последовательность точек fXng1n=1. Теперь, по аналогии с понятием сходящейся числовой последовательности, сформулируем следующее определение. Последовательность точек fXng1n=1 называется сходящейся, если существует точка A 2 Em такая, что

Точка A при этом называется пределом последовательности fXng1n=1. Обозначение такое же, как для числовой последовательности

lim Xn = A; или Xn ! A при n ! 1:

n!1

Теорема 2.1 Последовательность точек fXng1n=1 в m-мерном евклидовом пространстве

Em сходится к точке A 2 Em тогда и только тогда, когда каждая числовая последовательность fx(kn)g1n=1 координат точек Xn сходятся к соответствующим координатам ak

точки A; т. е.

Доказательство. Докажем прямое утверждение. Для этого воспользуемся неравенством, справедливым для любого k

qq

jx(kn) akj = (x(kn) ak)2 (x(1n) a1)2 + : : : + (x(kn) ak)2 + : : : + (x(mn) am)2 = (Xn; A):

Из этого неравенства и условия, что lim Xn = A, и определения (2.1) предела последо-

n!1

вательности точек получим

8" > 0 9N(") : 8n > N(") ) jx(kn) akj (Xn; A) < ":

Тогда, по определению предела числовой последовательности, получили, что для любого

k = 1; m lim x(kn) = ak: Прямое утверждение доказано.

n!1

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть теперь существует предел каждой числовой последовательности, составленной из координат точек Xn; т. е.

8k = 1; m lim x(kn) = ak:

n!1

Тогда, по определению предела числовой последовательности, получим

jx(kn) akj < p"m выполнялись для всех 8k = 1; m. Тогда, при n > N(") получим

Значит, из определения (2.1) следует, что lim Xn = A. Тем самым обратное утверждение

n!1

тоже доказано.

5

В итоге, последовательность точек Xn сходится к точке A(1; 1) при n ! 1:

Перейдем к понятию предела функции нескольких переменных. Как и в случае функции одной переменной, это будет определение по Гейне и определение по Коши.

Пусть функция определена в некоторой выколотой окрестности точки

f(X) O(A) A:

Число b называется (по Гейне) пределом функции f(X) в точке A, если для любой

сходящейся к точке последовательности точек n соответствующая числовая по-

A X 2 O(A)

следовательность значений функции в этих точках ff(Xn)g1n=1 сходится к числу b:

Число b называется (по Коши) пределом функции f(X) в точке A, если

" > 0 (") > 0 : X (A) f(X) b < ":

8 9 8 2 O ) j j

Обозначение: lim f(X) = b:

X!A

Как и для функции одной переменной, определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

ДЗ: Выписать определение по Гейне и по Коши для предела функции нескольких переменных в случае, когда: a) X = 1; b) b = 1:

Теорема 2.2 (критерий Коши существования конечного предела функции)

Для того, чтобы функция f(X) имела конечный предел в точке A 2 Em необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие, называемое условием Коши:

Арифметические операции над пределами функции нескольких переменных

Пусть функции f(X) и g(X) имеют в точке A конечные пределы, равные b1 и b2; соответственно. Тогда справедливы следующие равенства

6

§3. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция f(X) определена в O(A) некоторой окрестности точки A: Если

lim f(X) = f(A);

X!A

то функция f называется непрерывной в точке A: Если функция непрерывна в каждой точке множества D; то она называется непрерывной на множестве D:

Свойства непрерывных функций нескольких переменных

1. (отделимость от нуля)

Если функция f(X) непрерывна в точке A и f(A) 6= 0; то в некоторой окрестности точки

A функция принимает значения, совпадающие по знаку со знаком числа f(A):

2. (арифметические операции)

Если функции f(X) и g(X) непрерывны в точке A, то в этой точке A непрерывными будут и функции f(X) g(X); f(X) g(X); а также fg((XX)) при дополнительном условии, что g(A) 6= 0:

3. (непрерывность сложной функции)

Пусть функция f(X) = f(x1; x2; : : : ; xm) непрерывна в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая функция 'k(T ) = '(t1; t2; : : : ; tn) непрерывна в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n): Причем x0k = 'k(T0); k = 1; m: Тогда сложная функция

F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))

является непрерывной в точке T0:

4. (о промежуточных значениях)

Пусть функция f(X) непрерывна на связном множестве D Em: Тогда, для любой пары точек A и B из множества D и для любого числа c; заключенного между значениями f(A)

и f(B); найдется точка C 2 D; такая что f(C) = c:

5. (первая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(X) непрерывна на компактном множестве D Em; то она ограничена на этом множестве.

6. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(X) непрерывна на компактном множестве D Em; то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

7

§4. Производные 1-го порядка функции нескольких переменных

Пусть функция f(x1; x2; :::; xm) определена в некоторой окрестности точки X0(x01; x02; :::; x0m) и X(x01; x02; :::; x0k 1; xk; x0k+1; :::; x0m) точка из этой окрестности. Обозначим xk = xk x0kприращение аргумента xk и kf = f(X) f(X0) частное приращение функции f по

переменной xk: Отношение kf представляет собой функцию от xk, определенную для всех

xk

xk 6= x0k.

Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференциро-

вания (при этом все переменные, кроме xk, рассматриваются как постоянные).

Пример 4.1. Найти все частные производные функции

f(x; y; z) = sin(2x + 3y) + 4xz3:

Решение. Вычислим частную производную по x, рассматривая y и z как постоянные,

Пусть теперь X(x1; x2; : : : ; xm) некоторая точка из окрестности точки X0(x01; x02; : : : ; x0m). Полным приращением f функции f(x1; x2; : : : ; xm) в точке X0, соответствующим приращениям аргументов xk; (k = 1; m); называется разность

f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =

= f(x01 + x1; x02 + x2; : : : ; x0m + xm) f(x01; x02; : : : ; x0m):

Функция f называется дифференцируемой в точке X0, если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в одном из двух следую-

1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:

Определения (4.1) и (4.2) эквивалентны.

8

Для функции одной переменной необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной у этой функции в данной точке. Для функции нескольких переменных необходимое условие выглядит аналогично, а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости в точке функции нескольких переменных)

Если функция дифференцируема в точке, то у нее в этой точке существуют частные производные 1-го порядка по всем переменным.

Доказательство. Пусть функция f(X) дифференцируема в точке X0: Тогда, из определения (4.2) имеем

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:

Полагая в этом равенстве x2 = : : : xm = 0; получим, что f = 1f = A1 x1 + 1 x1:

Поделив это равенство на x1 6= 0, переходя к пределу при x1 ! 0 и применяя определение частной производной функции в точке, получим

Здесь мы также воспользовались тем фактом, что A1 константа, а 1 бесконечно малая при x1 ! 0 функция. В итоге доказали, что в точке X0 существует частная производная по переменной x1: Аналогично доказывается существование частных производных по остальным переменным. Кроме того, доказали, что константы A1; A2; : : : ; Am из определения

дифференцируемой в точке X0 функции f равны частным производным первого порядка по

соответствующей переменной, т. е. Ak = @f : Теорема доказана.

@xk X0

В отличие от функции одной переменной существования в точке частных производных 1- го порядка уже недостаточно для дифференцируемости функции в этой точке, понадобится дополнительное условие на эти производные.

Теорема 4.2 (достаточное условие дифференцируемости в точке функции нескольких переменных)

Если в некоторой окрестности точки X0 у функции f(X) существуют все частные производные 1-го порядка, которые непрерывны в самой точке X0, то функция f(X) дифференцируема в точке X0.

Доказательство. Рассмотрим для наглядности вначале функцию двух переменных, которые обозначим x и y. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки X0(x0; y0):

Выберем в этой окрестности произвольную точку X(x; y): Пусть x = x x0; y = y y0:

Рассмотрим теперь полное приращение функции в точке X0

f = f(X) f(X0) = f(x; y) f(x0; y0) = (f(x; y) f(x0; y)) + (f(x0; y) f(x0; y0)) :

9

На разность f(x; y) f(x0; y) можно смотреть как на приращение функции от одной переменной x при фиксированной второй переменной y: По теореме Лагранжа о конечных приращениях эту разность можно записать в виде

f(x; y) f(x0; y) = fx0 ( ; y) (x x0) = fx0 ( ; y) x = fx0 (x0; y0) x + (fx0 ( ; y) fx0 (x0; y0)) x;

где некоторая точка между x и x0.

Аналогично, на разность f(x0; y) f(x0; y0) можно смотреть как на приращение функции от одной переменной y при фиксированной второй переменной x0: Также, по теореме

Лагранжа о конечных приращениях эту разность запишем в виде

f(x0; y) f(x0; y0) = fy0 (x0; ) (y y0) = fy0 (x0; ) y = fy0 (x0; y0) y+ fy0 (x0; ) fy0 (x0; y0) y;

где некоторая точка между y и y0.

и покажем, что 1 и 2 представляют из себя бесконечно малые функции при x ! 0 иy ! 0. Так как точка промежуточная между точками x0 и x = x0 + x; а точка

промежуточная между точками y0 и y = y0 + y; то ! x0, x ! x0, ! y0, y ! y0 при

x ! 0 и y ! 0: По условию теоремы частные производные 1-го порядка непрерывны в точке X0(x0; y0); тогда из определения непрерывности функции в точке имеем, что

fx0 ( ; y) ! fx0 (x0; y0); fy0 (x0; ) ! fy0 (x0; y0) при x ! 0; y ! 0:

Отсюда следует, что 1 и 2 бесконечно малые функции при x ! 0 и y ! 0. Подставим теперь все полученные выражения в полное приращение

f = A1 x + A2 y + 1 x + 2 y

и увидим, что полный дифференциал имеет вид (4.2), следовательно, по определению, функ-

ция f(x; y) дифференцируема в точке X0(x0; y0):

В случае, когда функция зависит от m переменных x1; x2; : : : ; xm, полное приращение этой функции в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m) надо представить в виде суммы m слагаемых

где в каждой из скобок разность представляет из себя приращение функции только по одной переменной xk. Применяя далее теорему Лагранжа о конечных приращениях к каждой из скобок и вводя бесконечно малые функции аналогично тому, как это было сделано выше для функции двух переменных, придем в итоге к тому, что теорема верна и для функции m

переменных.

Вспомним далее, что для функции одной переменной из дифференцируемости в точке (или,что то же самое в этом случае, из существования производной в точке) следовало, что функция непрерывна в этой точке. Сформулируем аналогичное утверждение для функции нескольких переменных.

10