Практические работы по Сопромату / Сопромат / dz3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для составного сечения балки (Рис.1) необходимо:

1. Определить положение центра тяжести фигуры;

2. Найти осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей фигуры;

3. Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов;

4. Вычислить осевой момент инерции относительно произвольной оси.

2. ХОД РЕШЕНИЯ

Исходные данные: конфигурация сечения изображена на Рис.1,

сечение составлено из швеллера №33 (элемент 2), равнобокого уголка №7,5 (75 мм×75 мм×7 мм – элемент 3) и

полосы (260 мм×12 мм – элемент 1).

y*

α*

u

v

α

α'

x₀^уг

d_шв

С

d_уг

a_уг

a_шв

y_с

x_с

y₀

x₀

b_уг

h_п

b_п

A_п

A_уг

A_шв

x_п

y_п

2

3

1

h_шв

b_шв

b_уг

Рис.1

конфигурация сечения

РАСЧЕТЫ:

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение:

Швеллер № 33 (ГОСТ 8240—89):

, , , ,

, – расстояние центра тяжести;

Уголок 75 мм×75 мм×7 мм (ГОСТ 8240—89):

, , ,

, ,

– расстояние центра тяжести;

Полоса 260 мм×12 мм:

, , ,

,

;

Общая площадь составного сечения:

;

– площадь поперечного сечения i-го элемента балки.

1. Определение положения центра тяжести составной фигуры

В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_п и y_п , проходящие через центр тяжести полосы. Статические моменты сечения относительно этих осей будут равны:

,

где x_i – координата центра тяжести i-го элемента относительно оси x_п.

;

,

где y_i – координата центра тяжести i-го элемента относительно оси y_п.

;

Координаты центра тяжести составного сечения вычисляем по формулам:

→

→

2. Осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей фигуры

Из найденного центра тяжести сечения проводятся вспомогательные оси, называемые центральными осями фигуры – x₀ и y₀.

Осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей определяются по формулам:

,

,

J_xi, J_yi – моменты инерции i-ого элемента относительно осей, проходящих через центр тяжести этого элемента (берутся из таблиц сортамента),

a_i, d_i – расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры:

Центробежный момент инерции составного сечения:

, , так как швеллер и полоса имеют оси симметрии

α' - угол между осью x₀ и главной осью x₀^уг уголка, α'= – 45°

3. Положение главных центральных осей и величина главных центральных моментов

Положение главных центральных осей:

α - угол наклона главных центральных осей v и u , проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям x₀ и y₀

определяется по формуле:

→

Так как угол α получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной центральной оси максимального момента инерции u следует ось x₀, осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол α по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

Величина главных центральных моментов инерции:

Проверка:

(верно)

4. Осевой момент инерции относительно произвольной оси

Пусть y* – произвольная ось, α* – угол наклона оси y* к оси x (может быть «+» или «–»),

где – момент инерции i-ого элемента относительно оси, проходящей через центр тяжести этого элемента параллельно y*,

– расстояние между осью, проходящей параллельно y* через центр тяжести i-ого элемента и самой y*,

– координата по оси x с точкой отчета в центре тяжести для каждого i-ого элемента до пересечения с осью y*,

тогда осевой момент инерции относительно y* равен:

Изм.	Лист	№ докум.	Подпись	Дата
Разраб.		Кашин А.В.					Лист	Листов
Провер.							2	6
						ТМ-35к
Руков.