Добавил:

klimintas Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Университет

Предмет:

Атомная физика

Файл:

Лекции / 09 Уравнение Шредингера.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

232.96 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

9 (1). Уравнение Шредингера.

Найдем уравнение, которому подчиняются волны

де-Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере-

лятивистскую частицу. Для такой частицы имеем уравнения де-Бройля (5.2) и (5.3):

E h ;	p	h	hk

атакже формулу для кинетической энергии, которая

вданном случае совпадает с полной энергией, т.к. у свободной частицы потенциальная энергия = 0:

E T	p2		1	px2 py2 pz2			h2	kx2	ky2 kz2 .
	2m
			2m				2m
Сравнивая оба выражения для энергии E, находим
		h			h2	kx2 ky2 kz2 .
					2m				(9.1)

Свободной частице соответствует плоская волна

де-Бройля:	Ae 2 i( t kr )

Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z:

2 i i ;			2		4 2kx2 ;
t			x2
2			2
	4 2k2	;		4 2kz2 ;
	4 2k2	;	z2	4 2kz2 ;
y2	y		z2

и выразим отсюда , kx, ky, kz


	1		1				;	kx2	1		1		2
			2 i		t				4 2				x2

ky2		1		1		2		kz2		1		1		2
		4			2 y2							4	2 z2

Подставляя это в формулу (9.1), получаем:

ih	h2 1 1		2		2		2
				2		2		2
2 t	2m 4	2	x		y		z

или		2	2		2		2		2
i				2		2		2
	t		x		y		z		2m
		2m

Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-

ной нерелятивистской частицы (уравнение Шре-

дингера в простейшей форме):

i		2
	t	2m	(9.2)

Для частицы, движущейся в потенциальном поле ки- нетическая энергия T = E - U, поэтому уравнение (9.2) должно быть записано (обобщено) в виде:

i		2	U
	t	2m		(9.3)

Это общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г., но- белевская премия 1933г) для частицы в потенци-

альном поле U.

Зависимость волновой функции от						e i t	e i		E
времени выражается множителем:						e i t	e i		t
Поэтому волновая функция может быть представ-
лена в виде							i
	(x, y, z,t) 0 (x, y, z)e							Et
откуда	(x, y, z,t) 0 (x, y, z)e							Et
откуда			i		i
				E 0e		Et			(9.4)

	t
	t
Подставляя (9.4) в (9.2) и (9.3), находим:
0	2m E 0 0	и 0			2m2 (E U ) 0 0
	2

Это стационарное (не зависящее явно от времени)

уравнение Шредингера для свободной частицы и для частицы в потенциальном поле U.

Уравнение Шредингера

Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения

Шредингера:

Нестационарное		i					2	(9.2)
для свободной частицы			t
для свободной частицы			t				2m
Нестационарное для					2
частицы в потенциаль-	i				2	U		(9.3)
частицы в потенциаль-	i	t			2m	U		(9.3)
ном поле U		t			2m
Стационарное		0			2m E 0 0			(9.5)
для свободной частицы		0			2m E 0 0
					2
Стационарное для	0		2m	(E U ) 0 0
частицы в потенциаль-	0		2m	(E U ) 0 0				(9.6)
ном поле U			2

Приведенные рассуждения следует рас- сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав- нения. Как и все основные уравнения фи- зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит- ся”, а устанавливается, являясь, по сущес- тву, обобщением опытных фактов. Спра- ведливость этого уравнения подтвержда- ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.