ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Вследствие непрерывного изменения волнового чи-
сла k сложение волн представляется интегралом
|
k0 k |
|
u |
a cos t kx dk |
(6.10) |
k0 k
где амплитуду a складываемых волн будем считать постоянной во всем интервале от -Δk до +Δk.
Какова бы ни была зависимость частоты ω от волно-вого
числа k, ее можно представить в виде ряда 
k k0 k k0 |
d |
1 |
k k0 2 |
d 2 |
... |
(6.11) |
||||
|
|
|
2 |
|
|
dk |
2 |
|
|
|
|
|
dk k k0 |
|
|
|
k k0 |
|
|
||
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Для малого интервала Δk в формуле (6.11) мо-жно ограничиться первыми двумя членами разложения. Подставляя в (6.10), получаем
k0 |
k |
|
|
u a |
|
0t |
|
cos |
|||
k0 k |
|
|
|
k |
k0 |
|
d |
t |
|
(6.12) |
|
|
dk |
|
kx dk |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
где для краткости обозначено:
|
|
k |
|
|
, |
d |
d |
||
0 |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dk 0 |
|
dk k k0 |
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Интеграл (6.12) легко вычисляется с помощью за-мены переменной. Обозначим
|
0t k k0 |
d |
|
t kx z |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|
тогда |
dk |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
t |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dk 0 |
|
|
|
|
|
|
и интеграл (6.10) принимает вид: k0 k |
|||||||||
|
u |
|
a |
|
|
|
|
cos z dz |
|
|
d |
t |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k0 |
k |
||
|
|
|
|
dk 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя пределы и умножая числитель и знаме- натель на Δk, получаем:
|
|
d |
t x |
|
|
||||
|
sin k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|
||
u 2a k |
|
|
|
|
|
|
cos 0t k0 x (6.13) |
||
|
|
d |
t |
|
|
|
|||
|
k |
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|
|
Этот результат можно интерпретировать так же, как |
|||||||
формулу (6.4): cos 0t k0 x |
|
представляет собой |
|||||
рассматриваемый волновой процесс, а стоящий |
|||||||
перед ним множитель - переменную (модулиро- |
|||||||
ванную) амплитуду: |
|
|
d |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
sin |
|
|
|
|||
|
k |
|
|
t x |
|
||
|
|
|
|
dk |
0 |
|
|
A 2a k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k |
|
x |
(6.14) |
|||
|
|
|
|
dk |
0 |
|
|
Групповая скорость волнового пакета
Обозначим: |
|
d |
|
|
|
|
|
k |
|
0 |
t x |
(6.15) |
|
|
|
dk |
|
|
||
Тогда формулу (6.14) можно записать в виде: |
|
|||||
A 2a k |
sin |
|
(6.16) |
|
|
|
|
||
|
|
|||
Таким образом, характер изменения амплитуды оп- |
||||
ределяется множителем sin / , который при |
0 |
|||
равен 1 (точнее, имеет предел, равный 1 при |
). |
|||
При увеличении он убывает, и при |
|
0 |
||
, 2 ,... |
||||
обращается в нуль. В промежутках между этими
значениями он имеет второстепенные максимумы,
но с точностью 5% можно считать, что весь ход фун- кции sin / сосредоточен на интервале , а за пределами этого интервала он равен нулю.
Групповая скорость волнового пакета
Итак, множитель sin / при 0 имеет максимум, равный 1. Скорость перемещения этого максиму- ма можно считать скоростью перемещения всего волнового пакета. Для ее определения запишем
условие 0 : |
d |
t 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
dk |
0 |
Дифференцируя по t, находим: |
|||
dx |
d |
v |
|
(6.17) |
|
|
|
|
гр |
||
dt |
|
|
|
||
|
dk |
0 |
|
|
|
Сравнивая с формулой (6.7), видим, что скорость
перемещения волнового пакета равна групповой скорости волн де-Бройля. 
Волновой пакет
Итак, в результате суперпозиции волн получился волновой пакет с
амплитудой |
|
d |
|
||
|
sin |
k |
|
t x |
|
A 2a k |
|
dk |
0 |
|
|
|
|
d |
t |
|
|
|
|
||||
|
k |
|
x |
||
|
|
|
dk |
0 |
|
примерный вид которой изображен на рисунке. Вол- новой пакет движется со скоростью, равной группо- 
вой скорости волн де-Бройля, которая, в свою оче- 
редь, равна скорости частицы. Ширина пакета Δx об- ратно пропорциональна интервалу Δk волновых чи-
сел волн, образующих пакет: |
1 |
|
|
|
x k |
(7.8) |
|
|
|
|
|
Неустойчивость волнового пакета
Фазовая скорость
|
|
h |
|
E |
|
p2c2 |
m02c4 |
c 1 |
m c 2 |
|||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
k |
hk |
p |
|
p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||
зависит от импульса, и, значит, от волнового числа k = p/h. Поэтому каждая из монохроматических
волн, входящих в пакет, распространяется со сво- ей фазовой скоростью, и пакет "расплывается" за время t mk0 x 2 
Для электрона это примерно 10-26 секунды, т.е. прак- тически мгновенно.