3. Математическая модель процесса функционирования локомотива

У любой единицы тягового подвижного состава (для кратко­сти будем употреблять термин локомотив, подразумевая под этим не только электровозы и тепловозы, но и электро- и дизель-поез­да) в процессе эксплуатации могут возникать отказы двух типов.

1. Отказ первого типа, при возникновении которого работос­пособное состояние локомотива восстанавливается локомотив­ной бригадой в пути следования.

2. Отказ второго типа, который требует для восстановления работоспособного состояния локомотива постановки его в депо (ПТОЛ) на плановый ремонт.

В процессе функционирования локомотив может находиться в следующих состояниях.

1. Локомотив находится в работоспособном состоянии и вы­полняет свои функции — работает.

2. Локомотив восстанавливается в пути следования после от­каза первого типа.

3. Локомотив находится в ожидании внепланового ремонта после отказа второго типа.

4. Производится восстановление работоспособного состояния локомотива на внеплановом ремонте.

5. Ожидание начала эксплуатации после окончания внеплано­вого ремонта.

6. Отстой по неравномерности движения.

7. Ожидание начала планового ремонта.

8. Плановый ремонт.

9. Ожидание начала эксплуатации после окончания планово­го ремонта.

Граф переходов локомотива из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt при условии, что все временные параметры процесса функционирования локомотива являются случайными величинами, распределенными по экспо­ненциальному закону каждый со своей интенсивностью, показан на рис. 8.

Вероятности переходов локомотива из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt записыва­ются следующим образом:

—вероятность возникновения отказа первого типа;

, Tо— среднее значение наработки на отказ первого типа;

Рисунок 8– Граф перехода локомотива

— вероятность возникновения отказа второго типа;

— вероятность восстановления работоспособности пос­ле

отказа первого типа;

— среднее время восстановления работоспособности после отказа первого типа;

— вероятность постановки локомотива в депо для про­ведения внепланового ремонта;

— среднее время ожидания начала внепланового ремонта;

— вероятность окончания внепланового ремонта;

— среднее время внепланового ремонта;

— вероятность выдачи локомотива в эксплуатацию пос­ле внепланового ремонта;

— cреднее время ожидания начала эксплуатации после внепланового ремонта;

—вероятность постановки локомотива в отстой по не­равномерности движения;

-средняя продолжительность работы локомотива до постановки в отстой;

— вероятность окончания отстоя (выдачи локомотива в эксплуатацию);

— среднее значение времени отстоя;

— вероятность изъятия локомотива из эксплуатации для проведения планового ремонта;

–средняя продолжительность работы локомотива до постановки на

плановый ремонт;

— вероятность постановки локомотива в депо для про­ведения планового ремонта;

— среднее время ожидания начала планового ре­монта;

— вероятность окончания планового ремонта;

— средняя продолжительность планового ремонта;

— вероятность выдачи локомотива в эксплуатацию пос­ле планового ремонта;

— среднее время ожидания начала эксплуатации Т₉

после планового ремонта.

Уравнения Колмогорова (9), связывающие между собой ве­роятности состояний локомотива в моменты времени t и t + Δt, записываются в следующем виде:

Раскрыв скобки, перенеся Рi(t) в i-м уравнении (i= 1, 2, ..., 9) из правой части в левую, разделив обе части равенств на Δt и пе­рейдя к пределу при Δt → 0, получим систему дифференциальных уравнений:

(22)

Задавшись начальными условиями ,

решим полученную систему дифференциальных урав­нений и найдем зависимости P_i{t), t = 1-9.

Однако для практики наибольший интерес представляет доля вре­мени, в течение которого локомотив находится в каждом из состоя­ний при длительной эксплуатации, т.е. при t →∞Поскольку граф переходов локомотива (см. рис. 8) является связным, то у процес­са функционирования локомотива существует установившийся ре­жим, в котором вероятности всех состояний перестают зависеть от времени и принимают финальные значения Р_i = const, i = 1—9.

В установившемся режиме система дифференциальных урав­нений (22) превращается в систему алгебраических уравнений:

Решение этой системы получается при условии (23)

Для решения выразим вероятности всех состояний че­рез вероятность первого состояния Р₁.

Подставив выражения всех вероятностей Р₂ — Р₉ в уравнение (23)

Решив это уравнение относительно P₁

Вероятность Р₁ показывает долю времени, в течение которого локомотив работоспособен и используется по назначению, по­этому ее называют коэффициентом использования локомотива .

Выразив все интенсивности через соответствующие средние значения

Рассматриваемая модель функционирования локомотива пре­вращается в рассмотренную выше модель функционирования объекта с двумя возможными состояниями, если локомотив в про­цессе эксплуатации будет иметь только отказы первого типа и не будет иметь внеплановых и плановых ремонтов, а также отстоев по неравномерности движения, т.е. если

Тогда

(24)

В этом случае формула (24) совпадает с формулой (21), вы­веденной для объектов с двумя состояниями, т.е. рассматривае­мая модель функционирования локомотива является более общим случаем, из которого модель функционирования объектов с двумя состояниями выводится как частный случай.

Коэффициент готовности Кr представляет собой вероятность того, что локомотив окажется в работоспособном состоянии в произвольный, достаточно удаленный от начала эксплуатации момент времени. Локомотив работоспособен, если он находит­ся в 1-м, 5, 6 или 9-м состоянии, т.е.

(25)

П одставив в (25) значения вероятностей , выра­женные через Р_1, получим

Выразив интенсивности X- через среднее значение соответству­ющих времен, а вероятность Р₁ — по формуле (24)

Величина

(26)

выраженная в процентах, показывает, какая часть локомотивов на­ходится в неработоспособном состоянии, и является аналогом ис­пользуемого в локомотивном хозяйстве ОАО «РЖД» показателя — общий процент неисправных локомотивов, который в 2000 г. со­ставил в среднем по сети 10,6%. Расчеты по формуле (28) для разных локомотивных депо показывают, что коэффициент готовно­сти находится в пределах 0,87—0,92, или в среднем составляет око­ло 0,9, т.е. коэффициент K_н ≈ 0,1, что практически совпадает со зна­чением общего процента неисправных локомотивов.

Однако показатель — процент неисправных локомотивов дает только общее представление о том, какая часть локомотивов находится в неработоспособном состоянии, а k_н, рассчитанный по формулам (26) , раскрывает связь этого показателя с параметрами процесса функционирования локомотивов и позволяет наиболее эффективно управлять их состояниями, воздействуя на те параметры , к которым наиболее чув­ствительны эксплуатационные коэффициенты — коэффициент тех­нического использования (24), коэффициент готовности (28), коэффициент неработоспособности локомотивов (26). Показа­телями чувствительности являются значения частных производ­ных от эксплуатационных коэффициентов по каждому из пара­метров процесса функционирования локомотива.

С помощью эксплуатационных коэффициентов можно оценить эффективность различных организационно-технических меропри­ятий, направленных на повышение надежности локомотивов. Если в результате проведения какого-либо мероприятия увеличивают­ся средние значения наработки до отказа первого и вто­рого типа, увеличивается наработка до планового ремонта или сокращается время простоя локомотива на внеплановом ре­монте или на плановом ремонте T₈ и т.д., то в результате ко­эффициенты технического использования K_и и готовности K_r уве­личиваются, а коэффициент неработоспособности K_н — уменьша­ется, что приводит к общему улучшению всех технико-экономи­ческих показателей работы локомотивного парка.

Методы расчета эксплуатационных коэффициентов иллюстри­руются решением следующих задач.

Задача

Упрощенная модель функционирования электровоза задана графом, показанным на рис. 9.

Состояния электровоза:

1. Электровоз исправен и работает.

2. Восстанавливается в пути следования.

3. Находится на внеплановом ремонте.

4. Находится на плановом ремонте.

Определить коэффициент готовности электровоза.

Рисунок 9– Граф переходов электролиза

Уравнения Колмогорова записываются в следующем виде:

Выполнив соответствующие преобразования, получим следу­ющую систему дифференциальных уравнений:

Поскольку граф переходов, показанный на рис. 9, является связным, то процесс функционирования электровоза имеет установившимся режим, в котором вероятности состоянии переста­ют зависеть от времени и принимают финальные значения , а их производные равны 0. В установившемся режиме система дифференциальных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений:

Из второго уравнения выражаем

Из третьего уравнения выражаем

Из четвертого уравнения выражаем

Выражения всех вероятностей подставляем в уравнение получаем

Поскольку электровоз работоспособен, только находясь в первом состоянии, коэффициент готовности К_r= Р₁.

Из уравнений 2, 3 и 4 выражаем вероятности че­рез вероятность

Подставив эти вероятности в уравнение

Рассматриваемое устройство работоспособно, только нахо­дясь в 0-м состоянии, поэтому вероятность работоспособного состояния при длительной эксплуатации, т.е. коэффициент готов­ности, равна К_r= Р₀.

Обобщив полученный результат, увидим, что если устройство имеет отказы п видов и все , то

Показатели безотказности - и ремонтопригодности - опре­деляются по статистическим данным в процессе эксплуатации рассматриваемого устройства.