Дискретная математика Насоров А.З., Насыров З.Х. 2009
.pdffederalxnoe agentstwo po obrazowani`
gosudarstwennoe obrazowatelxnoe u~revdenie wys{ego professionalxnogo obrazowaniq obninskij gosudarstwennyj tehni~eskij uniwersitet atomnoj |nergetiki
fAKULXTET ZAO^NOGO OBU^ENIQ
a. z. nasyrow, z. h. nasyrow
diskretnaq matematika
obninsk 2009
glawa 1. algebra logiki
x 1. wYSKAZYWANIQ. oPERACII DIZ_@NKCII, KON_@NKCII I OTRICANIQ
wYSKAZYWANIEM S^ITAETSQ POWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, QW- LQ@]EESQ LIBO ISTINNYM, LIBO LOVNYM. mY NE STANEM RASSMAT- RIWATX WYSKAZYWANIQ S TO^KI ZRENIQ IH SODERVANIQ I FAKTI^ESKI BUDEM OTOVDESTWLQTX WYSKAZYWANIE S EGO ISTINNOSTNOSTNYM ZNA- ^ENIEM. pROIZWOLXNYE WYSKAZYWANIQ BUDEM OBOZNA^ATX BUKWAMI a, b, c, : : : . zNA^ENIE "ISTINA" OBOZNA^AETSQ ^EREZ 1 ILI true, A ZNA^ENIE "LOVX" { ^EREZ 0 ILI false.
oPREDELENIE 1. wYSKAZYWANIQ a I b NAZYWA@TSQ RAWNOSILX- NYMI, OBOZNA^AETSQ a = b, ESLI ONI OBA ISTINNY, LIBO OBA LOVNY.
sWOJSTWO 1. a = a.
sWOJSTWO 2. eSLI a = b, TO b = a. sWOJSTWO 3. eSLI a = b I b = c, TO a = c.
oPREDELENIE 2. kON_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWA- ETSQ WYSKAZYWANIE "a I b", KOTOROE QWLQETSQ ISTINNYM LI[X KOGDA KAVDOE IZ WYSKAZYWANIJ a; b QWLQETSQ ISTINNYM. oBOZNA-
^AETSQ KON_@NKCIQ TAK: ab, a |
^ b, a&b, a and b. |
|
|
|
|
|
|
||
zNA^ENIQ KON_@NKCII OTRAVENY W TABL. 1. pOLXZUQSX \TOJ |
|||||||||
TABLICEJ LEGKO DOKAZATX SLEDU@]IE SWOJSTWA. |
|
|
|
|
|
|
|
||
sWOJSTWO 4. a |
0 = 0. |
|
|
|
tABLICA 1 |
||||
|
|
|
a |
b |
ab |
|
a _ b |
|
|
sWOJSTWO 5. a |
1 = a. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 6. a a = a | IDEMPOTENTNOSTX. |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
||
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|||
sWOJSTWO 7. a b = b a | KOMMUTATIWNOSTX. |
|
|
|
||||||
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|||
sWOJSTWO 8. a(bc) = (ab)c |
| ASSOCIATIW- |
|
|
|
|||||
NOSTX. |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
kON_@NKCI@ a1 a2 : : : an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: |
n |
|
|
||||||
i=1 |
ai . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 3. dIZ_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWA- ETSQ WYSKAZYWANIE "a ILI b", KOTOROE ISTINNO, ESLI HOTQ BY OD- NO IZ WYSKAZYWANIJ a; b QWLQETSQ ISTINNYM, ^TO I OTRAVENO W TABL. 1. oBOZNA^AETSQ ZNA^ENIE DIZ_@NKCII TAK : a _ b, a or b.
sWOJSTWO 9. a _ 0 = a.
sWOJSTWO 10. a _ 1 = 1.
sWOJSTWO 11. a _ a = a | IDEMPOTENTNOSTX. sWOJSTWO 12. a _ b = b _ a | KOMMUTATIWNOSTX.
dOKAZATELXSTWA SWOJSTW 9 { 12 NEPOSREDSTWENNO POLU^A@TSQ IZ OPREDELENIQ DIZ_@NKCII.
sWOJSTWO 13. a _ (b _ c) = (a _ b) _ c | ASSOCIATIWNOSTX. dOKAZATELXSTWO. sDELAEM RAZBOR SLU^AEW PO PEREMENNOJ b; DLQ
\TOGO NAJDEM ZNA^ENIQ LEWOJ ^ASTI (LP ) I PRAWOJ ^ASTI (RP ) DLQ b = 0 I DLQ b = 1.
pUSTX b = 0, TOGDA LP = a _(0 |
_c) = a _c, RP = (a _0) _ c = |
|||||||||
= a _ c; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
|
|||||
pUSTX b = 1, TOGDA LP = a_(1_c) = a_1 = 1, RP = (a_1)_c = |
||||||||||
= 1 _ c = 1; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
|
|||||
iTAK, W KAVDOM IZ DWUH WOZMOVNYH SLU^AEW, ZNA^ENIQ LEWOJ |
||||||||||
I PRAWOJ ^ASTEJ SWOJSTWA 13 SOWPADA@T, ^TO I TREBOWALOSX DOKA- |
||||||||||
ZATX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 14. a(b _ c) = ab _ ac. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sWOJSTWO 15. a _ bc = (a _ b)(a _ c). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
dOKAVEM SWOJSTWO 15. w |
|
|
|
|
|
|
tABLICA 2 |
|||
TABL. 2 DLQ WSEH WOZMOVNYH |
a |
b |
c |
a |
_ bc |
(a _ b) |
(a _ c) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ZNA^ENIJ a; b; c PRIWODQTSQ RE- |
0 |
0 |
0 |
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
ZULXTATY |
WYPOLNENIQ OPERA- |
0 |
0 |
1 |
|
0 0 |
0 |
0 |
1 |
|
CIJ _ I |
^ W LEWOJ I PRA- |
0 |
1 |
0 |
|
0 0 |
1 |
0 |
0 |
|
WOJ ^ASTQH DANNOJ FORMULY. |
0 |
1 |
1 |
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
sTOLBCY, WYDELENNYE VIR- |
1 |
0 |
0 |
|
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
NYM [RIFTOM, QWLQ@TSQ ITO- |
1 |
0 |
1 |
|
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
GOWYMI ZNA^ENIQMI LEWOJ I |
1 |
1 |
0 |
|
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
PRAWOJ ^ASTEJ I POSKOLXKU \TI |
1 |
1 |
1 |
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
STOLBCY ODINAKOWY, TO SWOJ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
STWO 15 DOKAZANO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n
dIZ_@NKCI@ a1 _ a2 _ : : : _ an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: W ai .
i=1
oPREDELENIE 4. oTRICANIEM WYSKAZYWANIQ a NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "NEWERNO, ^TO a", KOTOROE ISTINNO LI[X KOGDA a LOVNO, ^TO I OTRAVENO W TABL. 3. oBOZNA^AETSQ ZNA^ENIE OTRICA-
NIQ TAK: a, qa, nota.
sWOJSTWO 16. |
a _ |
a |
= 1 | ZAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO. |
||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 17. |
a |
|
|
= 0 | ZAKON PROTIWORE^IQ. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 18. |
= a. |
tABLICA 3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
a |
||||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a1 _ a2 _ : : : _ an |
= a1 a2 : : : an . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
20. |
a1a2 : : : an = a1 _ a2 _ : : : _ an . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
||
sWOJSTWA 19 I 20 NAZYWA@TSQ ZAKONAMI DE mORGA- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
NA. pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 20. |
1 |
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0 , a1a2 : : : an = 1 , 8 |
a1 = 1; |
, 8 |
|
|
1 = 0; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
a1 a2 : : : an |
: : : |
: : : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< an = 1: |
< |
|
n = 0: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||
, |
|
1 _ |
|
2 _ : : : _ |
|
n = 0. |
: |
|
: |
|
|
|
|
|
||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2. oPERACII IMPLIKACII, \KWIWALENCII I SUMMY PO MODUL@ 2
oPREDELENIE 1. iMPLIKACIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ESLI a, TO b" ILI "IZ a SLEDUET b", KOTOROE LOVNO LI[X KOGDA a ISTINNO, NO b LOVNO; OBOZNA^AETSQ IMPLIKACIQ TAK: a ! b, WYSKAZYWANIE a NAZYWAETSQ POSYLKOJ, b | ZAKL@^ENIEM. zNA^ENIQ IMPLIKACII PRIWEDENY W TABL. 4.
sWOJSTWO 1. a ! b = a_b | PRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 4.
oPREDELENIE 2. |KWIWALENCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b, OBOZNA^AETSQ ^EREZ a b, NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "a \KWIWALENTNO b", KOTOROE ISTINNO TOLXKO, KOGDA a = b, ^TO I OTRAVENO W TABL. 5.
sWOJSTWO 2. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 5.
sWOJSTWO 3. a b = (a ! b)(b ! a).
dOKAZATELXSTWO. pREOBRAZUEM PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA:
(a ! b)(b ! a) = ( a_b)( b_a) = ab_aa_bb_ab = a b_ab = a b.
4
oPREDELENIE 3. sUMMOJ PO MODUL@ 2 WYSKAZYWANIJ a I b, OBOZNA^AETSQ a b, NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ILI a, ILI b", KO- TOROE ISTINNO, KOGDA ROWNO ODNO IZ \TIH WYSKAZYWANIJ QWLQETSQ ISTINNYM (SM. TABL. 5).
tABLICA 4
|
|
a ! b |
|
|
_ b |
a |
b |
|
a |
||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
1 1 0 |
||
0 |
1 |
1 |
1 1 1 |
||
1 |
0 |
0 |
0 0 0 |
||
1 |
1 |
1 |
0 1 1 |
||
tABLICA 5
|
a b |
a b _ |
|
b |
a b |
||
a b |
a |
||||||
0 |
0 |
|
|||||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 4. x y = x y.
dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPRE- DELENIQ \KWIWALENCII I SUMMY PO MODUL@ 2 (SM. TABL. 5).
sWOJSTWO 5. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ SUMMY
dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ SWOJSTWO 4, POLU^AEM a b = a b =
= ab _ a b = ab a b = ( a _ b)(a _ b) = a a _ ab _a b _b b = ab _ a b.
sWOJSTWO 6. x 1 = x. sWOJSTWO 7. x x = 0. sWOJSTWO 8. x y = y x.
dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 6 { 8 MOVNO PROWESTI, ISPOLXZUQ PRA- WILO ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2.
sWOJSTWO 9. x (y z) = (x y) z.
dOKAZATX SWOJSTWO 9 MOVNO METODOM ISTINNOSTNYH TABLIC. zAMETIM, ^TO OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA ISTINNY, ESLI IMEETSQ NE^ETNOE ^ISLO SLAGAEMYH, RAWNYH 1; W OSTALXNYH SLU^AQH OBE ^ASTI RAWENSTWA LOVNY.
sWOJSTWO 10. x(y z) = xy xz.
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10 LEGKO PROWESTI METODOM RAZBORA SLU^AEW PO PEREMENNOJ x.
x 3. pROPOZICIONALXNYE FORMULY, BULEWY FUNKCII I IH KOLI^ESTWO
oPREDELENIE 1. pROPOZICIONALXNOJ FORMULOJ (pf) NAZYWA- ETSQ FORMULA, SOSTAWLENNAQ IZ LOGI^ESKIH KONSTANT 0 I 1, LOGI-
5
^ESKIH PEREMENNYH, PRINIMA@]IH \TI ZNA^ENIQ 0 I 1, S POMO]X@ SKOBOK I ZNAKOW LOGI^ESKIH OPERACIJ.
dLQ UMENX[ENIQ KOLI^ESTWA SKOBOK USTANAWLIWA@T SLEDU@- ]IE PRIORITETY DLQ LOGI^ESKIH SWQZOK:
q WYPOLNQETSQ W PERWU@ O^EREDX;
^ | WO WTORU@ O^EREDX;
_; ; !; | W TRETX@ O^EREDX.
pRIMER 1. ((qx) ! (y (xz))) (qy) = ( x ! (y xz)) y. dLQ PROPOZICIONALXNOJ FORMULY A(x1; x2; : : : ; xn) MOVNO SO-
STAWITX ISTINNOSTNU@ TABLICU EE ZNA^ENIJ DLQ WSEH NABOROW ZNA- ^ENIJ LOGI^ESKIH PEREMENNYH x1; x2; : : : ; xn . |TA TABLICA IMEET 2n STRO^EK. zNA^ENIQ PEREMENNYH x1; x2; : : : ; xn ZAPISYWA@T PE- REWODQ ^ISLA 0; 1; 2; : : : ;2n ; 1 W DWOI^NU@ SISTEMU S^ISLENIQ W PORQDKE IH WOZRASTANIQ (SM. TABL. 1 | 5).
oPREDELENIE 2. fUNKCIQ y = f(x1; x2; : : : ; xn) NAZYWAETSQ BULEWOJ (bf), ESLI xi 2 f0; 1g PRI i = 1;2; : : : ; n, y 2 f0; 1g.
bULEWY FUNKCII MOVNO ZADAWATX ISTINNOSTNYMI TABLICAMI, A TAKVE UKAZYWATX PRAWILO IH WY^ISLENIQ S POMO]X@ PROPOZI- CIONALXNYH FORMUL.
tEOREMA O KOLI^ESTWE BULEWYH FUNKCIJ. iMEETSQ 22n
RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH. dOKAZATELXSTWO. eSLI FUNKCIQ IMEET n PEREMENNYH, TO W EE
ISTINNOSTNOJ TABLICE IMEETSQ 2n STRO^EK. pOSKOLXKU W KAVDOJ STRO^KE BULEWA FUNKCIQ MOVET PRINIMATX DWA ZNA^ENIQ 0 I 1, TO WSEGO IMEETSQ 22n RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH. w TABL. 6 PRIWEDENY WSE 16 BULEWYH FUNKCIJ OT DWUH PEREMEN-
NYH a I b.
eSLI BULEWA FUNKCIQ OT n PEREMENNYH ZADANA STANDARTNOJ TABLICEJ, STRO^KI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWOI^NYMI ^ISLAMI, RAS- POLOVENNYMI W PORQDKE WOZRASTANIQ OT 0 DO 2n ; 1, TO DOSTA- TO^NO UKAZATX STOLBEC ZNA^ENIJ FUNKCII. |TOT STOLBEC MOVNO NAPISATX CELIKOM, ODNAKO ^ASTO UKAZYWA@T TOLXKO NOMERA STRO- ^EK, NA KOTORYH FUNKCIQ ISTINNA. nAPRIMER, MOVNO NAPISATX f(a; b; c) = (1011 0011)T ILI f(a; b; c) = (0;2; 3; 6; 7).
oPREDELENIE 3. pEREMENNAQ xi NAZYWAETSQ SU]ESTWENNOJ DLQ FUNKCII y = f(x1; x2; : : : ; xn), ESLI MOVNO UKAZATX TAKIE ZNA^E-
6
NIQ x , |
: : : , x |
|
, x |
,: : : , x |
OSTALXNYH PEREMENNYH, |
^TO |
|||
1 |
i;1 |
i+1 |
n |
|
|
|
|
|
|
f(x ; : : : ; x |
; |
0; x |
; : : : ; x ) = f(x |
; : : : ; x |
; 1; x |
; : : : ; x ). |
|||
1 |
i;1 |
|
i+1 |
n |
6 |
1 |
i;1 |
i+1 |
n |
pEREMENNAQ xi |
NAZYWAETSQ FIKTIWNOJ (NESU]ESTWENNOJ), ESLI |
||||||||
f(x1; : : : ; xi;1; 0; xi+1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xi;1; 1; xi+1; : : : ; xn)
DLQ L@BYH ZNA^ENIJ OSTALXNYH PEREMENNYH.
tABLICA 6
a b |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W TABL. 6 WOOB]E NE IME@T SU- ]ESTWENNYH PEREMENNYH { \TO KONSTANTY; f3 , f5 , f10 I f12 IME@T ODNU SU]ESTWENNU@ I ODNU FIKTIWNU@ PEREMENNU@, A OSTALXNYE FUNKCII IME@T DWE SU]ESTWENNYE PEREMENNYE.
x 4. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ MNOGO^LENAMI vEGALKINA
oPREDELENIE |
1. bUDEM S^ITATX, ^TO x = |
|
x; ESLI = 1; |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x; ESLI = 0: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 1. |
x |
= 1 , x = ; |
x |
= 0 |
, x = . |
||||||||
|
|
||||||||||||
dOKAZATELXSTWO LEGKO PROWODITSQ RAZBOROM SLU^AEW PO PERE- MENNOJ .
oPREDELENIE 2. pOLNOJ \LEMENTARNOJ KON_@NKCIEJ PERE-
MENNYH x1 ; x2; : : : ; xn NAZYWAETSQ WYRAVENIE |
n |
|
|
||
K(x1; x2 |
; : : : ; xn) = x 1 x 2 |
: : : x n = |
x i |
: |
(1) |
|
1 2 |
n |
i |
|
|
i^=1
eSLI W (1) NEKOTORYE SOMNOVITELI OTSUTSTWU@T, TO GOWORQT PROSTO OB \LEMENTARNOJ KON_@NKCII.
sWOJSTWO 2. K(x1; x2; : : : ; xn) = 1 i = 1; 2; : : : ; n.
oPREDELENIE 3. mNOGO^LENOM vEGALKINA OT x1; x2; : : : ; xn NAZYWAETSQ PROPOZICIONALXNAQ FORMULA WIDA
|
n |
|
n n |
|
g(x1; x2; : : : ; xn) = c0 |
P |
cixi |
P P |
cijxixj |
|
i=1 |
|
i=1 j=i+1 |
|
7
|
n n |
n |
|
|
|
P P |
P |
cijkxixjxk : : : c12:::nx1x2 |
: : : xn; |
|
i=1 j=i+1 k=j+1 |
|
|
|
2 f0; 1g.
pRIMER 1. oB]AQ FORMULA MNOGO^LENA vEGALKINA OT TREH PEREMENNYH a,b,c WYGLQDIT TAK:
g(a; b; c) = C0 C1a C2b C3c C12ab C13ac C23bc C123abc:
tEOREMA. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) IMEET
MESTO FORMULA |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x1; x2 ; : : : ; xn) = |
f( 1 |
; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n |
; |
(2) |
|
|
1 2 |
n |
|
|
1;:::X; n=0
W KOTOROJ SUMMIROWANIE OSU]ESTWLQETSQ PO MODUL@ 2.
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH x1 ; x2; : : : ; xn KON_@NKCIQ x11 x22 : : : xnn ISTINNA, SOGLASNO SWOJSTWU 2, LI[X KOGDA i = xi DLQ WSEH ZNA^ENIJ i = 1; 2; : : : ; n. sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (2) MOVET BYTX OTLI^NO OT 0 TOLXKO ODNO
SLAGAEMOE f(x1; x2; : : : ; xn)xx11 xx22 : : : xxnn , RAWNOE f(x1; x2; : : : ; xn).
tEOREMA DOKAZANA.
eSLI FUNKCIQ f(x1; x2; : : : ; xn) NE RAWNA TOVDESTWENNO 0, TO FORMULU (2) MOVNO PEREPISATX TAK:
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
x 1 x 2 |
: : : x n : |
(3) |
|
|
1 2 |
n |
|
|
f( 1;::: ; n)=1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
dLQ POLU^ENIQ MNOGO^LENA vEGALKINA, WY^ISLQ@]EGO ZNA- |
||||
^ENIQ FUNKCII f , DOSTATO^NO W FORMULE (2) ILI (3) |
WMESTO x0 , |
|||
|
|
|
|
i |
RAWNOGO xi , PODSTAWITX (xi + 1), ZATEM RASKRYTX WSE SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY.
eSLI BULEWA FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ FORMULY, TO DLQ NAHOVDENIQ EE MNOGO^LENA vEGALKINA DOSTATO^NO WYPOLNITX SLEDU@]IE PREOBRAZOWANIQ.
1. iSKL@^ITX OPERACII !; _; ^; q PO FORMULAM
!b = a _ b, a _ b = a b, a b = a b, a = a 1.
2.rASKRYTX WSE SKOBKI PO FORMULE a(b c) = ab ac.
3.pRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM aa = a, a a = 0, a 0 = a.
8
pRIMER 2. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; x3) = (1101 0100)T , ZDESX UKAZAN STOLBEC ZNA^ENIJ f W
TABLICE ISTINNOSTI (SM. TABL. 7). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
rE[ENIE. pO FORMULE (3) ZAPI[EM SUMMU POL- |
|
tABLICA 7 |
||||||||||||||||||
NYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ PO TEM STRO^- |
x1 |
x2 |
x3 |
|
f |
|||||||||||||||
KAM TABL. 7, GDE \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ISTINNOJ: |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|||||||||||||||
f(x1; x2; x3) = x10x20x30 x10x20x31 x10x21x31 x11x20x31 . |
0 0 1 |
1 |
||||||||||||||||||
pOSLE \TOGO ZAMENIM x0 NA (xi |
|
1), RASKROEM WSE |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SKOBKI I PRIWEDEM PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|||||||||||||||
x x = 0, xx = x, x 0 = x. w REZULXTATE PO- |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||||
LU^IM: f(x1; x2; x3) = (x1 |
1)(x2 1)(x3 1) |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||||||||||
(x1 |
1)(x2 1)x3 |
(x1 |
1)x2x3 |
x1(x2 1)x3 = |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||
= x1x2 |
x1x3 x2x3 |
|
|
x1 |
x2 1. |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
pRIMER 3. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII |
||||||||||||||||||||
f(x; y) = (x y) _ ( |
|
|
! |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rE[ENIE. wYPOLNQEM PREOBRAZOWANIQ 1 { 3 (SM. WY[E). |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y) _ ( |
|
! |
|
) = |
|
|
|
|
x = (x y)(y 1)x 1 = |
||||||||||
|
y |
x |
x |
y |
y |
|||||||||||||||
= xxy xyy xx xy 1 = xy xy x xy 1 = xy x |
1. |
|||||||||||||||||||
x 5. rEALIZACIQ BULEWOJ FUNKCII W dnf
oPREDELENIE 1. dIZ_@NKCIQ \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NA- ZYWAETSQ DIZ_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ (dnf). dIZ_@NK- CIQ POLNYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NAZYWAETSQ SOWER[ENNOJ dnf.
tEOREMA O REALIZACII BULEWOJ FUNKCII W dnf. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) IMEET MESTO FORMULA
|
|
1 |
|
|
|
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
f( 1 |
; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n : |
(1) |
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
1;::: ; n=0 |
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH x1; x2; : : : ; xn |
|||||
KON_@NKCIQ x 1 x 2 : : : x n |
ISTINNA LI[X TOGDA, KOGDA i |
= xi |
|||
1 2 |
n |
|
|
|
|
DLQ WSEH ZNA^ENIJ i = 1;2; : : : ; n. sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (1) MOVET BYTX OTLI^NOJ OT 0 TOLXKO ODNA \LEMENTARNAQ
KON_@NKCIQ f(x1; x2; : : : ; xn)xx11 xx22 : : : xxnn , RAWNAQ f(x1; : : : ; xn).
tEOREMA DOKAZANA.
9
sLEDSTWIE. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII, NE RAWNOJ TOVDEST- WENNO NUL@, IMEET MESTO FORMULA
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
x 1 x 2 |
: : : x n |
: |
(2) |
|
1 2 |
n |
|
|
|
f( 1;::: ; n)=1 |
|
|
|
fORMULY (1) I (2) REALIZU@T BULEWU FUNKCI@ W SOWER[ENNOJ dnf | ONA OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO PO DANNOJ FUNKCII f , NO PROIZWOLXNYH dnf, WY^ISLQ@]IH ZNA^ENIQ f , MOVET BYTX NE- SKOLXKO. tA IZ \TIH dnf, KOTORAQ IMEET NAIMENX[EE KOLI^ESTWO BUKW W SWOEJ ZAPISI, NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ (PO LITERALAM).
pRIMER 1. sOWER[ENNAQ dnf DLQ f(a; b; c) = (1001 0111)T =
= (0; 3;5; 6; 7) WYGLQDIT TAK: f(a; b; c) = a bc_ abc_a bc_ab c_abc.
pRIMENQQ PRAWILO SKLEIWANIQ AB _ AB = B, MOVNO \TU dnf UPROSTITX TAK: f(a; b; c) = b c _ ac _ ab.
eSLI FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ PROPOZICIONALXNOJ FORMU- LY, TO DLQ PRIWEDENIQ EE K dnf MOVNO POSTROITX ISTINNOSTNU@ TABLICU I DALEE PRIMENITX PRAWILO SKLEIWANIQ. oDNAKO, ESLI FUNKCIQ ZAWISIT OT BOLX[OGO ^ISLA PEREMENNYH, TO ISTINNOST- NAQ TABLICA MOVET OKAZATXSQ GROMOZDKOJ. w \TOM SLU^AE MOVNO PRIWODITX pf K dnf METODOM PREOBRAZOWANIJ.
dLQ PRIWEDENIQ pf K dnf DOSTATO^NO
1) ISKL@^ITX OPERACII !; ; PO FORMULAM:
a ! b = a _ b, a b = ab _ a b, a b = ab _ ab;
2) PRIMENQQ ZAKONY DE mORGANA DOBITXSQ, ^TOBY OTRICANIQ BYLI LI[X OT PEREMENNYH I KONSTANT;
3) RASKRYTX SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM: a(b _ c) = ab _ ac, a a = a, a 0 = 0, a 1 = a, a a = 0,
a _ a = 1, a _ 0 = a, a _ 1 = 1, a _ a = a.
eSLI NEOBHODIMO POLU^ITX SOWER[ENNU@ dnf, TO W NEPOLNYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIQH IME@]EJSQ dnf WMESTO OTSUTSTWU- @]IH SOMNOVITELEJ xi WSTAWLQ@T (xi_ xi) I E]E RAZ RASKRYWA@T SKOBKI.
pRIMER 2. dLQ FUNKCII f(a; b; c) = (a b)(b ! (a c))_ a ! c NAJTI SOWER[ENNU@ dnf.
rE[ENIE. iSKL@^AQ OPERACII !; ; , POLU^AEM, ^TO
f(a; b; c) = (ab _ a b)( b _ a c _ ac) _ a _ c.
dALEE PRIMENQEM ZAKONY DE mORGANA, RASKRYWAEM SKOBKI I POSLE
10