Дискретная математика Насоров А.З., Насыров З.Х. 2009
.pdfglawa 3. kombinatorika
x 1. pERESTANOWKI, RAZME]ENIQ I IH KOLI^ESTWO
pRINCIP KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. eSLI SOBYTIE A
MOVNO OSU]ESTWITX m SPOSOBAMI, I NEZAWISIMO OT \TOGO, SOBY- TIE B | n SPOSOBAMI, TO OBA SOBYTIQ (SOBYTIE AB) MOVNO RE- ALIZOWATX mn SPOSOBAMI.
pOD n-MNOVESTWOM BUDEM PONIMATX MNOVESTWO IZ n RAZLI^- NYH \LEMENTOW, A (n)-NABOR POLU^AETSQ IZ n-MNOVESTWA RAZMNO- VENIEM KAVDOGO EGO \LEMENTA W DOSTATO^NO BOLX[OM KOLI^ESTWE \KZEMPLQROW.
oPREDELENIE 1. pERESTANOWKOJ IZ n \LEMENTOW NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNOE n-MNOVESTWO.
oPREDELENIE 2. rAZME]ENIEM IZ n PO k, GDE 0 < k 6 n, NA- ZYWAETSQ UPORQDO^ENNOE k-PODMNOVESTWO DANNOGO n-MNOVESTWA. rAZME]ENIE IZ n PO k MOVNO REALIZOWATX POSLEDOWATELXNOJ
WYBORKOJ k [AROW IZ IME@]IHSQ W URNE
PO\TOMU k-PODMNOVESTWO ^ASTO NAZYWA@T k-WYBORKOJ. tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH RAZME]ENIJ IZ n PO k NAHODITSQ
PO FORMULE Ak |
= |
n! |
= n(n |
1) : : : (n k + 1). |
|
||||
|
||||
n |
|
(n ; k)! |
; |
; |
|
|
dOKAZATELXSTWO. pRIMENIM METOD KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. pERWYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n SPOSOBAMI, POSLE \TOGO WTOROJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n ; 1 SPOSOBOM I T.D., POSLEDNIJ k-TYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n ; k + 1 SPOSOBOM. zNA^IT POSLEDOWA- TELXNAQ WYBORKA OSU]ESTWIMA n(n;1) : : : (n;k + 1) SPOSOBAMI. uMNOVIW I RAZDELIW \TO PROIZWEDENIE NA (n ; k)!, MY POLU^IM ISKOMU@ FORMULU. tEOREMA DOKAZANA.
sLEDSTWIE. kOLI^ESTWO WSEH RAZLI^NYH PERESTANOWOK DANNO- GO n-MNOVESTWA ZADAETSQ FORMULOJ
21
oPREDELENIE 3. uPORQDO^ENNAQ k-WYBORKA DANNOGO (n)-NABO- RA NAZYWAETSQ RAZME]ENIEM IZ n PO k S POWTORENIQMI.
rAZME]ENIQ IZ n PO k S POWTORENIQMI MOVNO REALIZOWATX, WYNIMAQ k RAZ PO ODNOMU [ARU IZ IME@]IHSQ W URNE n RAZLI^NYH [AROW S POSLEDU@]IM WOZWRA]ENIEM EGO W URNU.
tEOREMA 2. kOLI^ESTWO WSEH RAZME]ENIJ IZ n PO k S POWTO- RENIQMI ZADAETSQ FORMULOJ Ak(n) = nk .
dOKAZATELXSTWO. pERWYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n SPOSOBA- MI, POSLE \TOGO WTOROJ \LEMENT MOVNO WYBRATX TOVE n SPOSOBAMI I T.D., POSLEDNIJ k-TYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX TAKVE n SPOSOBA- MI. zNA^IT POSLEDOWATELXNAQ WYBORKA OSU]ESTWIMA nk SPOSOBAMI PO PRINCIPU KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. tEOREMA DOKAZANA.
x 2. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI
(n1; n2; : : : ; nk)-NABOR MOVNO POLU^ITX IZ DANNOGO k-MNOVESTWA M = fa1; a2; : : : ; akg RAZMNOVENIEM \LEMENTA ai W ni \KZEMPLQRAH,
GDE ni > 0, i = 1; 2; : : : ; k.
oPREDELENIE 1. uPORQDO^ENNYJ (n1; n2; : : : ; nk)-NABOR NAZY- WAETSQ PERESTANOWKOJ S POWTORENIQMI.
tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH RAZLI^NYH PERESTANOWOK S PO- WTORENIQMI (n1 ; n2; : : : ; nk)-NABORA ZADAETSQ FORMULOJ
P(n1; n2; : : : ; nk) = (n1 + n2 + : : : + nk)! : n1!n2! : : : nk!
dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM L@BU@ PERESTANOWKU S POWTORENIQ- MI DANNOGO NABORA I ZAMENIM W NEJ n1 \KZEMPLQROW \LEMENTA a1
NA RAZNYE \LEMENTY a11; a12; : : : ; a1n1 . pERESTAWLQQ IH MEVDU SO- BOJ, MY POLU^IM n1! PERESTANOWOK, W KOTORYH NET POWTORENIQ \LE-
MENTOW a1 , NO E]E OSTALISX POWTORENIQ \LEMENTOW a2; a3; : : : ; ak . zAMENQQ IH TAKIM VE OBRAZOM I PERESTAWLQQ MEVDU SOBOJ, POLU- ^IM OKON^ATELXNO RAZMNOVENIE W n1!n2! : : : nk! RAZ. wSEGO W ITOGE POLU^IM (n1 + n2 + : : :+ nk)! OBY^NYH PERESTANOWOK (BEZ POWTORE-
NIJ) I ZNA^IT P (n1; n2; : : : ; nk) n1!n2! : : : nk! = (n1 +n2 +: : :+nk)!.
oTS@DA SLEDUET ISKOMAQ FORMULA. tEOREMA DOKAZANA.
zADA^A O RAZBIENII MNOVESTWA NA PODMNOVESTWA S ZA- DANNYM ^ISLOM \LEMENTOW. mNOVESTWO M , SOSTOQ]EE IZ n
22
\LEMENTOW, MOVNO RAZBITX P (n1; n2; : : : ; nk) SPOSOBAMI NA NEPE- RESEKA@]IESQ PODMNOVESTWA M1; M2; : : : ; Mk , S ZADANNYM KOLI- ^ESTWOM \LEMENTOW n1; n2; : : : ; nk , PRI^EM n1 + n2 + : : : + nk = n. rE[ENIE. kAVDOE RAZBIENIE MNOVESTWA M NA UKAZANNYE POD- MNOVESTWA MOVNO ODNOZNA^NO ZAKODIROWATX POSLEDOWATELXNOSTX@ IZ n ^ISEL, ZAPISAW NA i-TOM MESTE \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NO- MER TOGO PODMNOVESTWA, W KOTOROE POPAL i-TYJ \LEMENT MNOVES- TWA M . w REZULXTATE MY POLU^IM PERESTANOWKU S POWTORENIQMI IZ n1 \KZEMPLQROW ^ISLA 1, n2 \KZEMPLQROW ^ISLA 2 I T.D., nk \KZEMPLQROW ^ISLA k. pOSKOLXKU KOLI^ESTWO TAKIH PERESTANOWOK S POWTORENIQMI RAWNO P(n1; n2; : : : ; nk), TO STOLXKO VE BUDET I
ISKOMYH RAZBIENIJ. zADA^A RE[ENA.
x 3. pOLINOMIALXNAQ FORMULA
tEOREMA 1. iMEET MESTO SLEDU@]AQ POLINOMIALXNAQ FORMU-
LA: (x1 + x2 + : : : + xk)n = PP(n1; n2; : : : ; nk)xn11 xn22 : : : xnkk , W KO-
TOROJ INDEKSY n1; n2; : : : ; nk MENQ@TSQ OT 0 DO n S SOBL@DENIEM USLOWIQ n1 + n2 + : : : + nk = n.
dOKAZATELXSTWO. lEWU@ ^ASTX POLINOMIALXNOJ FORMULY MOV- NO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ n SKOBOK: (x1+x2+: : :+xk)n =
= (x1 + x2 + : : : + xk) (x1 + x2 + : : : + xk) : : : (x1 + x2 + : : : + xk).
pOSLE RASKRYTIQ SKOBOK PO PRAWILU UMNOVENIQ MNOGO^LENOW, MY POLU^IM SUMMU ODNO^LENOW STEPENI n WIDA xn11 xn22 : : : xnkk . tA- KOMU ODNO^LENU SOOTWETSTWUET RAZBIENIE MNOVESTWA IZ n SKO- BOK NA k PODMNOVESTW: W i-TOE PODMNOVESTWO BEREM TE SKOBKI, IZ KOTORYH WZQT MNOVITELX xi , i = 1; 2; : : : ; n. zNA^IT UKAZAN- NYJ ODNO^LEN WSTRE^AETSQ W KOLI^ESTWE, RAWNOM ^ISLU RAZBIENIJ MNOVESTWA IZ n SKOBOK NA k PODMNOVESTW S ^ISLOM \LEMENTOW n1; n2; : : : ; nk . sOGLASNO PREDYDU]EJ ZADA^E \TO KOLI^ESTWO RAW- NO P(n1; n2; : : : ; nk), ^TO I ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO POLINOMI- ALXNOJ FORMULY.
pRIMER 1. nAJTI KO\FFICIENT PRI x5 W RAZLOVENII MNOGO-
^LENA (1 + x ; 2x2)7 .
rE[ENIE. sOGLASNO POLINOMIALXNOJ FORMULE POLU^AEM, ^TO
(1 + x ; 2x2)7 = PP (n1; n2; n3)1n1 xn2 (;2x2)n3 . w \TOJ SUMME x5
23
BUDET, KOGDA n2 + 2n3 = 5; A S U^ETOM USLOWIQ n1 + n2 + n3 = 7 POLU^AEM SISTEMU OTNOSITELXNO NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL
n1 , n2 I n3 . mETODOM PEREBORA SLU^AEW POLU^AEM TRI RE[ENIQ
\TOJ SISTEMY: (2; 5; 0), (3; 3; 1) I (4; 1; 2). tOGDA KO\FFICIENT PRI |
|
x5 BUDET RAWNYM P (2; 5; 0)(;2)0 +P (3; 3; 1)(;2)1 +P(4; 1; 2)(;2)2 = |
|
= 21 ; 280 + 420 = 161. |
oTWET: 161. |
x 4. sO^ETANIQ I IH SWOJSTWA
oPREDELENIE 1. sO^ETANIEM IZ n PO k NAZYWAETSQ NEUPORQ- DO^ENNOE k-PODMNOVESTWO DANNOGO n-MNOVESTWA.
tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH SO^ETANIJ IZ n PO k WY^ISLQ-
ETSQ PO FORMULE Ck = |
|
|
n! |
|
; 0 6 k 6 n. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
k!(n ; k)! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dOKAZATELXSTWO. iZ KAVDOGO k-\LEMENTNOGO PODMNOVESTWA MOV- |
|||||||||||||||
NO POLU^ITX k! |
RAZME]ENIJ, PO\TOMU Cnk k! = Ank . oTS@DA POLU- |
||||||||||||||
^AEM, ^TO Cnk = |
|
1 |
|
Ank = |
|
n! |
|
. tEOREMA DOKAZANA. |
|
||||||
|
k! |
|
k!(n |
; k)! |
|
||||||||||
sO^ETANIE IZ n PO k MOVNO REALIZOWATX ODNOWREMENNOJ WY- |
|||||||||||||||
BORKOJ k [AROW IZ IME@]IHSQ W URNE n RAZLI^NYH [AROW. |
|||||||||||||||
sWOJSTWO 1. C0 |
= Cn |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sWOJSTWO 2. Cnn;k = Cnk | SIMMETRI^NOSTX. |
|
|
|
||||||||||||
sWOJSTWO 3. Ck + Ck+1 = Ck+1 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
||||
dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 1 { 3 MOVNO PROWESTI, ISPOLXZUQ FOR- |
|||||||||||||||
MULU DLQ ^ISLA SO^ETANIJ. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
s POMO]X@ SWOJSTW 1,2,3 MOVNO WY- |
|
1 |
1 |
|
|||||||||||
STROITX TAK NAZYWAEMYJ TREUGOLXNIK pA- |
|
1 |
2 |
1 |
|||||||||||
SKALQ, W n-NOJ STROKE KOTOROGO RASPOLOVE- |
1 |
3 |
3 |
1 |
|||||||||||
NY Cn0; Cn1; : : : ; Cnn |
I KAVDOE ^ISLO WNUT- |
1 |
4 |
6 |
4 1 |
||||||||||
RI \TOGO TREUGOLXNIKA PO SWOJSTWU 3 RAWNO |
|
||||||||||||||
SUMME DWUH ^ISEL, |
STOQ]IH NAD NIM W PRE- |
||||||||||||||
|
rIS. 10 |
||||||||||||||
DYDU]EJ STROKE (SM. RIS. 10). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tEOREMA 2. iMEET MESTO SLEDU@]AQ FORMULA, |
NAZYWAEMAQ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
FORMULOJ BINOMA nX@TONA: |
(x + y)n = P Cnkxkyn;k: |
|
|||||||||||||
k=0
dOKAZATELXSTWO. pRIMENIW POLINOMIALXNU@ FORMULU, POLU-
24
^IM (x + y)n = |
|
P (n1; n2)xn1 yn2 . sDELAEM ZAMENU: n1 = k, |
||||||
|
|
n1+n2=n |
|
|
|
|
|
|
TOGDA n = n |
; |
k IPP (n ; n |
) = (n1 + n2)! |
= |
n! |
= Ck . |
||
|
||||||||
2 |
|
1 |
2 |
n1! n2! |
|
k! (n ; k)! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
w REZULXTATE ZAMENY MY POLU^IM ISKOMU@ FORMULU BINOMA |
||||||||
|
|
|
k=n |
|
|
|
|
|
nX@TONA: (x + y)n = |
P |
Cnkxkyn;k . |
|
|
|
|||
k=0
x 5. sO^ETANIQ S POWTORENIQMI
oPREDELENIE 1. sO^ETANIEM IZ n PO k S POWTORENIQMI NAZY- WAETSQ ODNOWREMENNAQ (NEUPORQDO^ENNAQ) k-WYBORKA IZ (n)-NABORA. pRIMER 1. iMEETSQ 5 SO^ETANIJ IZ 2 \LEMENTOW a I b PO 4 S
POWTORENIQMI: aaaa, aaab, aabb, abbb, bbbb.
tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH SO^ETANIJ IZ n PO k S POWTORE-
NIQMI ZADAETSQ FORMULOJ Ck = (n + k ; 1)! .
(n) k!(n ; 1)!
dOKAZATELXSTWO. kAVDOE SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW a1; : : : ; an
PO k S POWTORENIQMI MOVNO ZAKODIROWATX PERESTANOWKOJ IZ k ^I- SEL 1 I n ; 1 ^ISLA 0 SLEDU@]IM OBRAZOM. pI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO WZQTO \LEMENTA a1 , ZATEM 0; DALEE PI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO IMEETSQ a2 , ZATEM SNOWA 0 I T.D.; W KONCE PI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO RAZ WSTRE^AETSQ W SO^ETANII \LEMENT an . pOSKOLX- KU KOLI^ESTWO PERESTANOWOK IZ k ^ISEL 1 I n ; 1 ^ISLA 0 RAWNO
(n + k ; 1)! , TO STOLXKO VE BUDET I SO^ETANIJ S k!(n ; 1)!
POWTORENIQMI. tEOREMA DOKAZANA.
zADA^A O RAZDA^E PODARKOW. kOLI^ESTWO RE[ENIJ W NEOTRI- CATELXNYH CELYH ^ISLAH DIOFANTOWA URAWNENIQ x1 +
RAWNO C(kn) .
rE[ENIE. kAVDOMU RE[ENI@ \TOGO URAWNENIQ ODNOZNA^NO SO- OTWETSTWUET SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW a1; a2; : : : ; an PO k S POWTO- RENIQMI, W KOTOROM \LEMENT ai WSTRE^AETSQ xi RAZ, i = 1; 2; : : : n. pO\TOMU ISKOMOE KOLI^ESTWO RE[ENIJ DANNOGO DIOFANTOWA URAW- NENIQ RAWNO ^ISLU SO^ETANIJ C(kn) . zADA^A RE[ENA.
25
x 6. fORMULA WKL@^ENIJ I ISKL@^ENIJ
pUSTX DANO MNOVESTWO M IZ N \LEMENTOW I NA \TOM MNOVEST- WE OPREDELENY PREDIKATY P1(x), P2(x); : : : ; Pn(x). oBOZNA^IM ^E- REZ N(Pi) KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) ISTINNO, ^E- REZ N( P i) { KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) LOVNO, ^EREZ N(PiPj) { KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) ^Pj (x) ISTINNO I T.D.
tEOREMA O WKL@^ENIQH I ISKL@^ENIQH. iMEET MESTO SLE-
DU@]AQ FORMULA WKL@^ENIJ I ISKL@^ENIJ:
nn
|
n |
P |
P |
|
N( P 1 P 2 : : : Pn) = |
N ; i=1 N(Pi) + i<j |
N(PiPj); |
||
; |
P |
N(PiPj Pk) + : : : + (;1)nN(P1P2 : : : Pn). (1) |
||
|
i<j<k |
|
|
|
dOKAZATELXSTWO PROWEDEM INDUKCIEJ PO ^ISLU n.
bAZA INDUKCII. eSLI n = 1, TO FORMULA WKL@^ENIJ I ISKL@-
^ENIJ WYGLQDIT TAK: N( P1) = N ; N(P1), ^TO O^EWIDNO. iNDUKCIONNOE PREDPOLOVENIE. pUSTX FORMULA WKL@^ENIJ I
ISKL@^ENIJ WERNA DLQ n SWOJSTW.
{AG INDUKCII. dOKAVEM (1) DLQ n + 1 SWOJSTWA. pOSKOLXKU
N( P 1 P 2 : : : Pk P n+1) = N( P 1 P 2 : : : Pn) ; N( P1 P2 : : : P nPn+1),
(2)
A PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ IZ FORMULY (1) SLEDUET, ^TO
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
N( P 1 P 2 : : : PnPn+1) = N(Pn+1); |
i=1 |
N(PiPn+1)+ N(Pi PjPn+1); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i<j |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
P |
P |
|
; |
i<j<k |
N(PiPj PkPn+1) + : : : + (;1)nN(P1P2 : : : PnPn+1), (3) |
||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||
TO PODSTAWLQQ W FORMULU (2) PRAWYE ^ASTI FORMUL (1) I (3), PO- LU^AEM POSLE PRIWEDENIQ PODOBNYH ^LENOW SLEDU@]EE RAWENSTWO:
n+1
N( P 1 P 2 : : : Pn Pn+1) = N ; P i=1
n+1
; P N(PiPjPk) +
i<j<k
n+1
N(Pi) + P N(PiPj);
i<j
: : : + (;1)n+1N(P1P2 : : : PnPn+1).
26
{AG INDUKCII PRODELAN, T.K. MY POLU^ILI FORMULU (1) DLQ n + 1 SWOJSTWA. tEOREMA DOKAZANA.
pRIMER 1. fORMULA WKL@^ENIJ I ISKL@^ENIJ DLQ n = 3 WY-
GLQDIT TAK: N( P1 P2 P3) = N ; N(P1) ; N(P2) ; N(P3)+
+N(P1P2) + N(P1P3) + N(P2P3) ; N(P1P2P3).
|TU FORMULU MOVNO PROILL@STRIROWATX S POMO]X@ RIS. 11, NA KOTOROM KRUGI WYDELQ@T \LEMENTY, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI- QM P1 , P2 I P3 , A WSE MNOVESTWO M IZOBRAVENO W WIDE PRQMO- UGOLXNIKA. ~ISLA NA \TOM RISUNKE POKAZYWA@T SKOLXKO RAZ DAN- NYE \LEMENTY DOBAWLQ@TSQ I UDALQ@TSQ W PRAWOJ ^ASTI FORMULY
WKL@^ENIJ I ISKL@^ENIJ, NAPRIMER, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P1 |
|
|
|
|
P2 |
|
||||||||||||||
OZNA^AET ^TO UKAZANNYE \LEMENTY DOBAW- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
LQ@TSQ I UDALQ@TSQ PO 2 RAZA. mY WIDIM, |
|
|
1 |
|
## |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
^TO OSTA@TSQ \LEMENTY, POME^ENNYE ^IS- |
|
|
|
|
|
# |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
LOM |
+1, |
KOTORYE SOOTWETSTWU@T \LEMEN |
- |
|
P3 |
|
|
1 |
+1 |
|
||||||||||
TAM, NE UDOWLETWORQ@]IM NI ODNOMU IZ |
|
|
|
|
|
""!! |
||||||||||||||
|
|
|
|
rIS. 11 |
|
|||||||||||||||
DANNYH SWOJSTW. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"! |
||
|
x 7. lINEJNYE ODNORODNYE REKURRENTNOSTI |
|||||||||||||||||||
oPREDELENIE 1. pOSLEDOWATELXNOSTX (un)1 |
|
|
ZADANA LINEJ- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|||
NYM ODNORODNYM REKURRENTNYM SOOTNO[ENIEM PORQDKA k, ESLI |
||||||||||||||||||||
IZWESTNY NA^ALXNYE ZNA^ENIQ |
|
u0; u1; : : : ; uk |
; |
1 , |
|
|
|
(1) |
||||||||||||
A DLQ n |
> k |
un = a1un 1 + a2un |
|
|
|
|
|
|
k , |
|
(2) |
|||||||||
; |
2 + : : : + akun |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
||
GDE a1; a2; : : : ; ak | IZWESTNYE KO\FFICIENTY, PRI^EM ak |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
pRIMER 1. pOSLEDOWATELXNOSTX fIBONA^^I ZADAETSQ TAK: |
||||||||||||||||||||
u0 = u1 |
|
= 1, un = un |
; |
1 + un |
; |
2 , DLQ n > 2. nESKOLXKO PERWYH |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^LENOW \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI SLEDU@]IE: 1; 1; 2;3; 5; 8; 13; 21.
tEOREMA O REKURRENTNOSTI. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (un) ZADANA REKURRENTNYM SOOTNO[ENIEM (2), TOGDA FORMULA OB]EGO ^LENA \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI TAKOWA:
un = P1(n)tn1 + P2(n)t2n + : : : + Ps(n)tns ,
GDE t1; t2; : : : ; ts | KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ
f(t) = tk ; a1tk;1 ; a2tk;2 ; : : : ; ak = 0,
A Pi(n) | MNOGO^LENY STEPENI ki ; 1, GDE ki | KRATNOSTX ti W KA^ESTWE KORNQ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ,
27
PRI^EM k1 + k2 + : : : + ks = k. kO\FFICIENTY \TIH MNOGO^LENOW OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH USLOWIJ (1).
dOKAZATELXSTWO eSLI A t 1 u t TO
. ( ) = P n n ,
n=0
1 n = ( ) ; ; ; ; k;1 ,
Xunt A t u0 u1 t : : : uk;1t
n=k
1 n = ( ( ) ; ; ; ; k;2),
Xun;1t t A t u0 u1t : : : uk;2t
n=k
.
.
.
1 n = k ( ).
Xun;kt t A t
n=k
uMNOVIM OBE ^ASTI RAWENSTWA (2) NA tn I PROSUMMIRUEM OT
n = k DO 1. s U^ETOM PRIWEDENNYH WY[E RAWENSTW, POLU^IM, ^TO |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 ; a1t ; a2t2 ; : : : ; aktk)A(t) = Qk;1(t), |
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
GDE Qk;1 { NEKOTORYJ MNOGO^LEN STEPENI k |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
pO USLOWI@ TEOREMY |
f(t) = (t;t1) |
k1 |
|
|
|
;k2 |
: : : |
(t;ts) |
ks |
, |
TOGDA |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t;t2) |
|
|
||||||||||||||||||||
1 a1 t |
a2t2 |
|
|
: : : |
|
|
|
|
aktk = tkf |
( |
1 |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
; |
; |
; |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= tk( |
1 |
; t1)k1 ( |
|
; t2)k2 : : : ( |
; ts)ks = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
t |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 |
|
; t1t)k1 (1 ; t2t)k2 : : : (1 ; tst)ks . |
|||||||||||||||||||
iZ FORMULY (3) WYRAZIM A(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
A(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qk;1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 |
; t1t)k1 (1 ; t2t)k2 : : : (1 |
; tst)ks |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
rAZLOVIW \TU RACIONALXNU@ DROBX W SUMMU PROSTEJ[IH DRO- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
BEJ, POLU^IM |
|
|
s |
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
ki 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A(t) = |
|
|
|
|
|
aij |
= |
|
|
aij Cn |
|
(tit)n . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
tit)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i=1 j=1 |
; |
|
|
|
|
i=1 j=1 n=0 |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XXX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
pOMENQW MESTAMI ZNAKI SUMMIROWANIQ, |
POLU^IM |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(t) = 1 untn == 1 |
|
|
s |
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
aij Cn |
tn |
tn . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(j) i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
iZ \TOGO RAWENSTWA WYTEKAET, |
|
^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
un = |
|
|
|
|
|
|
|
|
aijCn |
tn |
= |
|
|
Pi(n)tn , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
(j) |
i |
|
i=1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28
ki |
|
|
ki |
|
(n+1)(n+2):::(n+j;1) |
|
GDE KO\FFICIENT Pi(n) = |
aijCn |
= |
|
aij |
QW- |
|
j=1 |
(j) |
|
j=1 |
|
(j;1)! |
|
P ki ; 1. |
|
P |
|
|
|
|
LQETSQ MNOGO^LENOM STEPENI |
|
|
|
|
|
|
tEOREMA DOKAZANA.
pRIMER 2. nAJTI OB]U@ FORMULU DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fI- BONA^^I.
|
rE[ENIE. pRIMENIM TEOREMU 1. wNA^ALE SOSTAWIM HARAKTERIS- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+p |
|
|
|||
TI^ESKOE URAWNENIE t |
2 |
|
t |
|
1 = 0 I NAJDEM EGO KORNI t1 |
= |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I |
t2 |
= |
|
|
; |
|
|
|
, KOTORYE IME@T KRATNOSTI k1 = k2 |
|
|
= 1. zNA^IT |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
FORMULA DLQ un IMEET WID un = At1n + Bt2n . iSPOLXZUQ NA^ALX- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NYE DANNYE u0 = u1 = 1, OPREDELQEM KONSTANTY |
|
|
A = |
|
1+p5 |
|
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2p |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1;p |
|
; S U^ETOM \TOGO POLU^AEM OTWET |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
B |
= |
; |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2p5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + p |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
n+1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
;2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
pRIMER 3. nAJTI@FORMULY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJA an I bn , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ESLI a0 = |
; |
1, b0 = |
; |
1 |
I |
|
an+1 = 9an ; |
12bn; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn+1 = 3an ; |
3bn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
rE[ENIE. iZ URAWNENIQ |
(4) WYRAVAEM bn I PODSTAWLQEM W URAW- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn = |
1 |
(9an |
|
an+1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
NENIE (5): |
|
12 |
|
|
; a;n+2) = 3an |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
(9an+1 |
; |
(9an ; an+1): |
|
|
(7) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
iZ (7) |
POSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^AEM an+2 |
;6an+1 + 9an = 0: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sOSTAWLQEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE: t2 |
; |
6t+ 9 = 0 = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|TO URAWNENIE IMEET KORENX |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||
(t |
; |
3) = 0. |
t1 = 3, |
EGO KRATNOSTX |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= (An + B)3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
k1 = 2, TOGDA an = P1 |
(n)t |
|
. dLQ NAHOVDENIQ A I B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NAPI[EM POLU^ENNU@ FORMULU DLQ n = 0 I n = 1, ESLI U^ESTX,
^TO a0 |
= ;1, A a10= 9a0 ; 12b0 = 3, TO POLU^AETSQ SISTEMA: |
|
|
||||||||||||||
|
(A 0 + B)3 = |
;1; = |
|
|
A = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(A + B)31 = 3; |
) |
B = ;1: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tAKIM OBRAZOM, an = (2n |
|
1)3n . pODSTAWLQQ an W (6), NAJDEM |
|||||||||||||||
bn = |
1 |
(9(2n |
1)3 |
n |
|
|
;n+1 |
) = (n |
|
1)3 |
n |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
12 |
; |
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 1)3 |
n |
, bn = (n ; 1)3 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
oTWET: an = (2n |
|
|
. |
||||||||
glawa 4. grafy
x 1. pONQTIE GRAFA. mATRICA SMEVNOSTI I EE SWOJSTWA
NAZYWAETSQ PARA (X;;), W KOTO-
ROJ X = fx1; : : : ; xng { MNOVESTWO WER[IN, A ; = (g1; g2; : : : ; gm) { NABOR REBER GRAFA, PRI^EM KAVDOE REBRO gi = (xk; xl) | NEUPO-
RQDO^ENNAQ PARA WER[IN, NAZYWAEMYH KONCAMI REBRA gi . oDNO I TO VE REBRO MOVET WHODITX W NABOR ; NESKOLXKO RAZ, T.E. DOPUS- KA@TSQ KRATNYE REBRA.
rEBRO WIDA (xk; xk) NAZYWAETSQ PETLEJ. gRAF BEZ PETELX I KRATNYH REBER NAZYWAETSQ PROSTYM.
pRIMER 1. nA RIS. 12 PRIWEDE- |
|
x2 |
b |
x1 b |
|
|
|
|
|||
NA GEOMETRI^ESKAQ REALIZACIQ GRAFA |
|
|
|
||
G(X; ;), GDE X = fx1; x2; x3; x4g, A |
x3 |
|
|
x4 |
|
|
|
b rIS. 12b |
|||
; = ((x1; x1); (x1; x2) ? 2; (x2; x3)). |
|
|
|||
oPREDELENIE 2. oRIENTIROWANNYM GRAFOM |
;! |
NAZYWAETSQ |
|||
G |
|||||
PARA (X; ;), W KOTOROJ X = fx1; x2; : : : ; xng { MNOVESTWO WER[IN |
|||||
GRAFA, A ; = (g1; g2; : : : ; gm) { NABOR DUG, |
PRI^EM KAVDAQ DUGA |
||||
gi =< xk; xl > | UPORQDO^ENNAQ PARA WER[IN, xk |
{ NA^ALO, A xl |
||||
{ KONEC DUGI gi . oDNA I TA VE DUGA MOVET WSTRE^ATXSQ W NABORE ; NESKOLXKO RAZ.
w DANNOM POSOBII BUDUT RASSMATRIWATXSQ TOLXKO NEORIENTI- ROWANNYE GRAFY. mNOGIE SWOJSTWA NEORIENTIROWANNYH GRAFOW PE- RENOSQTSQ NA ORIENTIROWANNYJ SLU^AJ. wMESTE S TEM, ORIENTIRO- WANNYE GRAFY OBLADA@T CELYM RQDOM WAVNYH HARAKTERISTIK, SWOJSTWENNYH TOLXKO IM, POZNAKOMITXSQ SO SWOJSTWAMI ORIENTI- ROWANNYH GRAFOW MOVNO W PRIWEDENNOJ LITERATURE.
30