Дискретная математика Насоров А.З., Насыров З.Х. 2009

UPRO]ENIJ POLU^AEM DIZ_@NKTIWNU@ FORMU:

f(a; b; c) = (ab _ a b)( b _ a c _ ac) _ ac = a b _ ab c _ abc _ ac.

dLQ POLU^ENIQ SOWER[ENNOJ dnf WSTAWIM SOMNOVITELI (c_ c) I (b_ b) W PERWU@ I ^ETWERTU@ \LEMENTARNYE KON_@NKCII; W ITOGE

POLU^IM: f(a; b; c) = ab c _ a bc _ abc _ abc _ abc.

x 6. tEOREMA O SOKRA]ENNOJ dnf. mINIMIZACIQ dnf

sWOJSTWO 1. pRI UDALENII L@BOGO SOMNOVITELQ IZ \LEMENTAR- NOJ KON_@NKCII EE OBLASTX ISTINNOSTI RAS[IRQETSQ W DWA RAZA. dOKAZATELXSTWO. eSLI \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K0 POLU^A- ETSQ IZ KON_@NKCII K UDALENIEM SOMNOVITELQ xi i , TO K ISTIN- NA TOLXKO PRI ODNOM ZNA^ENII xi = i , A K0 ISTINNA PRI DWUH

ZNA^ENIQH xi = 0 I xi = 1. sWOJSTWO DOKAZANO.

oPREDELENIE 1. kON_@NKTOM (IMPLIKANTOJ) BULEWOJ FUNK- CII f NAZYWAETSQ \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K, OBLASTX ISTIN- NOSTI KOTOROJ QWLQETSQ PODMNOVESTWOM OBLASTI ISTINNOSTI f .

tAKIM OBRAZOM KON_@NKT FUNKCII f QWLQETSQ ISTINNYM NA NEKOTORYH IZ TEH STRO^EK TABLICY ISTINNOSTI, GDE ISTINNA f , I QWLQETSQ LOVNYM NA WSEH STRO^KAH, GDE LOVNA FUNKCIQ f .

wOZXMEM NEKOTORYJ KON_@NKT K0 FUNKCII f I UDALIM IZ NEGO TAKOJ SOMNOVITELX, ^TOBY POLU^ILASX \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K1 , OSTA@]AQSQ KON_@NKTOM \TOJ FUNKCII. tAKIM VE OBRAZOM IZ K1 POLU^IM KON_@NKT K2 I T.D. pOSKOLXKU PRI KAVDOM UDALE- NII SOMNOVITELQ OBLASTX ISTINNOSTI KON_@NKCII RAS[IRQETSQ W DWA RAZA, TO NA NEKOTOROM \TAPE POLU^ITSQ KON_@NKT Ki TAKOJ, ^TO UDALENIE L@BOGO EGO SOMNOVITELQ PRIWEDET K \LEMENTARNOJ KON_@NKCII, NE QWLQ@]EJSQ KON_@NKTOM FUNKCII f .

oPREDELENIE 2. kON_@NKT K FUNKCII f NAZYWAETSQ PROS- TYM, ESLI IZ NEGO NELXZQ UDALENIEM KAKOGO-LIBO SOMNOVITELQ PO- LU^ITX BOLEE KOROTKIJ KON_@NKT K0 DLQ TOJ VE FUNKCII f .

tEOREMA O MINIMALXNOJ dnf. mINIMALXNAQ dnf SOSTO-

IT TOLXKO IZ PROSTYH KON_@NKTOW. dOKAZATELXSTWO. pUSTX K1 _ K2 _ : : : _ Ks

FUNKCII f . eSLI BY, NAPRIMER, KON_@NKT K1

11

UDALENIEM SOMNOVITELEJ IZ NEGO MOVNO BYLO BY POLU^ITX PROS- TOJ KON_@NKT K10 . tOGDA K10 _ K2 _ : : : _ Ks { dnf FUNKCII f , IME@]AQ MENX[EE ^ISLO BUKW, ^TO PROTIWORE^IT MINIMALXNOSTI ISHODNOJ dnf. tEOREMA DOKAZANA.

oPREDELENIE 3. sOKRA]ENNOJ dnf FUNKCII f NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ WSEH EE PROSTYH KON_@NKTOW.

tEOREMA O SOKRA]ENNOJ dnf. l@BAQ BULEWA FUNKCIQ f ,

NE RAWNAQ TOVDESTWENNO NUL@, RAWNA SWOEJ SOKRA]ENNOJ dnf. dOKAZATELXSTWO. pUSTX P1; P2; : : : ; Pk WSE PROSTYE KON_@NKTY

FUNKCII f . dOKAVEM RAWENSTWO f(x1; : : : ; xn) = P1(x1; : : : ; xn)_ _P2(x1; : : : ; xn) _ : : : _ Pk(x1; : : : ; xn). rASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ NABOR (a1; : : : ; an) I RAZBEREM 2 SLU^AQ.

1) f(a1; : : : ; an) = 0, TOGDA WSE Pi(a1; : : : ; an) = 0, T.K. ONI QW-

LQ@TSQ KON_@NKTAMI FUNKCII f . oTS@DA SLEDUET, ^TO DIZ_@NK- CIQ Pi(a1; : : : ; an) PO WSEM ZNA^ENIQM i = 1; 2; : : : ; k TOVE RAWNA 0 I ISKOMOE RAWENSTWO WERNO.

2) f(a1; : : : ; an) = 1, TOGDA KON_@NKT K = xa11 xa22 : : : xann RA-

WEN 1 NA \TOM NABORE. eSLI KON_@NKT K QWLQETSQ PROSTYM, TO ON IMEETSQ SREDI P1; P2; : : : ; Pk I, SLEDOWATELXNO, IH DIZ_@NKCIQ RAWNA 1 NA NABORE (a1; : : : ; an). eSLI K NE QWLQETSQ PROSTYM, TO UDALENIEM NEKOTORYH SOMNOVITELEJ IZ NEGO POLU^AETSQ ODIN IZ PROSTYH KON_@NKTOW, KOTORYJ I RAWEN 1 NA NABORE (a1 ; : : : ; an) I, ZNA^IT, SNOWA DIZ_@NKCIQ WSEH PROSTYH KON_@NKTOW RAWNA 1. tEOREMA DOKAZANA.

sLEDSTWIE. mINIMALXNAQ dnf POLU^AETSQ IZ SOKRA]ENNOJ UDA- LENIEM NEKOTORYH PROSTYH KON_@NKTOW (LIBO RAWNA EJ).

kAKIE IMENNO PROSTYE KON_@NKTY NADO UDALITX IZ SOKRA]EN- NOJ dnf DLQ POLU^ENIQ MINIMALXNOJ dnf MOVNO UZNATX IZ TAB- LICY ISTINNOSTI DLQ PROSTYH KON_@NKTOW (SM. NIVE).

pRIMER 1. nAJTI SOKRA]ENNU@ I MINIMALXNU@ dnf FUNKCII f(x; y; z) = (1100 0111)T = (0; 1; 5; 6;7).

rE[ENIE. wYPI[EM STRO^KI 0; 1; 5; 6; 7, NA KOTORYH FUNKCIQ ISTINNA, TOGDA EE SOWER[ENNAQ dnf WYGLQDIT TAK:

f(x; y; z) = x0y0z0 _ x0y0z1 _ x1y0z1 _ x1y1z0 _ x1y1z1 .

nAHOVDENIE WSEH PROSTYH KON_@NKTOW BUDEM PROWODITX UDA- LQQ PEREMENNYE PO PRAWILU SKLEIWANIQ AB _ A B = A, OTTALKI-

12

fIZI^ESKI KONTAKTY MOVNO REALIZOWATX S POMO]X@ RELE ILI SOOTWETSTWU@]IH TRANZISTORNYH SHEM.

iZ KONTAKTOW, SOEDINQQ IH W POL@SAH, MOVNO SOBRATX KONTAKT- NU@ SHEMU, W KOTOROJ WYDELQ@TSQ DWA POL@SA I PODAETSQ NA NIH NAPRQVENIE. w ZAWISIMOSTI OT SOSTOQNIJ KONTAKTOW SHEMA LIBO PROPUSKAET TOK (SOSTOQNIE 1), LIBO NE PROPUSKAET (SOSTOQNIE 0). eSLI SOSTOQNIQ KONTAKTOW PRINADLEVAT fx1; x1; x2; x2; : : : ; xn; xng, TO SOSTOQNIE SHEMY QWLQETSQ BULEWOJ FUNKCIEJ y = f(x1; : : : ; xn), KOTORAQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI SHEMY.

sWOJSTWO 1. eSLI SHEMA SOSTOIT IZ KONTAKTOW x1 I x2 , SO- EDINENNYH POSLEDOWATELXNO (SM. RIS. 1), TO ONA IMEET FUNKCI@

tEOREMA O KONTAKTNOJ SHEME. pO L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f MOVNO POSTROITX KONTAKTNU@ SHEMU, DLQ KOTOROJ f QWLQETSQ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI.

dOKAZATELXSTWO. eSLI f(x1; x2 ; : : : ; xn) 0, TO EJ SOOTWETSTWU- ET SHEMA, NE IME@]AQ KONTAKTOW. eSLI VE f(x1; x2; : : : ; xn) 6 0, TO EE MOVNO REALIZOWATX W dnf. kAVDU@ \LEMENTARNU@ KON_- @NKCI@, IZ KOTORYH SOSTOIT dnf, REALIZUEM POSLEDOWATELXNOJ CEPO^KOJ KONTAKTOW, MEVDU SOBOJ \TI CEPO^KI SOEDINIM PARAL- LELXNO. pOLU^ENNAQ SHEMA IMEET f SWOEJ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI. tEOREMA DOKAZANA.

oDNU I TU VE FUNKCI@ PROWODIMOSTI MOGUT IMETX NESKOLXKO KONTAKTNYH SHEM. dLQ POSTROENIQ SHEMY S WOZMOVNO MENX[IM ^ISLOM KONTAKTOW OBY^NO ISPOLXZU@T MINIMALXNU@ dnf.

pRIMER 1. pOSTROITX KONTAKTNU@ SHEMU, FUNKCIEJ PROWODI-

MOSTI KOTOROJ QWLQETSQ f(x; y; z) = (1100 0111)T = (0; 1; 5;6; 7). rE[ENIE. w PREDYDU]EM PARAGRAFE DLQ \TOJ FUNKCII BYLI

14

NAJDENY DWE MINIMALXNYE dnf. wOZXMEM ODNU IZ NIH, NAPRIMER, f(x; y; z) = x y _ xz _ xy. eSLI PO \TOJ dnf POSTROITX SHEMU, TO ONA BUDET SOSTOQTX IZ 6 KONTAKTOW, ESLI VE \TU dnf PREDWARI- TELXNO PREOBRAZOWATX TAK: f(x; y; z) = x y _ x(z _ y), TO MOVNO POSTROITX SHEMU IZ 5 KONTAKTOW, IZOBRAVENNU@ NA RIS. 3.

15

glawa 2. mnovestwa i otno{eniq

x 1. pONQTIE MNOVESTWA. pODMNOVESTWO

pOD MNOVESTWOM A PONIMAETSQ SOWOKUPNOSTX OB_EKTOW PRO- IZWOLXNOJ PRIRODY, ONI NAZYWA@TSQ \LEMENTAMI MNOVESTWA A. s^ITAETSQ, ^TO \LEMENTY MNOVESTWA POPARNO RAZLI^NY. eSLI x QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA A, TO PI[UT: x 2 A, A x 2= A OZNA- ^AET, ^TO x NE PRINADLEVIT MNOVESTWU A. mNOVESTWO, NE IME@- ]EE \LEMENTOW, NAZYWAETSQ PUSTYM I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM ?. dRUGAQ KRAJNOSTX: MNOVESTWO WSEH \LEMENTOW, RASSMATRIWAEMYH W DANNYJ MOMENT, NAZYWAETSQ UNIWERSUMOM I OBOZNA^AETSQ BUKWOJ U . mNOVESTWO MOVNO ZADAWATX LIBO PERE^ISLENIEM EGO \LEMEN- TOW, NAPRIMER, TAK: fa; b; cg, LIBO WYDELITX EGO IZ DRUGOGO MNO- VESTWA S POMO]X@ NEKOTOROGO SWOJSTWA, NAPRIMER, fx 2 A j P (x)g OZNA^AET MNOVESTWO \LEMENTOW x 2 A, UDOWLETWORQ@]IH SWOJSTWU

oPREDELENIE 1. mNOVESTWA A I B RAWNY, ESLI ONI SOSTOQT IZ ODNIH I TEH VE \LEMENTOW, OBOZNA^AETSQ A = B .

sWOJSTWO 1. pUSTOE MNOVESTWO EDINSTWENNO. dOKAZATELXSTWO. pUSTX ?1 I ?2 { PUSTYE MNOVESTWA, TOGDA

UTWERVDENIQ x 2 ?1 I x 2 ?2 RAWNOSILXNY, T.K. ONI OBA QWLQ@TSQ LOVNYMI. sLEDOWATELXNO, ?1 = ?2 PO OPREDELENI@ 1.

dLQ OBOZNA^ENIQ STANDARTNYH ^ISLOWYH MNOVESTW BUDEM PRI- MENQTX SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ:

N = f1; 2; 3; : : : ; n; : : : g | MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL; Z = f0; 1; 2; : : : ; n; : : : g | MNOVESTWO CELYH ^ISEL;

Q = fmn j m 2 Z; n 2 Ng | MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL; R = (;1; +1) | MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL;

C = fa + bi j a 2 R; b 2 Rg | MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL.

16

DOMU IZ DANNYH MNOVESTW A I B , T.E. A\ B = fx j x 2 A^x 2 Bg

(SM. RIS. 5).

17

pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10 PO OPREDELENI@ RAWEN- STWA MNOVESTW. rAWNOSILXNOSTX PREDIKATOW x 2 LP I x 2 RP DO- KAZYWAEM, ISPOLXZUQ OPREDELENIQ PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ MNO-

VESTW: x 2 LP = x 2 A ^ x 2 (B [ C) = x 2 A ^ (x 2 B _ x 2 C) =

= (x 2 A ^ x 2 B) _ (x 2 A ^ x 2 C) = x 2 A \ B _ x 2 A \ C =

= x 2 (A \ B) [ (A \ C) = x 2 RP . ~TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

x 3. oPERACII RAZNOSTI I SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI MNOVESTW

18

= (M1; M2; M4 ; M7), ZDESX ZAPQTYE MEVDU MNOVESTWAMI OZNA^A- @T OB_EDINENIE. iTAK, OBA MNOVESTWA SOSTOQT IZ ODNIH I TEH VE ^ASTEJ M1; M2 ; M4 I M7 , ^TO I DOKAZYWAET IH RAWENSTWO.

x 4. dEKARTOWO PROIZWEDENIE MNOVESTW, BINARNYE OTNO[ENIQ

oPREDELENIE 1. dEKARTOWYM (PRQMYM) PROIZWEDENIEM MNOVESTW A1; A2; : : : ; An NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH UPORQDO^ENNYH

NABOROW (x1 ; x2; : : : ; xn) TAKIH, ^TO xi 2 Ai PRI i = 1;2; : : : n, OBO-

n

ZNA^AETSQ DEKARTOWO PROIZWEDENIE TAK: A1 : : : An ILI Q Ai .

i=1

w ^ASTNOSTI, A B = f(x; y) j x 2 A; y 2 Bg; ZAMETIM, ^TO

z 2 A B = 9x 2 A9y 2 B (z = (x; y)).

pRIMER 1. eSLI DANY MNOVESTWA A = f1; 2g I B = f1; 2; 3g, TO

A B = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3)g. 19

oPREDELENIE 2. bINARNYM OTNO[ENIEM MEVDU MNOVESTWAMI

20