Добавил:

InExtremo2023 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Интегральные уравнения Краснов М.Л

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.01.2021

Размер:

9.96 Mб

Скачать

☆

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Пoбeg,umenu коику.рса no созgанuю но.вых учебнtiков

Muнucmepcmвa

об''разованuя Poc.cuu

М.Л.Краснов А.. И.Кисепев Г.И.Макаренко

М.П.Красиов, А.И.КНсепев, Г.И. Макаренко

ИНТЕГРАЯЬНЬIЕ УРАВНЕНИИ

ЗАДАЧИ

nримеры с nодро6ными решениими

Издание третье, исnравленное

Книга бЬJЛа допущена Министерством высшего и среднего специального образования СССР

в качестве учебного пособия

для студентов высших техническихучебных заведений

УРСС Москва • 2003

ББК 22. 161.6я73

Краеиов Мцанл Леонтьевич,

Киселев Александр Иванович,

Макаренко JPиropиl Иваиович

Иитеrральные уравнении: Задачи и примеры е подробными решениями:

Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 192 с. (Вся высшая математика в задачах.)

ISBN 5-354-00390-3

В настоящем учебном пособии авторы предлаrают задачи по методам решенииинтеrралъных уравнений. В начале каждого раздела книги приводится сводка основных теоретичесКих положений, определений и формул, а также подробно разбирается более 70 типовых примеров. В книге содержится 350 :ЩЦач и примеров для самоетоительного решении, большинство которых снабжено ответами и указаниими к решению.

Пособие предназначено для студентов технических вузов с математической поДготовкой, а также для всех лиц, желающих познакомиться с методами решений основных типов интегральных уравнений.

Иэдательство •Едиториал УРСС•. 117312, r. Москва, nр-т 60-летия Октября, 9. Лицензия ИД N/05175 от 25.06.2001 r. Подписано к N9печати264 15.05.2003 r.

Формат 6Ох90/16. ТИраж 3000 экз. Печ. л. 12. Зак.

Отпечатано в типографии ИПО •Профиэдат•. 109044, r.Москва, Круrицкиll вал, 18.

ИЗДАТЕЛЬСТВО УРСС

НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

E-mail: URSS@URSS.ru

Ката/ntemлогвизданийt:

в http://URSS7 (095) 135.ru-4423- Теп./факс: 7 (095) 135-42-46

Твл./факс:

ISBN 5-354-0039.0-3

!© Едиториал УРСС, 2003

nредварительные замечания

1 . Функция f{ж), неотрицателъная на интервале (а,Ь), называетсЯ

суммируемой на этом интервале, если J f(ж) dж конечен О.

Функция f(ж) произволъноrо знака будет суммируемой на интервале

(а, Ь) тогда и только тогда, когда суммируема функция 1/(ж)\, т. е. когда

интеграл Jа IJ(ж)l dж имеет конечное значение.

В дальнейшем мы будем иметь дело с основным интервалом I :::::

(а,Ь) (или 10 = (О, а)) и основным квадратом fl{a ж, .t Ь} (или

По {О ж, t а}).

2. Пространство L1(a, Ь). Говорят, что f(a:) есть функция с интегри руемым квадратом на (а, Ь], если интеграл

1ь !2(3:) d:J:,

существует (конечен) . Совокуnность всех функций с интегрируемым квадратом на [а, Ь] обозначим L2(a, Ь) , или коротко L1•

Основные свойства функций иэ L2

1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть инте грируемая функция.

2. Сумма двух функций-из L2 также принадлежит L2•

З. Если f(a:) Е L2 и Л Произвольное действительное число, то

Л/(:7:) Е L2.

4.Если f(a:) Е L2 и g(:1:) Е L2, то имеет место неравенство Буняков

скоrо-Шварца

ь	)	2	ь	ь
(//(а:) g(ж) dx			/2(ж) dж	jа	i(x)	dж.	(1)
tJ			jа	jа	i(x)

1) Интегралвсюдуnон!fмается а смысле Лебеrа, однако читатель, незнакомый с интегралом

Лебега, может понимать интегралы в смысле Римана.

4	Предвврител ные замечания
	Скалярным произведением двух функций /(ж) Е L2										и g(ж) Е L2 назы-
вается число				ь
				ь
	(J,g)			= jа	J(ж)g(ж) dж.						(2)
				= jа	J(ж)g(ж) dж.						(2)
	Нормой функции J(x) Е L2 называют неотрицательное число
		/(i:i)						ь
	11/11 =	/(i:i)			=		1а
	11/11 =				=			/2(х) dж.			(3)
5.	Для f(x) и g(ж) из L2 имеет место неравенство треугольника
6.			11/	ull 11/11 + llu/1.							(4)
6.	Сходимость в среднем. Пусть функции									. .
	/(х)		, /J	(x)	2	(ж), .		. . , /n(x), .
	/(х)			+ , /		(ж), .
	суммируемы с квадратом на (а, Ь) . Если
			ь
	J[/п(х) - J(x)]2 dx								О,


то говорят, что nоследовательность функций J1(		ж	2	(
то говорят, что nоследовательность функций J1(		),	/	(
дится в среднем или,	точнее, в среднем квадратичном

/(х). .

ж) ,

... СХQ

к функции

Если nоследовательность Un(x)} функций из L2 сходится равно-:
мерно к f (x), то /(х) Е L2 и Un(x)} сходится к /(х) в среднем.
Говорят, что nоследовательность {/n(x)} функций из L2 сходится
в среднем в себе, если для любого.		числа е: >О существует такое число
N >О, что
ь
1а	[/n(x)- /т(ж)]2 dx е
nри n > N и т > N. Сходящиеся в себе nоследовательности называ

ются фундаментальными. Чтобы nоследовательность {/n(x)} сходищ1сь

в среднем к пекоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы эта nоследовательность бьmа фундаментальной. Пространство L2 nолно, т. е.

всякая фундаментальная nоследовательность функций из L2 сходится

к функции, также nринадлежащей L2• Две функции /(ж) и g(x) из L2(a, Ь) называются эквивалентными

на (а, Ь), если /(ж) 'f:. g(x) лишь на множестве меры нуль. В этом случае говорят, что /(х) = g(x) nочти всюду на (а, Ь).

nредварительные jамечанйя	5
3. Пространство с<'>(а, Ь). Элементами этоtо пространства являют
ся всевозможные функции, определенные на отрезке [а, Ь]	й имеющие

на этом отрезке непрерывные производные до l-й включительно. Опе рации сложения функций и умножения функции на число определяются обычным образом.

Норму эл мента j(x) Е с(')(а, Ь) определяем по формуле

11111	1	max
11111	=2:	max	//k)(x)/,
	k=O	aii;;;zЬ	·..

причем /(о)(х) =f(x).

Сходимость в с<')(а, Ь) означает равномерnую сходимость как по следовательности самих функций, так и последовательностей их произ водных k-го порядка (k = 1, 2, . . . , l).

Понятие суммируемой функцИI.i ш реноснтсЯ: на случай простран

ства большего числа измерений. Так, например, функцию F(x, t) будем
называть суммируемой с квадратом на П{а			х, t Ь}, если
ь	ь		< +оо.
Jj		F2(x, t) dx.dt
а	а

Норма функции F(x, t) в этом случае определяется равенством

//F/1 = 1ь 1ь F2(x, t) dx dt.

а а

4. Функция f(z) ·комплексного nеремениого z , дифференцируемая

в каждой точке области· G плоскости комплексного перемениого z ,

называется аналитической (регулярной) в этой области.

Функция j(z) называется целой, если она аналитическая во всей плоскости (исключая бесконечно удаленную точку).

Функция /(z) называется мероморфной (или дробной), если она

может быть представлена в виде частного двух целых функций:

	z		)
	g(		)
f(z) =	h(		),
f(z) =		z
		z

h(z) О.

Мераморфная функция f(z) в любой ограниченной области может иметь лишь конечное число полюсов.

Точка z =а называется изолированной особой точкой функции /(z),

если существует окрестность О< /z - al < б этой точки, в которой f(z) аналитична, а в самой точке z = а аналитичuостъ функции нарушается.

6 Пред13арительные замечания

Изолированная особая точка z == а называется по юсом фуцкции f(z),

если		lim f(z) = оо

		z-->a		!,
(предполагается, что f(z) однозначна в окрестности точки z =а, zf/::а).
	Длятого t{Тобыточка z = а бьmа полюсом функции f( z), необ1{одимо
				1
и достаточно, чтобы эта точка был а нулем для функции <p(z) = f(z), т. е.
чтобы <р(а) =О.				.
	Порядком полюса z = а функции f(z) называют порядок нуля z ==а
функции		<p(z) = f(z)1
				·
	5. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z = а
называется число		f(z) =	2:i 1с

			f(z) dz,

гдес - окружность lzal = р достаточно малого радиуса.

Если точка z =а есть полюсn-го порядка функции f(z), то

z=a		1	! liz--m>a		,r-1			}.
z=a	n- 1		! liz--m>a		Zn-l {			}.
res	/(z) = (	)			d		(z- a)n J(z)
Для простого полюс·а {n= 1)				lim{			}.
	z=a			lim{			}.
	res f(z) =			z--+a	(z- a)f(z)
				z--+a
Если f(z) =	<p(z)
Если f(z) =	'Ф(z), причем <р(а) ::f. О,					а -ф(z) в точке z =а имеет нуль
первого порядка, т. е. 'Ф(а) =О,			'Ф'(а) ::f. О, то
		res f(z) = <р(а)
		z=a			·"'	) .
					'1'	(а
6. Лемма Жордана. Если f(z)					непрерывна в области iz\ Ro,
Im z а (а	- фиксированное действительное число) и								lim f(z) = О,
то для Любого Л > О			1 ei'Azf(z) dz = О,						Z-->00
то для Любого Л > О		Rlim-->oo
		Rlim-->oo
где сп - дуга окружности \zl					= R, лежащая в рассматриваемой
области.

Предварительные замечания

7. Функция j(x) называется локально суммируемой, ec.Ji:и она суМми руема на любом ограниченном множестве.

Пусть комплекснозлачная функция <p(t) действительного перемен
иого t локально суммируема, равна нулю при t <						О и удовлетворяет
условию l p(t)l	< ме•оt для всех t (М > О,		в0	0). Такие функции p(t)
будем называть функциями-оригиналами. Число s0 называется показат'елем
роста функции <p(t).
Иреобразованием Лапласа (изображением) функции <p(t) назовем
функцию Ф(р)	комплексного перемениого		р =		в +	iu,	опредеJ(Яемую
равенством	00
	Ф(р) = 1о	e-pt<p(t) dt.
Для всякого оригинала ·<p(t) функция Ф(р)				определена в полуплоско
сти Re р > в0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Тот факт, что функция Ф(р) есть иреобразование Лапласа функции <p(t),

будем записывать так:

p(t) ;:::!Ф(р).

8. Теорема обращения. Если

функция

<p(t)

является

оригиналом,

а функция Ф(р) служит ее изображением, то

-y+ioo

<p(t) =

2 i-y-1i

еРtФ(р) dp, 'У > so,

(5)

где интеграл берется вдоль прямой Re р = ' У, параллельной мнимой оси,

и понимается в смысле главного значения:

-y+ioo

-у+iы

-y-1

еРtФ(р) dp

= lim

Ф(р) dp.

ioo

Ы-+00-у-iы

Формула (5) называется формулой обращения преобразованцяЛапласа.

Если

М(р)

Ф(р) =

N(p)'

где М(р) и N(р) - многочлены от р, причем степень многочлена М(р)

меньше степени многочлена N(p) , то оригиналом для

Ф(р) будет

(}!lk-1

<p(t) = 2:k=1

lim

{

(р

- a

)ntФ

) e

Pt}

(nk - 1)'• p-+at

. Р t-1

8	Предварительные замечания .
где а е - полюсы Ф(р), n .			...,...nорядюси. их						i; м!f берется по всем
полюсам функцИи Ф{Р) .'		· ·	· ..			.	·	·. ·	'	М(р)
В							.. ; .	,
	случае, когда все nолюсы щ, (k::= 1; 2,							()функции Ф(р) = N(p)
простые, имеем					е	okt = I(J(t)•
	М(р)	·::: М(а е)
	N(p)		L..J				'
			N'(a e)					'	'
			le=l ·,(, .
9.	Теорема умножения.		Пусть функции J(t) и p(t) являются функ
циями-оригиналами, и пусть				p(t) ;:::Ф(р).
	J(t) ;:::F(p),
Тогда			t						'

	F(p) · Ф(р) := jо			J(т)p(t- т) dт.						(6)
Интеграл в nравой части (6) называется сверткой функции j(t) и p(t)
и обозначается символом j(t)			* p(t),.
Таким образом, произведение Изображений является также изобра
жением, а именно, изображением свертки оригиналов:
	F('p) ·		Ф(р);:::j(t) *.				p(t).

-оо

1	0. Пусть функция J(ж)
< ж < +оо. Функция
	+оо
	i
	j(>.) = J J(ж) e- .\z dж

-оо

абсолютно интегрируема на всей оси

(		J		)
	f(>..)	+оо
или	=	-оо	/(ж) eiAz dж
		-оо

называется преобразованием Фурье функции f(ж).

Формула обращения преобразования Фурье имеет вuд

+оо

/(ж) = _2?!__Г f J(>.) ei>.z d>.

-00

(ИЛИ	+оо
(ИЛИ	J(ж) = 2 J j(>.)
	-оо

i	>.z d>.).
e-

Чтобы придать формулам nрямого большую симметричность, их часто

+оо
j(>..)= J	i	>.z dж,
j(>..)= J	/(ж) e-	>.z dж,
-оо

и обратного nреобразований Фурье

записывают в виде				',\
	=	м-:-	/+оо-
		1
/(ж)		v21r	/(Л)е	1	z d>..
		v21r	-оо

ГЛАВА

ИнтегралЬные уравнения Вольтерра

§ 1. Основные nонятия
Уравнение	z
	z
	<p(z) = /(z) +Л j K(z, t) rp(t) dt,	(1)
	а
где /(х), K(z, t) -известные функции, <p(z)- искомая функция, Л

числовой nараметр, называется 11Uнейным.интегральным уравнением Воль
терра 2-го рода. Функция K(z, t)			называется яд[ЮМ уравнения Вольтерра.
Если J(x)	=О,	то уравнение ( 1) nриюtмает ВИд
			z
		<p(z) = Л J К(х, t) rp(t) dt						(2)
		а
и называется однородным уравнением Вольтерра 2-ro рода.
Уравнение		11:			· ·
Уравнение
								(3)
		jк(х, t) rp(t) dt = f(x),						(3)
где rp(х)		а
где rp(х)	искомая функция, называют интегральным уравнением Воль
терра 1-го-рода. Не нарушая общности, можем считать нижний nредел а
равным нулю, что мы и будем nредnо,лаrать в дальнейшем.
Решением интегрального уравнения ( 1), (2) или							(3)	называют функ
цИю rp(x),	которая, будучlf nодставлеца· ·				в это уравнение, обращает его
в тождество (по х). .							2)312 является реше-
ример 1.		Показать, что функция <р(х) = (				1	2)312 является реше-
нием интегрального уравнения Вольтерра						l + х
		<р(х) = --2 -		z	--1 2	<p(t) dt.		(4)
		1		Jо	t	<p(t) dt.
		l+x.		Jо	+
		l+x.			х

Решение.
будем иметь	/z
1 +1 ж2 -
	о

Подставляявместо
t	1	dt
1 + z2	(1 + t2)3/2

у;(ж)
=	l

1 +

пра	ча			)	ф		к		ю
вую	сть (			)	ун		ци
			4			1			)
	l	2	(			1			)
z2 - l + ж		2	- (		1 +	t2		)1	12
z2 - l + ж					1 +			)1

(l			l	2	)	312,
		z
	+ ж
lt=			=
t=o

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>