Добавил:

InExtremo2023 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Интегральные уравнения Краснов М.Л

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.01.2021

Размер:

9.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Глава 1.

Интегральные урванеlilия Bo n>teppa

/ -

• 1

=<p(z).

+:е2 * (1 +

2)Э

(1'+z2)3

<р(ж) = (1

+ ж2)312

Таким образом,

nодстаковка

в обе части уравнения (4) обра

ж:

щает nоследнее в тожцество по

+ ж2)3/2

(1 + .z2)3/2

Это означает, согласно определеюrю, что <р(ж) = (

1 +

2)312 ест!Греwение инте-

rралъного уравнемня (4).

Задачи для самостоятельного решения

I1ровернтъ, что данные функции являются решенними соответствующих инте rральных ура нений:

1. tр(ж) = (1+ ж2)S/2;

2. <р(ж) = e'"(cose" - е'"sine");

tp{z) = (1- же2"') cos1- е2"' sin 1 + j" (1- (ж - t)e2"']<p(t) dt.

З. <р(ж) = же"'; <p(ж) = e"'sinж+2 /cos(ж-t) <p(t) dt .

			3				"	sh
							j\}
4.	<р(ж) = ж-	;		<р(ж)		= z-			(ж-t) <p(t) dt.

5.	<p(z) = 1- z;		"	jо "'	e"'-1	< p(t) dt = х.			6. <p(z) = 3; z3
										1
	<р(ж) = 2;1 fо			<p(t) t dt = .fi.					8.<рх( ) =
7.										1Гv·'z-;.

= jо"(z- t)2<p(t) dt.
.,	<p	(t)	dt = 1.
1
о
	vz-t

Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует nредпочтительное наnравление изменення независимого переменкого (наnример, времени, энергии и т.д.).

Пример 2. Рассмотрим nучок рентгеновских лучей, проходящий через вещество в направлении оси ОХ. Будем считать, что nри рассеянии

i 2. • С81lЭЬ с дифференциальными ураsн.ениями

nучок сохраняет это наnравление. Рассмотрим совокуnность лучей с заданной длиной волны. Проходя через слой вещества толщины tЩ:,

часть этих лучей nоглощается, а часть изменяет длину волны из-за

рассеян я. С другой стороны, эта совокуnность nоnолняется за счеттех

лучей, которые, обладая nервоначально большей энергией (т. е. имея
меньшую длину волны Л),				теряют часть своей энергии из-за рассеяния.
Таким образом, если функция f(>., ж) d>. задает совокуnность лучей,
длина воли которых заключена в интервале от >. до >. + d>., то
					А
	дf ж) = -рf(Л, а:)+ jР(>., т)f(т, ж) dт,
	11 - коэффициент				(} .
где	11 - коэффициент			nоглощения, а Р(>., т)dт - вероятность
того,	что·луч·	с	длиной волны т,			л	щи	н	ы,
того,	что·луч·		длиной волны т,		nроходя слой еДинИчной т		щи		ы,
nриобретет длину волны, заключенную меж,nу Л и >.+ d>..
	Мы nоnучили так.называемое интегро-дифференциальное уравне
ние, т. е. уравнение, в которое неиэвестная функция /(Л, а:)						входит
nод знаками nроизводной и интеграла.
	Полагая			00
				00
			/(Л, а:)= Jе-рzф(>.,р) dp,
				о
где ф(Л,р) - новая неиэвестная функция, найдем, что ф(Л,р)будет
удометворять интегральному уравнению Волыерра 2-го рода
			(	-1-	А
			ф Л,р) =	р-р JР(>.,т)ф(т,р)dт.
				о

§ 2. Связь между линейными дифференциальными уравнениями

и интегральными уравнениями

Воnьтерра			_	,
Решение линейного дифференциального уравнения
tfly		tfl-1y		(1)
-d	+ a1(z)d-		1 + ... + an(z)y = F(ж)	(1)
Ж11		жn-

с неnрерывными коэффициентами аi(ж) (i = 1, 2, ... ,n) nри начальных условиях

. у(О) = Со, у' (О) ;:::Ct , · - - · '

(2)

12	DraЩt ,1 . И : теrральНh/f3 ураанения Вольтерра
может быть	сведено к решению интегрального· уравнеН;ИЯ ВоJ1ьтерр
2-го рода.	·	· · ·· · ·

Покажем это на nримере дифференциального уравнения 2-ro nо рядка

d2y
-
dx	2

+	dy
+	a1(a:)-d·
·	ж

у(О) = Со,

.+ а2(х)у = F(ж),

у'(О) = С1.

(1') (2')

.Полагаем

(3)

Отсюда, nринимая во внимание начальные условия (2'), nоследовательно находим

::		' ф	у	•	.·
::	=	1о	у	1о	....t)!p(t) dt+	С1а: + Со.	(4)
	=	<p(t) dt + С1,	=	(ж		С1а: + Со.	(4)

При этом мы исnользовали формулу

"' j

:/) j

dx ...

$ j

жо

J(x) dx= (
n

l)!

jz <x-z)n-IJ(z) dz.

жо

Учитывая (3) и (4), дифференциальное уравнение (1') заnишем так:

"'	ж
rp(a:) + jо	a1(x)<p(t) dt+C1a1(x)+ /о	a,2(x)(x-t)rp(t) dt+
или

<р(х) + j

Полагая

[а1(ж) + а2(х)(х- t)Jrp(t) dt = )

J((a:, t) =-[а,(х) + а2(а:)(х- t)],

f(x) = F(a:)- C,ai(x)- С,ха2(х)- Со 2(а:),

(б)

(7)

§2. Свяэь с дифференциальными уравнениями					13
Приведем (5) к виду	z
v.'	z	-	+		(8)
v.'	Jо	-	+		(8)
(a:) =		К(х, t) v.'(t) dt		f(x) ,

т. е. придем к интегральному уравнению Вольтерра 2-ro рода. Существование единственного решения уравнения (8) следует из су

ществования и единственности решения задачи Коши (11)-(21) для линей ного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами в окрестности точки ж = О.

И наоборот, решая интегральное уравнение (8) с К и f , определен

ными по формулам (6) и (7), и подставляя выражение, полученное для v.'(a:), в последлее из уравнений (4), мы получим единственное решение

уравнения (l'), удовлетворяющее начальным условиям (21).

Пример 1 . Составить интегральное уравнение, сооtветстеующее диф

ференциальному уравнению

у/1 + хуf + у = о

и начальным условиям

у(О) = 1, у'(О) = О.

Решение. Полагаем

Тоrда

dy
dz	==

Подставляя (9)

.,		.,			z
f	rp(t) dt + у1(О)=	J	I{J(t) dt,	у=	(z- t)rp(t)dt + 1.
о	rp(t) dt + у1(О)=	о	I{J(t) dt,	у=	(z- t)rp(t)dt + 1.
о		о			1о

и(10) в данное дифференциальное уравнение, найдем rp(z) + j., zrp(t)dt + j.,<z- t)ip(t)dt + 1 =О,

оо

rр(ж) = -l- J:z(2ж - t) rp(t) dt.

(9)

(10)

Задачи для самостоятельного решения

Составить интегральные уравнения, соответствующие следующим дифференци
альным уравнениям с заданными начальными условиями:
9. у"+ у== О; у(О) =О, у'(О) = l.	10. у'- у:::::О; у(О) = 1.

14	Thatm ·1. Интегральные уравненйR Вольтврра
11.	у"+у=cos:r;	у(О)=у'(О) =О.	1.
12.	у"- 5у'+6у=О;	у(О)=О, у'(О)
13.	у"+у=соsж;	y(O)=O,y'{O)=l.
14.	у"- if sinz+ е"'у=ж; у(О)=1, if(O)=-1.
1 5.	у" 4- (1 + ж2)у соsж;	у(О)=О, u(O)=2.
18.	у111 + ху11+(х2- х)у=же"+1 ; у(О)=у'(О)=1, у"(О)=О.
1 7.	у"'- 2жу=О;	у(О}=i, у'(О)=у"(О)=1 .

18. Покаэать, что линейное дифференциальное уравнение с nостоянными коэф фициентами nри любых начальных условиях сводится к интеrральному уравнению Вольтерра 2-ro рода с ядром, зависящим лишь от разности аргументов (х- t) {интеrральное ураJ!Нение С эамкнуrым ЦИЮIОМ ИЛИураВНt\НИе CБe);mGI).

Некоторые частные виды уравнений Волътерра 1-ro и 2-ro родов можно решать, с.еодя: их к дифференциальным уравнениям.

Пример 2. Решить интегральное уравнение
						z
<р(х) = ж+ jо							жt<p(t) dt.		(11)
Решение. Переnишем уравнение (ll)"'						в следуЮщем виде:
lf'(z)	==	ж	(		j1)			dt),
lf'(z)		ж		l+		t1p(t)			(12)
и положим					"
y(z)=l + jt1p(t) dt.									( 13)
Дифференцируем nоследнее равенство:					1)

у1(ж)=ZfP(ж).

Но так как согласно (12) и (13)

iр(ж)=zу(ж),

то nолучим дифференциальное уравнение относительно функцииу(х): r/{z)=:r2у(ж).

Общее решение этого уравненик

у(х) == Се"'3/3•

Заметим, что в силу(13) имеем у(О) = 1 и, следовательно, С=1. Таким образом,

решение fP(x)=жу(ж) уравнения (11) имеет вид·

		§ 3. Резольвента. уравнения Вольтерра			15
Задачи дnя самостоятельноrо реwения

Методом дифференцирования решить следующие интегральные уравнения::
1 9. (z):::ж- jо e"'-t (t) dt. 20.			jо z e=+t (t) dt = z;.	21. jо e"-t (t) dt ==:Z·
22. (ж)==2	f (2ж+ 1)2 (t)dt+1.		23. lf(ж) = j	tp(t) dt +е"'.
	z	2t+ 1	"'
	о		о

§ З. Резольвент ; интеrрапьноrо уравнения Вольтерра. Решение интеrрапьноrо уравнения с nомощью резольвенты

Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

:1:

, t)

1p(t)

1p(:z:) = /(:z:) +Л jо

К(х

(1)

где К(х, t)

есть неnрерывная функция при О х а, О t х , а /(ж)

непрерывна nри О ж

а.

Будем искать решение интегрального уравнения: (l) в виде бесконеч

ного стеnенного ряда по стеnеням Л:

'Р (ж) +... .

ср

(ж) =

сро(

ж)

(2)

+ Лср1(ж) + Л tр2(х) + . ..

+Л

Подставляя формально этот ряд в (1), получим

сро(ж) + Лср1

'Р

(х) +

. . . =

(ж) + ... + Л

]

= /(х)

fо

Л1Р1(t) + ... + Лп'Р

. . .

+ Л

К(х, t) ['Po(t)

(t) +

Сравнивая коэффициенты nри одинаковых степенях Л, найдем

	Ч'о(х) = /(
		ж),		z
	iрф:) =	re	К(х, t) 'Po(t) dt =	z
	iрф:) =	о	К(х, t) 'Po(t) dt =	о	K(:z:, t) /(t) dt ,
.		jz		j:z		t
	Ц'2(ж) =	Jо	К(х, t) Ц'1(t) dt =	Jо		fо	dt,
	Ц'2(ж) =		К(х, t) Ц'1(t) dt =		К(х, t)	K(t, t1) /(tl) dt 1	dt,

(3)

Kn(x, t)

16 Глава 1. Интегральные уравнения 8ольТ{1рра

Соотношения (3) дают способ последовательного определения функций

'Pn (x). Можно показатъ, что при сделанных предположениях относитель

но f(x) и К(х, t) полученный таким образом образом ряд (2) сходится

равномерно по х и Л при любом Л и х Е [0, а] и его сумма есть единственное решение уравнения ( 1).

Далее, из (3) следует:

где

'Pt (x) = jz

'Р2(х) = jz

оz

= 1

К(х, t) /(t) dt,

К(х, t) [/о t	K(t, tt) /(t1) dt1] dt =
/(tt) dtt 1tlz	К(х, t) K(t, tt) dt = 1оz К2(х, t1) /(t1) dt1,

К2(х, tt) = 1z К(х, t) K(t, tt) dt.

Аналогично устанавливается, что вообще z

'Pn(x) = JKn(x, t) /(t) dt (n = 1, 2, ... ). (4)

Функции называются повторными или итерированными ядрОми.

Они, как нетрудно показать, определяются при помощи рекуррентных формул

Kn+t(X, t) =	z	К1(х, t) = К(х, t),					n = 1, 2, ... ).
	z					(
	J	К(х, z) Kn(Z, t) dz				(		(5)
	t	К(х, z) Kn(Z, t) dz						(5)
	t
Используя (4) и (5), равенство (2) можно записать так:
			00		z
r.p(x) = f(x)			+ L:v=J	лv	JО
r.p(x) = f(x)				лv	Kv(x, t) /(t) dt.

§ 3. Резольвента уравнения Вольтерра

Функция R(x, t; Л), определяемая при помощи ряда

R(x, t; Л) = L ЛvKv+l (х, t), (6) v=O

называется резольвентой (или разрешающим ядром) интегрального урав нения ( 1). Ряд (6) в случае непрерывного ядра К(х, t) сходится абсолютно

и равномерно.

Повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего предела в интегральном уравнении.

Резольвента R(x, t; Л) удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

R(x, t; Л) = К. (х, t) + Л 1К(х, s) R(s, t; Л) ds.

С помощью резольвенты решение интегрального уравнения ( 1) за пишется в виде

<р(х) = f(x) + Л 1 R(x, t; Л) /(t) dt. (7)

Пример 1. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра с ядром К(х, t) = 1.

Решение. Имеем К1(х, t) = К(х, t) = 1 . Далее, согласно формулам (5)

К2(х, t) =

К(х, z) K1 (z

, t) dz = ft dz = х - t,

/ff---\

(х - t)2

К3(х, t) =

1 ·

(z - t) dz = -2-,

К (х, t) =

1·

-(z 2-t)2 dz = -(х t)-3

t z

(z - t)

n-2

х -

n-1

Kn-l(z, t) dz = f

Kn(x, t) =

1 ·

(n - 2!)

dz =

((n -t)1!)

Л(z-t)

Таким образом, согласно определению

(х

- t)

_л

R(x, t; .Л) = L...Л JKn+l(x, t) = L...J

n=O

18	Тhава J. Интеrр;щЬ!fы ураsнff!ния ВолыJ рра
	.
Задачи для с:амостоятеnьноrо решения

Найти резольвенты для интегральных уравнений Вольтерра со следующими ядрами:

24.	К(ж, t) = z - t.	25.		K(z, t) = e"'-t.		29. K(z, t) =			rt.
27.	+z2	28.		K(z, t) = 2 + cos z .				ch
27.	K(z, t) = 1 + t2 •	28.		K(z, t) = 2 + cos z .
	1			2 + cost		,		ch t
30. K(z, t) = a"'-t (а> 0).
	Предположим, что ядро К(ж, t) есть многочлен (n - 1)-й степени
относительно t, так что его можно представить в виде
	К(ж, t) = ао(ж)	+	а1 (ж)(ж - t) +. .		. +	;( !t	(ж- t)n-l ,			(8)
		+			. +	;( !t				(8)

причем коэффициенты ak(ж) непрерывны в [0, а]. Если определить функ,-

цию g(ж, t; Л) как решение дифференциального уравнения

[

-2

<!'

(9)

dжn

- Л ао

(ж) dжn-1

+аl (ж) dжn-2 + .. . + an-l (ж) g = О,

удовлетворяющее условиям

]

dn-29

:r=t = О,

dn-lg

= 1,

9l:r=t = dж 1:r=t =:= . • •

= dжn-2

dжn-! 1

:e=t

(10)

то резольвента R(ж, t; Л) будет определяться равенством

R(ж, t. '

1 d"g(ж, t; Л)

(11)

' ") =

dжn

Аналогично в случае, когда

К(ж, t) = Ь0(t) + Ь1 (t)(t - ж) +.. . + ( ;!(t - ж)n-l ,

резольвента
	R(ж	'	t·	Л)== - 1 d"g(t, ж; Л)
		'	'	Л	dtn	'
где g(ж, t; Л) есть решение уравнения
d"g	[			d"-lg
dtn	+ Л Ьо(t)			dtn-! + . . .	+ Ьn-I (t)

g] = О,

удовлетворяющее условиям (10).

					z
			<p(:z:) = J(a:) + 1(-
				К	о
Решение.	В		данном случае	К	(ж, t) = ж.- t,
но (8), а1(ж) =	1,	все остальные аk(ж) =О,
Уравнение (9) в этом случае имеет вид

'19

t)<p(t) dt.

Л= 1, следовательно, соглас-

откуда

Условия

- g(ж, t; 1) = О,

d g(ж, t; l)

dж2

g ж, t; 1)= g(ж, t)=

(t)e-

(10)

(

С,

)

дают

{ С,

(t) е1

+ 2

(t)

.f:1

-t

:::;:,

( 1 2)

С, (t) е1C2

(t) е-1

= l.

Решая систему (12), находим				1		1
		с,	(t) =		е-t,
				2		C2(t)=--еt,
						2
и, следовательно;
		g(ж, t) = (ez-t- e-<z-t)) = sh (ж- t).
Согласно (11)							[>
		R(ж, t; 1) = [sh (ж- t)]:= sh (ж- t).
Задачи для самостоятель					н rо	решения
					о
Найти		резольвенты интегральных уравнений со следующими ЯдРами (Л= 1):
31 .	К	(ж, t)= 2- (ж- t) .	32.	К
					(ж, t) =-2 + )(ж- t) .

33.	К
	(ж, t)= 2ж.

34 •

К(	ж, t)

_ -

4 2

ж- ж. +

2 ..		8(ж - t)
1	+	2ж + 1 .

35. Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра, ядро которого зависит лишь
от разности своих аргументов:
z	(Л = 1).	(13)
<р(ж) = f(ж) + jК(ж- t) <p(t) dt	(Л = 1).	(13)
о
Показатъ, что для уравнения (1)) все повторные ЯдРа и резольвента также зависят
лишь от разности ж- t.

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>