Кривые второго порядка
Окружность – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной (центра) равны.
Применим метод координат для того, чтобы вывести алгебраическое уравнение окружности.
Пусть - центр окружности. Возьмём такое, что точка M принадлежит нашей окружности. Тогда или .
Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных (полюсов) равны.
. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь , , . Такую систему координат называют канонической. Тогда , . Возьмём любую точку , принадлежащую нашему эллипсу. Тогда Преобразуем это выражение: , , . Сложим теперь его с исходным: , , , , . Обозначив , получим каноническое уравнение эллипса: . Здесь a и b равны соответственно горизонтальной и вертикальной полуосям эллипса. Отсюда уравнение эллипса в явном виде: .
Если , то уравнение эллипса представляет собой окружность.
Эллипс имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ( ).
Эллипс – непрерывная кривая.
Ограниченная кривая, , .
Гладкая кривая (во всех точках имеет касательную).
Уравнение касательной для эллипса: .
Верхняя половина эллипса выпукла вверх, нижняя – вниз.
и называются фокальными радиусами.
- эксцентриситет эллипса, .
, .
- директрисы эллипса.
Оптическое свойство эллипса: если поместить источник света в один из фокусов, то после отражения от эллипса как от зеркала все лучи пройдут через другой фокус.
Гипербола – геометрическое место точек, абсолютные величины разности расстояний от которых до двух фиксированных (фокусов) равны.
В ведём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь, так же, как и у эллипса, , т.е. , . Такая система координат называется канонической. Условие гиперболы записывается так: или . Избавившись от иррациональности (см. вывод уравнение эллипса выше), получим: , где . Уравнение гиперболы в явном виде: .
Гипербола имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ( ).
Гипербола – гладкая кривая.
Уравнение касательной для гиперболы: .
Гипербола, задающаяся уравнением , называется сопряжённой для исследуемой гиперболы.
- асимптоты гиперболы.
и - фокальные радиусы.
Эксцентриситет гиперболы , .
, .
- директрисы гиперболы.
Оптические свойства гиперболы: если поместить в один из фокусов гиперболы источник света, то все лучи, им испущенные, после отражения от гиперболы пойдут по прямой проходящей через другой фокус.
Парабола – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной и до фиксированной прямой, называемой директрисой, равны.
В ведём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь . Такая система координат называется канонической. Тогда условие параболы запишется так: . Избавившись от иррациональности, получим: - каноническое уравнение параболы. Уравнение параболы в явном виде: .
Парабола имеет ось симметрии (Ox).
, .
Эксцентриситет параболы .
Общее уравнение кривой второго порядка: . Любая кривая второго порядка описывается таким уравнением и наоборот. Все кривые второго порядка могут быть разделены на две группы: невырожденные (эллипс, гипербола, параболы) и вырожденные. Пример вырожденной кривой: .
Поверхности второго порядка
Цилиндрические
Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные прямыми, параллельными некоторой фиксированной прямой. Эта прямая называется осью. Прямые, с помощью которых образована цилиндрическая поверхность – образующими. Кривая, лежащая на цилиндрической поверхности и проходящая через все образующие называется направляющей.
Если ось цилиндрической поверхности параллельна, к примеру, Ox, то уравнение этой поверхности не будет содержать переменной x.
- уравнение кругового цилиндра, - уравнение эллиптического цилиндра, - уравнение гиперболического цилиндра, - уравнение параболического цилиндра.