![](/user_photo/_userpic.png)
Прямая на плоскости
Составим уравнение прямой, проходящей
через данную точку
и перпендикулярно данному вектору
.
З
апишем
условие принадлежности точки
прямой l:
.
Это значит, что
- векторное уравнение прямой, проходящей
через точку
.
.
Обозначив
,
получим:
- общее уравнение прямой, если
или
.
Ненулевой вектор, перпендикулярной данной прямой называют нормальным вектором прямой.
Приняв
и
,
можно получить уравнение
.
При этом
,
где - угол
наклона прямой к положительному
направлению оси Ox, а
b = величина отрезка,
отсекаемого прямой на оси Oy.
Составим теперь уравнение прямой,
проходящей через данную точку
параллельно
.
З
апишем
условие принадлежности точки
прямой l:
.
Это значит, что
- векторное уравнение прямой. Раз
,
то
- каноническое уравнение прямой.
Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки
и
.
В качестве точки
возьмём одну из них, а в качестве
возьмём
.
Тогда
- уравнение прямой, проходящей через
две данные точки.
Если мы преобразуем канонические
уравнения прямой следующим образом:
,
то получим
- параметрические уравнения прямой.
Угол между прямыми
Это угол, на который нужно повернуть одну прямую до совмещения её с другой прямой.
Пусть
,
. Тогда
.
Пусть
,
. Тогда
.
Пусть
,
. Тогда
.
Полные и неполные уравнения прямой
Общее уравнение прямой
называют полным, если
,
и
.
Полное уравнение прямой можно привести
к уравнению прямой в отрезках: обозначим
,
.
Тогда
.
Здесь a и b
– величины отрезков, отсекаемых прямой
на осях Ox и Oy
соответственно.
Неполные уравнения прямой:
– параллельна оси x.
– параллельна оси y.
– проходит через начало координат.
– ось x.
– ось y.
Нормальное уравнения прямой
это уравнение прямой
,
,
где
- угол между нормалью к прямой и осью
Ox,
причём нормаль направлена из начала
координат в сторону прямой и p
– расстояние от начала координат до
прямой.
Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом:
Вывод нормального уравнения прямой:
Введём сразу две системы координат –
полярную и цилиндрическую так, чтобы
их начала совпадали, и ось полярной
системы совпадала с осью Ox
цилиндрической. Тогда выражение
справедливо для
.
Преобразуем это выражение:
(Т.к.
и
),
или
.
Нормальное уравнение прямой применяется
для вычисления расстояния от данной
точки плоскости до прямой.
Рассмотрим
случай, когда точка
и точка O лежат по одну
сторону от прямой. Расстояние от
то l равно
.
Рассмотрим нормальное уравнение прямой,
параллельной l (
):
,
где
.
Т.к. точка
,
то
– верное равенство, значит,
.
.
Если точка
и точка O лежат по одну
сторону от прямой l,
то расстояние от
до l равно
.
Следовательно, расстояние от
до l равно
.
Приведём общее уравнение прямой к
нормальному виду (
к
).
Очевидно, что коэффициенты пропорциональны,
т.е.
.
Тогда
и знак
противоположен знаку C.
Отклонением точки от прямой
называется расстояние от этой точки до
прямой, взятое со знаком «+», если эта
точка и начало координат располагаются
по одну сторону от прямой и «–» - если
по разные стороны, т.е. отклонение равно
.
С помощью нормальных уравнений прямой можно составлять уравнения биссектрис, образованных двумя прямыми:
Пусть
- первая прямая,
- вторая прямая. Для того чтобы получить
одну из биссектрис, необходимо приравнять
левые части уравнений:
.
Для второй:
.