Лабораторная работа ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПРИМЕРЕ МЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Обнинский Институт Атомной Энергетики

Кафедра Общей и Специальной Физики.

Лабораторная работа:

ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПРИМЕРЕ МЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Выполнил: Сарычев О. В. М2-01

Проверил:

Обнинск, 2001 г.

Теория:

Целью данной работы является изучение плоскопараллельного движе­ния твердого тела, то есть такого движения, при котором асе точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. При плоском движении центр масс твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в лабораторной системе отсчета, а вектор его угловой скоро­сти  все время остается перпендикулярным этой плоскости. Таким обра­зом, в системе отсчета, связанной с центром масс твердого тела, оно со­вершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр масс тела. Соответственно плоскопараллель­ное движение можно представить как наложение поступательного движе­ния тела вместе с осью. проходящей через центр масс, и вращательного движения вокруг этой оси,

Такое движение полностью описывается двумя уравнениями динамики твердого тела:

• уравнением движения центра масс

• уравнением вращательного движения, которое для случая вращения вокруг оси симметрии тела, проходящей через центр масс, и, следова­тельно, совпадающей с одной из главных осей инерции тела, имеет вид

где т - масса тела; a_c - ускорение центра масс; F - сумма сил, действую­щих на тело, _z - угловое ускорение тела, I_c -момент инерции тела относи­тельно оси, проходящей через центр масс; N_z - сумма проекций моментов сил, действующих на тело, на ось вращения.

В настоящей работе для изучения плоскопараллельного движения ис­пользуется прибор, называемый маятником Максвелла, устройство которо­го схематически показано на рис.1.

На валике радиуса r закреплен диск радиуса R. К торцам валика сим-метрично относительно диска прикреплены две нити одинаковой длины, с помощью которых маятник подвешивается к стойке. Нити симметрично, виток к витку в один ряд наматываются на валик, вследствие чего он под­нимается. Если нити намотаны на валик максимально аккуратно, то, пре­доставив валику с диском возможность свободно опускаться, можно на­блюдать плоскопараллелыюе движение системы в алик-диск. При этом

нити разматываются до полной дли­ны в нижнем положении маятника, а затем в силу того, что диск продол­жает вращаться в том же направле­нии, вновь наматываются на валик Отметим, что уравнения (1) и (2) не описывают поведение маятника в нижней "мертвой" точке, когда про­исходит переброс нити с одной сто­роны на другую сторону оси валика. Дойдя до верхнего положения, диск опять начнет опускаться вниз и т.д. Маятник будет совершать плоское

движение, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, перпен­дикулярных оси валика.

Как было замечено выше, движение маятника полностью описывается уравнениями (I) и (2). Уравнение (1), записанное в проекции на ось Х (рис. 1), преобразуется к виду

Записывая моменты сил натяжения нитей в явном виде, можно перепи­сать уравнение(2) как

где Т - модуль силы натяжения нити.

Поскольку нить разматывается без проскальзывания по валику, то угло­вое ускорение и ускорение центра масс (точки С на рис.1) можно связать соотношением

Ускорение поступательного движения маятника а,- находится из полу­ченной системы уравнений (3) - (5):

Величина ускорения ц, определяется экспериментально по прямым из­мерениям времени опускания маятника I и проходимому при этом расстоя­нию S, Так как маятник начинает движение из состояния покоя и движется

под действием постоянных сил, то

Подстановка ускорения a_c из уравнения (7) в (6) дает значение момента инерции /с ^:

Справедливость выводов, следующих из уравнений (I) и (2), описы­вающих плоское движение твердого тела, проверяется путем сопоставле­ния значения момента инерции маятника I_c1 и значения I_c2 , которое рас­считывается по геометрическим размерам и массам деталей маятника в соответствии с определением момента инерции,

Момент инерции маятника I_c1 можно представить как сумму моментов

инерции трех его частей: момента инерции валика I_в момента инерции диска I_д с отверстием для валика и момента инерции сменного кольца I_к, надеваемого на диск:

Момент инерции валика относительно оси вращения, проходящей через его концы, определяется как

Здесь т, - масса валика, r - его радиус,

Момент инерции диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, записывается следующим образом:

где m_д - масса диска, R - его внешний радиус, r - внутренний радиус (по­скольку диск плотно закреплен на валике, то это значение r совпадает с радиусом валика).

Момент инерции кольца рассчитывается аналогичным образом:

где m_k - масса кольца, R - внутренний радиус кольца, R₁ - внешний радиус кольца.

Цель: изучение плоскопараллельного движения твердого тела, то-есть такого движения, при котором все точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях.

Оборудование: маятник Максвелла.

Ход работы:

Упражнение 1: Проводим 10 опытов, каждый раз фиксируя время, за которое маятник проходит расстояние S = 37см.

Результаты заносим в табл. 1:

Таблица 1:

№ измерения.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	<t>
m1 = 209г. t	2.231	2.216	2.207	2.224	2.203	2.217	2.210	2.222	2.206	2.200	2.2136
m2 = 419г. t	2.338	2.322	2.339	2.345	2.354	2.349	2.360	2.356	2.367	2.369	2.3499

М. д = 102г. М. в = 31г.

Радиус валика измерили с помощью штангельциркуля в 10 местах, вычислили среднее значение и погрешность.

<r> = 5.175 мм.

r_сл. = t_,n*S t_,n = 2.3( = 0.95, n = 10 опытов)

r_сл. = 0.1656

r_{сл. =}  =

Определим погрешность для времени:

Для первого груза: <t> = 2.2031

t_сл. = t_,n*S t_,n = 2.3( = 0.95, n = 10 опытов)

t_сл. = 0.0069

Систематическая погрешность миллисекундомера мала и ей можно пренебречь.

Тогда t = tсл. = 0.0069  =

Для второго груза: <t> = 2.3316

S_n = 0.014 S =0.0044

t = t_сл. = 0.010

 = 0.0043

Вычислим момент инерции для обоих тел:

Для m1 = 209г.:

I_c1 = (102+31+209)*(0.00002678)* =0.5851

Для m2 = 419г.:

I_c1 = (102+31+419)*(0.00002678)* =1,0662

Эти вичисления были произведены с помошью формулы:

<I_c> = m<r²>(

Определим для этих значений погрешности:

для m1: ₁ =

I = <I>

I = 0.060*0.5851 = 0.035

для m2: 2 = 0,021

Ш = 0,021*1,0662 = 0,022

Результат для упр.№1:

I_c1 = (5851  350)*10^-4 г:м²

I_c1 = (10662  220)*10^-4 г:м²

Упражнение 2:

Измерим диаметр валика, диска и сменных колец. Теоретически вычислим момент инерции. Все измерения проводим 10 раз. Результаты заносим в таблицу 2:

D валика, мм	10	10	10,5	10,5	10	10,5	10	10	10	10
D диска, мм	90	89	90	89	89	90	90	89	90	89
D кольца, мм	98,3	98,3	98,5	98,4	98,3	98,4	98,3	98,4	98,3	98,3

Вычислим погрешности для измеренных радиусов

<R диска> = 44.75 мм

S = 0.109

r_сл = t_,n*S = 0.009*2.3 = 0.207

 = 0.004

<R_кол> = 49.185

S_n = 0.04 S = 0.012

r_сл = 0.012*2.3 = 0.0276

r = 0.057  = 0.0011

Вычислим момент инерции:

I_c2 = m_вr²+ mg( +r²)+ m_n( + )

Для m₁ = 209г.: I_c2 = (31*0.00002678+102*0.002029+209*0.004421) = 0.5658

Для m₂ = 419г.: I_c2 = (31*0.00002678+102*0.002029+419*0.004421) = 1.0300

Справедливость результатов, следующих из упр.1 проверим с определением момента инерции из упр.2.

Для m₁ = 209г.: I_c1 = 5851*10^-4 г*м² I_c2 = 5658*10^-4 г*м²

Для m₂ = 419г.: I_c1 = 10662*10^-4 г*м² I_c2 = 10300*10^-4 г*м²

Вывод: момент инерции, получившийся в результате опыта с учетом погрешностей  результату вычислений.