Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

сейсморазведка часть 1

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
17.01.2021
Размер:
518.8 Кб
Скачать

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Соответственно цилиндрические волны те, которые имеют поверхности разных фаз в виде цилиндров с общей для них центральной осью.

Плоские волны это такие, которые поверхности равных фаз образуют в виде плоскостей бесконечной протяженности по осям x и y ; z, y или x, z . Эти волны описываются наиболее простыми математическими

выражениями. Для них поток энергии через поверхность равных фаз есть const , потому что сама поверхность не изменяется в процессе распространения.

При больших расстояниях от центра и оси симметрии сферические и цилиндрические волны переходят в плоские вследствие уменьшения кривизны фронтов. Обычно уже на расстоянии 10λ длин волн от центра симметрии приближение плоских волн правомочно.

Необходимо усвоить и запомнить один принципиально важный момент. Отдельные осцилляторы, составляющие среду, не распространяются вместе с волнами, а только колеблются около положения равновесия или покоя, в поперечном, продольном или комбинированном направлениях. Мы наблюдаем в качестве волн только фазовые соотношения между ними: какой из осцилляторов уже начал, какой закончил, а какие и не приступали к процессу колебательного движения. Поэтому в отличие от колебательного процесса, волновое движение характеризуется тремя скоростями.

1. Скорость нарастания или спадания смещения иначе массовая скорость. Это есть скорость гармонических колебаний осциллятора с данной частотой, около положения равновесия. Эта скорость в

волне соответствует скорости чисто колебательного процесса, т.е. du / dt

2.Волновая скорость. Эта величина характеризует быстроту распространения в среде одинаковой фазы колебательного процесса осцилляторов, то есть какого-то горба или впадины. Она носит название фазовой скорости, имеет кинематический смысл и является самой быстрой из всех скоростей передачи информации в среде о данном колебательном процессе.

3.Скорость распространения группы однотипных волн с различными частотами и амплитудами, составляющими волновой импульс или волновой пакет. Эта величина носит название групповой скорости и определяет скорость передачи энергии колебательного процесса через среду, то есть определяет, как быстро

от одного осциллятора другому передается энергия вида Kx2 / 2 .

Если волна одна и она гармоническая, то vФ≡ vГР . Этов свою очередь является показателем поведения среды в случае малых возмущений параметров ее состояния и определяет отклонение от закона линейной упругости среды.

Не будем рассматривать вывод волнового уравнения, запишем, что уравнение вида

1 d 2U

= d 2U

есть

 

 

c2 dt2

 

 

 

 

dx2

 

волновое уравнение. Для сокращения записи обозначим

1

d 2

= □, отсюда волновое уравнение примет

c2

d 2

 

 

 

 

 

 

форму U=0.Это уравнение связывает ускорение гармонического осциллятора с силой сопротивляющейся возмущению в состоянии этого осциллятора, то есть это выражает математически действие второго закона Ньютона в сплошной среде.

2.5. Решение волнового уравнения.

Опять-таки, мы не будем рассматривать процедуру получения волнового уравнения. Запишем сразу, что решение этого уравнения является функцией U = f1 (ct x) + f2 (ct + x) . Здесь U - смещение в точке “ x ” в момент времени t осциллятора, совершающего простые гармонические колебания. Представим функцию f в

виде a sin( ω t ϕ ) , подставив в уравнение, убеждаемся, что эта функция является его решением, так как удовлетворяет ему при всяких x и t .

Аргумент f (ct x) - имеет размерность длины. Но для того, чтобы эта функция могла быть sin или

cos необходимо, чтобы аргумент ее был безраздельным и выражался бы в ряд, то есть имел размерность угла. По этой причине аргумент ct x необходимо умножить на функцию с размерностью обратной длины. Выберем

такую и обозначим ее как 2π / λ . Тогда мы можем заметить, что U =

2π

 

 

2πc

t

2πx

 

f

(ct x) =

f

λ

λ

.

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

Выражение

2πc

- имеет размерность 1/сек, поэтому имеем:

2π

c = 2π /T = 2πν =ω - частота. С другой

 

λ

 

 

стороны 2π

 

λ

 

 

2π

 

 

 

 

x - есть безразмерная величина, а коэффициент при x обозначается “ k k =

, на-волновым

λ

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

числом, имеет размерность обратной длины. Этот коэффициент указывает, какое число длин волн укладывается на расстоянии от начала колебания до того момента, когда в процесс вступил осциллятор с координатой x .

26

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Теперь посмотрим на простую гармоническую волну вида: y = a sin(ωt ϕ) и сравним ее с решением

U ==

f

 

2πc

t

2πx

f имела вид синуса необходимо получить

 

λ

 

λ . Мы видим, что для того чтобы функция

 

2π

c = ω , а

2πx

=ϕ и тогда функция f будет иметь вид f = a sin(ωt ϕ) . Если в момент

 

 

 

λ

 

λ

 

 

 

 

 

 

t = 0 сфотографировать волновой процесс, то мы получим траекторию смещения вида:

f

 

 

= −a sinϕ = −a sin

2πx

. Если наблюдать за процессом, при x = x

0

= 0 , то получим выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

t=0

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

= a sinωt = a sin

2πc

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=0

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, если некоторый осциллятор, расположен справа от точки x0 , то он начнет свое колебательное движение с запаздыванием, позже, чем осциллятор в точке x0 . Запаздывание это равно 2λπ (x x0 ) . Если

x x0 = λ , то запаздывание ϕ = 2π - то есть полному периоду колебаний осциллятора в точке x0 . Этим

рассуждением мы определяем λ - как длину волны, а именно расстояние между осцилляторами, имеющими разность фаз 2π радиан.

Из выражения 2λπ c = ω = 2πν находим, что c =νλ - волновая или фазовая скорость, равная

произведению частоты на длину волны. Или λ / c =1/ν = T - период колебаний, показывающий, что волна проходит расстояние в одну λ за время T . Мимо наблюдателя за 1 сек. проходит цуг колебаний, содержащий ν длин волн и имеющий длину численно равную фазовой скорости c .

Существует несколько эквивалентных форм записей функции f (ct x) , например, для синуса:

U = a sin 2λπ (ct x) U = a sin 2π(νt λx )

U = a sinω(t cx ) U = a sin(ωt kx)

U = aei(ωtkx)

Фазовая скорость конечно равна c = dx / dt и есть скорость движения фазы (ωt kx) вдоль цепочки осцилляторов.

Скорость колебательного смещения самого осциллятора после прихода фазы есть dU / dt - простая гармоническая скорость. Обычно она задается источником возмущения.

Возьмем частные производные dydt и dydx , будем иметь: dydt = aω cos(ωt kx) ;

dydx = −ak cos(ωt kx) и cos(ωt kx) = dydt a1ω ; dydx = −ak dydt a1ω ; dydt = −ωk dydx = −c dydx = = − dxdt dydx . Таким образом, скорость частицы во фронте волны равна произведению волновой скорости

c = dx / dt на градиент волнового профиля dU / dx , взятого со знаком минус.

Скорость частиц возрастает в том же направлении, в котором растет поперечная сила в струне, т.е. в сторону горба или впадины. Рис. 18.

27

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 18

Импеданс струны.

Любая среда сопротивляется изменению своего первоначального состояния, в том числе и волновому процессу, хотя бы уже потому, что происходит ее нагревание. Это сопротивление удобно описывать импедансом или “волновым сопротивлением”. Если среда пропускает волны без потерь и не имеет механизма поглощения энергии, то импеданс действителен и определяется двумя параметрами, описывающими процесс накопления энергии в среде: инерций и упругости. При наличии потерь в выражении импеданса появляется мнимый добавок. Так и для струн. В соответствии с природой волн импеданс среды для поперечных волн определяется как отношение

поперечной силы к поперечной скорости колебательного процесса Z =

F

=

 

F

S

 

S

. Пусть один из концов струны

vS

&

 

 

US

возбуждается поперечной силой F = F0eiωt , натяжение постоянно и равно T . Запишем баланс сил для этого конца: рис. 19.

Рис. 19.

F eiωt = −T sin Θ −TtgΘ = −T dU , где Θ- малый угол. Для бегущих волн: U = aei(ωtkx) .

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

F

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

dU

 

 

 

 

ω

 

0

 

0

Для конца струны, где x =

0 F ei t

= −T

 

= ikTaei( t

k 0) , отсюда a =

 

=

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

dx x=0

 

 

 

 

 

 

ikT

iω T

 

F0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

(

c

)ei(ωtkx) ;c =

ω

.Найдем отсюда

dU

= v

S

= F

(

c

)ei(ωtkx) .

 

 

 

 

 

 

 

 

iω

 

k

dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

F eiωt

 

 

 

 

 

 

0

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

ρc2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = F / vS =

 

0

 

=

 

=

 

 

= ρc. Это выражение для волнового сопротивления струны. ρ - линейная

F

(

c

)eiωt

c

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плотность (масса на единицу длины).

2.6. Отражение и прохождение поперечных волн через границу двух сред.

Спросим себя, как будут реагировать поперечные волны на резкое изменение импеданса силы? Пусть наша струна состоит из двух кусков, гладко соединенных в точке x = x0 и имеет постоянное

натяжение T . Обе струны имеют ρ1 и ρ2 и следовательно разные волновые скорости c12 = T / ρ1 и c22 = T / ρ2 . Импедансы их Z1 = ρ1c1 и Z2 = ρ2c2 .Рис. 20.

28

Ur = br ei(ωt+kxi )
Ui = ai ei(ωtkxi )

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 20.

Волна, распространяющаяся слева направо в точке x = x0 , встречает скачок импеданса Z . Положим, что x0 = 0 . Тогда в этой точке образуются дополнительно две волны. Отраженная Ur и проходящая Uτ . Пусть смещение в падающей волне . Смещение в отраженной волне будет . Смещение прошедшей волне Uτ = cτ ei(ωtkxi) . Найдем выражение для b и c . Наложим граничные условия в точке

x= x0 = 0 . Их должно быть два.

1.Геометрическое – в любой момент t полное смещение справа и слева от точки x0 - одинаковы.

2.Динамическое - поперечная сила непрерывна в точке x0 .

Теперь будем иметь:

Ui =Ur =Uτ .

 

 

 

 

(1) aeiωt + beiωt = ceiωt от сюда a + b = c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

(Ui +Ur ) = T

 

Uτ

или

 

Ui

+

 

Ur

=

 

Uτ

отсюда после преобразований получаем:

x

x

x

x

x

k Ta

i

+ k Tb

= −k Tc

или ω

T

a +ω

T

b = −ω

T

c ,но T = ρc , подставим и тогда

 

 

 

 

i

 

r r

 

τ τ

 

 

 

c1

 

 

 

c1

 

 

 

c2

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ1c1a + ρ1c1b = −ρ2c2c или, учитывая, что ρc = z .

(2)Z1 (a b) = Z2c объединяя с (1) получаем систему :

a + b = c

 

b

=

Z1 Z2

;

c

=

2Z1

.

 

решение дает:

 

a

Z1 + Z2

a

 

Z1 (a b) = Z2c

 

 

 

Zz + Z2

b / a - амплитудный коэффициент отражения.

Они не зависят от ω , не вносят фазовых искажений и c / a - амплитудный коэффициент пропускания. сдвигов за исключением сдвига на π при Z2 > Z1 .

При Z2 = ∞- закрепленный конец струны b / a = −1; c / a = 0 падающая волна полностью отражается ac ab =1.

При Z2 = 0 -свободный конец, имеем b / a =1, а c / a = 2 , то есть амплитуда волны на свободном

конце удваиваются.

Что происходит в этом случае с энергией волны?

Энергия единичного отрезка струны равна: e = 12 ρω2a2 , где ω - частота, а – амплитуда смещения. Каждый единичный отрезок начинает колебаться с приходом волны, а волна распространяется со скоростью c , то и

перенос энергии вдоль струны будет равен энергии умноженной на скорость

ec =

1

ρω2a2c

=

1

Z ω2a2 .

 

 

2

1

 

2

1

29

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Скорость, с которой энергия расходуется в точке x0 , т.е. уносится отраженной и преломленной волнами будет: 12 ρ1c1ω2b2 + 12 ρ2c2ω2c2 = 12 Z1ω2b2 + 12 Z2ω2c2 . Поскольку энергия сохраняется, то

1

Z

ω2b2 +

1

Z

ω2c2 =

1

Z ω2a2

или Z

b2 + Z

 

c2 = Z

a2

или

b2

+

Z

2

 

c2

=1, но

b

=

Z

1

Z

2

,

2

2

2

 

a2

Z1 a2

a

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

Z1 + Z2

c

 

 

 

 

2Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(Z1 Z2 )

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

Z1

Z2

 

+

Z2

 

2Z1

 

 

=1 . Отсюда будем иметь для b

=

 

;

 

 

 

 

тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

a Z1 + Z2

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+ Z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

(Z1 + Z2 )

 

 

 

 

 

 

 

Z1

Z2

 

Z1 Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

=

4Z1Z2

 

. Если Z1

= Z2 то

b2

= 0 и говорят о согласовании импедансов, так как энергия не

 

 

a2

(Z1 + Z2 )2

a2

 

 

отражается.

§ Согласование импедансов.

Этот прием имеет важное практическое значение в вопросах передачи и приема сейсмических колебаний. Хотя, довольно странное занятие согласование двух геологических сред на глубине, поскольку их характеристики заданы природой от сотворения мира. Между тем, этот вопрос возникает всегда при проведении практических полевых наблюдений за законами распространения упругих волн, поэтому изучим его более внимательно.

На примере трех струн, жестко и гладко соединенных между собой покажем, как можно избежать

появление отраженной поперечной волны. Мы хотим добиться, чтобы Wпрох/Wпад= Z3 D2 =1.

Z1 A2

Согласно типичным условиям из § 1 запишем, что происходит в сечениях x = 0 и x = l , где l - длина вставного куска струны:

1) Aei(ωtk1x) + Bei(ωt+k1x) = Cei(ωtk2 x) + Dei(ωt+k2 x) или как и ранее:

A + B = C + D - это первое уравнение при x = 0 .

2) T (ik1 A + ik1B) = T (ik2C + ik2 D) и получим Z1 ( A B) = Z2 (C D) .

Первое условие в точке x = l даст: Ceik2l + Deik2l = E и Z2 (Ceik2l Deik2l ) = Z3 E эти получаются из того, что, используя форму струны при x = l будем иметь: из рис.21.

Рис.21.

U пад = Aexp[i(ωt k1 x)] U1 отр = B exp[i(ωt + k1 x)] U1 прох= C exp[i(ωt k2 x)] U2 отр= D exp[i(ωt + k2 x)]

U3 прох= E exp[i(ωt k3 x1 )] , где x1 = x l при x2 = l и x1 = 0 .

Таким образом, получим четыре уравнения:

30

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

A + B = C + D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1 (A B) = Z2 (C D)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ceik2l + Deik2l = E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik2l

De

ik2l

)

 

= E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z2 (Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая эту систему, получим последовательно: Z1 ( A C D + B) = Z2 (B D) или

 

 

A =

 

C(r12 +1) + D(r12 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2r12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где r12 = Z1 / Z2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =

 

r +1

Ee

ik l

 

 

 

 

D =

 

r23 1

Ee

ik 2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2r

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 r

 

 

 

 

 

 

r = Z / Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

2

 

 

3 .

 

 

 

 

 

Теперь найдем A :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

[(r

 

 

 

 

+1)(r

+1)eik2l + (r

 

 

1)(r

 

 

1)eik2l ]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r12r23

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

E

 

[(r

 

+1)(eik2l + eik2l ) + (r

 

+ r

 

)(eik2l

eik2l )]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r13

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

E

 

[(r

 

 

+1) cos k

2

l +i(r

+ r

 

)sin k

2

l].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2r13

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

=

 

 

Z1

 

Z2

 

 

=

Z1

 

 

 

= r .

 

Следовательно, отношение квадратов амплитуд будет равно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

23

 

 

 

 

 

 

 

Z2

 

Z3

 

 

 

 

 

Z3

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r13

 

 

 

 

 

 

 

 

, отсюда получим, что отношение энергий в проходящей и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

(r

+1)2 cos

2 k

l + (r

+ r

)2 sin2 k

2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

12

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

падающей волнах есть:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

E

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

A3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем l =

 

, то тогда

 

Z

 

 

 

 

 

A

r

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

(r

+1)2 cos2 k

l

+ (r

 

+ r )2

sin2 k

l

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

2

 

 

 

12

 

 

23

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos k2λ / 4 = cos

2π λ

 

 

π

 

π

 

 

 

 

2

1

 

4r13

 

 

 

= cos

2 = 0;sin

2

=

1. получим, что W

прох/W пад=

 

 

=1, это будет, если

 

λ

4

(r

+ r )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

23

 

r12 = r23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

4r13

=

Z1 / Z2

 

=1 и

 

Z1Z3

 

=1 или Z

 

=

Z

Z

 

.

 

 

 

 

 

Z22 / Z32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r2 23

 

 

 

 

Z22

 

 

 

 

2

 

1

 

3

 

 

 

 

 

Если импеданс связывающей среды равен среднему геометрическому двух других импедансов, которые должны быть согласованы, а длина (мощность) связываемых линий равна λ2 / 4 , где λ2 = 2π / k2 четверти

длины волны в промежуточной среде, то вся энергия с частотой ω = c / λ2 будет свободно проходит в третью среду.

2.6.Волновые пакеты.

Впредыдущих параграфах мы рассматривали монохроматические волны, имеющие одну частоту ωi и

одну длину волны λi . Более общим, а для сейсморазведки и единственным пока случаем, является тот, когда волны образуют некоторый конечный набор или группу разно частотных гармоник. В природе это присутствует в

o o

виде белого дневного света, где λmax = 7000 A- красный, а λmin = 2500 A - синий или фиолетовый. Здесь

31

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

λmax 2,6 2,7 раза. Для сейсмических частот имеем: ωmin =10 Гц, ωmin =125Гци отношение их будет

λmin

12,5, что в 5 раз больше чем у видимого света.

Рассмотрим пакет из двух волн с одинаковыми амплитудами A , но с близкими частотами ω1 и ω2 . u1 = Acos(ω1t k1 x);u2 = Acos(ω2t k2 x) . Сложим их:

u = u + u

2

= 2Acos ω1 ω2

t

k1 k2

x cos ω1 +ω2

 

t

k1 + k2

x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

+

ω

 

 

k

+ k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или = 2B cos

1

 

 

2

t

1

 

x . Теперь это волна с частотой ωcp . Амплитуда же B модулирована

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частотой

ω1 ω2

=

ω

0 медленно меняется, поскольку

 

ω 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорость новой волны равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1 ω2

= C

k1 k2

= C , где C - фазовая скорость C = ω

1

/ k

= ω

2

/ k

2

. Следовательно, пакет как сумма

 

k1 k2

 

 

 

k1 k2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отдельных гармоник распространяющихся с одинаковой скоростью, а профиль пакета не меняется.

В более общем случае волну с модулированной амплитудой можно записать как u = Acos(ωt kx)

A = a +bcosω't , тогда: u = acos(ω t kx) + b {cos[(ω +ω)t kx)]+cos[(ω ω)t kx)]}.

1

2

 

 

 

 

 

Из за амплитудной модуляции появились две частоты (ω ω)

и (ω +ω) симметричные относительно

основной ω , носят названия – боковые.

 

 

 

Пусть теперь эти же гармоники имеют разные фазовые скорости c1 и c2 . Тогда скорость максимума

vy

= ω1 ω2 ) =

ω .

амплитуды пакета или групповая скорость

k1 k2

k

и не равна каждой из c1 и c2 .

В этом случае вид суперпозиции этих волн не будет неизменным, и профиль пакета будет меняться со временем.

Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты, называется диспергирующей. Зависимость ω от k дисперсионным соотношением.

 

Если ω1 ~ ω2 , то

ω

dω

 

 

 

 

 

 

 

 

k

dk .

 

 

 

 

 

 

 

 

Групповая скорость есть скорость max амплитуды пакета, а поэтому она называется скоростью передачи

энергии.

 

 

 

 

 

= dω =

d

(kv) = v + k dv

= v λ dv

 

 

 

 

 

 

v

y

=

 

 

 

 

 

dk

 

Так как ω = k / v , где v - фазовая скорость, то

dk

dk

dk

 

= C λ dv ; vy

c

dv

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

dk

. Если

dk

, то vy = c - среда без дисперсии.

 

 

 

dv

> 0

 

 

dv

< 0

 

 

 

 

 

 

dk

- область нормальной дисперсии, dk

- область аномальной дисперсии.Рис.21.

 

 

32

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 21.

Обобщим теперь наши результаты на случай пакета, образованного из большого числа частотных

составляющих с одинаковой амплитудой, лежащих с одинаковой амплитудой, лежащих в узком диапазоне ω . Это выражается суммой ряда:

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = a cos(ωnt + nδ )

, где

δ = ω1 ω2 ;ω2

 

ω3 .

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, мы ищем сумму членов ряда, который записывается в виде:

 

a cosω1t + a cos(ω1 +δ )t + a cos(ω1 + 2δ )t +... + a cos[ω1 + (n 1)δ ]t. Сумма его имеет вид:

R = a sin[nδt / 2] cos

ω

t

ω

= ω + n 1

δ

 

sin[δt / 2]

, где

 

 

 

1

2

 

 

, но nδ = ω -ширина импульса, поэтому при больших n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

R(t) = a

sin

2 t

cos

ω

t = na

sin 2

t

cos

ω

t = A sinα cos

ω

t; A = na; α =

ω t - разность фаз между

 

 

 

 

 

 

sin

ω

t

 

 

 

ω t

 

 

 

 

α

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первой и последней и последней частотными компонентами в момент времени t .

График волнового пакета, построенный по полученной зависимости, выглядит следующим образом рис.

23.

Рис. 23.

Видим, что амплитуда пакета изменяется по закону синуса со средней частотой ω, но с модулирующем множителем (sinα) /α . При t = 0 имеем (sinα) /α 1 и cosωt компоненты волнового пакета

складываются с 0 или минимальным сдвигом фаз. Это дает максимальную амплитуду R = n a . Через некоторый

33

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

α =

ω

t = π

интервал времени t , когда

2

фазы компонент становятся неодинаковыми, а суммарная

амплитуда R(t) ~ 0 . Таким образом, время

t - служит мерой ширины центрального импульса и определяется

 

ω t

= π

ω

t =1

, или ν t = 1 . Ширина основания центрального импульса равна

соотношением:

2

 

или 2π

 

2 t , а t с центром в точке t = 0 взят как условная мера времени, в течение которого R(t) A / 2 . При таком

определении это соотношение превращается в приближенное равенство:

ν t = 1 или

ω t 2π . Это

соотношение известно под названием теоремы о ширине частотной полосы.

 

Теорема утверждает, что одиночный импульс длительности t является результатом сложения

монохроматических компонентов, частоты которых заключены в интервале ωn ω1 =

ω = 2π / t .

Если перейти к волновому вектору K , то t

надо заменить на координату x и тогда теорема о ширине

частотной полосы примет вид: K x 2π или

x /

λ 1.

 

 

 

 

В случае монохроматической волны λ = 0. и

1

= 0. , тогда

x (

1

) 1. и в этих условиях x ≈ ∞-

 

 

 

 

x

 

λ

 

определяет бесконечно длинное волновое движение.

Если амплитуды составляющих волнового пакета не равны друг другу, то для рассмотрения этого вопроса необходимо привлечь метод Фурье анализа. Но выводы останутся теми же самыми.

2.7. Поперечные волны в периодической структуре.

Рассмотрим легкую струну длиной l , на всей длине которой на одинаковом расстоянии a друг от друга закреплены n тел одинаковой массы m . Оба конца струны (полная длина l = (n +1)a ) закреплены,

следовательно An = 0 и An+1 = 0 . Во все моменты времени струна натянута с постоянной жесткостью T . Эти тела совершают малые гармонические колебания только в одной плоскости, в данном случае xy . Найдем частоты

и смещения каждого тела. Эта задача была впервые сформулирована французским математиком Лагранжем. Уравнение движения напишем, если рассмотрим компоненты натяжения струны слева и справа от массы с

номером j , которые направлены в сторону равновесия, в данном примере “вниз”.Рис. 24.

Смещение масс i в направлении равновесия ox вызывается силой T sin Θ1 , обусловленной натяжением струны

слева, и T sin Θ

2

- справа от массы. Но sin Θ =

u j

u j1

;sin Θ

2

=

u j u j+1

, поэтому уравнение имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2u j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

= −T (sin Θ + sin Θ

 

) = −T (

u j u j1

 

 

u j u j+1

 

 

&&

 

 

 

T

(u

 

2u

 

+ u

 

 

 

dt2

 

 

a

 

 

 

+

 

a

) отсюда: U

j

=

ma

j1

j

j1

). Если

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

временна зависимость смещения является гармонической, то смещения j -ой массы можно записать в виде:

U

j

= A

eiωt , аналогично и U

j1

= A

j1

eiωt ;

U

j+1

= A

eiωt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя их в уравнение движения, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2 Aj eiωt =

T

 

(Aj1 2Aj

+ Aj+1 )eiωt = 0 или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aj1 + 2(maTω2 )Aj Aj+1 = 0 . – основное уравнение.

Для всех n +1тел мы получим n уравнений, начиная с j =1 и кончая j = n +1. При A0 и An+1 = 0 получаем следующую систему:

34

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

j =1

(2 maω2 )A

A

= 0

 

 

 

 

 

T

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

 

j = 2

→ −A1

+ (2

)A2 A3

 

 

 

T

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решив эту систему мы найдем n разных значений ω и столько же

.....................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

 

j = n

→ −A

 

+ (2

)A = 0

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

T

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений Aj . Решение основано на теории матриц. Здесь его мы не будем изучать, попробуем получить решение методом индукции. Пусть n =1. Это значит, что на струне длиной 2a всего одно тело массой m . При этом нам достаточно одного уравнения j =1 с условиями: A0 и A2 = 0 . Подставим эти данные в уравнение и найдем:

(2 maTω2 )A1 = 0 . Оно дает одну единственную частоту ω12 = ma2T .

Пусть теперь n = 2 , а длина струны равна 3a .Возможны два случая колебаний. I– подобен предыдущему с n =1(тела колеблются в фазе) и II. – более сложный, когда тела колеблются в противофазе. Поэтому для этого случая необходимо использовать уже два уравнения с n = 1и n = 2 .

(2

 

maω2

) A

 

A

 

= 0

 

 

 

A0

и A3 = 0 по условию. Решая эти два уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

+ (2 maω2 ) A

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det =

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

2

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

maω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω

2

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

1

 

= 0 или (2

 

 

 

 

 

 

 

+

1)(2

 

 

 

 

 

) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

=

T

, ω2

 

 

 

=

3T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ma

2

 

 

 

 

 

ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 и A2 . Это в конце концов дает, что для

 

 

Зная ω1,ω2 и подставляя их в уравнения последовательно получим

 

 

ω1 A1 = A2 , а для

ω2

 

A1

= − A2 , то есть более быстрое (в 1,7 раза) происходящее колебание, а по

 

 

сравнению с n =1 в 1,23 раза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j - ой массы можно записать уравнением:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что амплитуду смещения

 

 

 

 

 

 

Aj

= C sin jΘS , где, С – постоянная, ΘS - некоторый постоянный угол при преобразовании вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

+ (2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)A A

 

= 0 (2

 

 

 

 

 

 

 

 

)A = A

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

J

J 1

 

J +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

maω2

) =

 

A

1

 

+

A

+1

;(

2T

ω2

) =

 

A

1

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

A

 

 

 

maT

 

T

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ω 2 ω2

=

 

 

A

 

+ A

 

,

ω

 

2

=

 

T

. Отсюда получается, что при любом номере j величина

2ω

2 ω

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 1

 

 

 

 

J +1

0

 

 

 

 

 

0

 

-

 

 

ω

2

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

ma

 

ω 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

есть величина постоянная и не зависящая от номера, поэтому это представление справедливо для любого j .

 

 

 

Aj1 Aj+1

 

=

 

 

C[sin( j 1)Θ

S

+ sin( j +1)Θ

S

]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C sin jΘS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C[sin jΘS cos ΘS

sin ΘS cos jΘS

+ sin jΘS cos ΘS + sin ΘS cos jΘS ]

=

2C sin jΘS cos ΘS

= 2 cos ΘS .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C sin jΘS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C sin jΘS

 

 

 

 

Угол ΘS - постоянный для частицы ωS , найдем из граничных условий A0

= An+1 = 0 .

 

 

 

 

 

A0

= C sin Θ = 0; An+1

= C sin(n +1)ΘS

= 0 или (n +1)ΘS

= sπ , где:

s =1,2,, n следовательно

 

 

 

35