сейсморазведка часть 1

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

верхней частотой. Наличие такой предельной частоты характерно для всех колебательных систем, состоящих из некоторого количества одинаковых элементов (масс), (слоев), которые периодически повторяются по всей структуре.

Представим выражение ωS2 = 2ω02 [1 − cos ns+π1] несколько в другом виде, используя формулу

При s = ρ изменение s на единицу соответствует переходу от одного разрешенного числа полуволн к другому – следующему по порядку, поэтому минимальная длина волны λ = 2a , а максимальная частота

36

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 26.

На рисунке представлены две дисперсионные кривые, a - зависимость скорости от частоты, δ - зависимость разрешенных частот от величины волнового вектора k . ωm - предельно разрешенная максимальная частота волны, распространяющейся вдоль линейной одномерной цепочки масс в периодической структуре.

К лекции об отражении и преломлении поперечных волн.

Зададим себе вопрос, что произойдет с поперечной волной движущейся по структуре, имеющей в некоторой точке излом? Пусть этот излом находится в точке x = x0 . Струна имеет силу натяжения T одинаковую слева и справа

от точки x = x0 . Поперечная волна возбуждается силой F = F0eiωt , действующей в начале струны при x = 0 .

Вправо от точки x = 0 начнет распространяться поперечная волна вида u = aei(ωt−kx) , где u - смещение струны в

Ω = 2πω

Посмотрим боле внимательно на нашу струну. Мы видим, что в принципе ничего особенного со струной не происходит. Натяжение постоянно, линейная плотность ρ - не меняется и длина струны непрерывна по

l

координате x , то есть L = ∫dx = l . Однако, первая производная длины струны по координате x в точке x = x0

0

терпит разрыв. Если слева от точки x = x0 − 0 dLdx = +const , то справа x = x0 + 0 dLdx = −const , и

при x = x0 существует разрыв производной.

слева, как мы помним, стоит сила инерции, а справа – сила упругости или сопротивляемости струны изменению

своего состояния. Это уравнение справедливо для всей струны. При этом U T и U X , то есть смещение перпендикулярно координате x и направлению натяжения струны.

Но в точке x = x0 меняется, пусть и незначительно, направление струны. А уравнение баланса сил в точке x0 − 0 выполняется, а в точке x0 + 0 уже нет, потому что произошло изменение направления силы тяжести и смена знака в производной длины струны по координате. Поскольку мы возбуждаем волну поперечную по условию F , то есть (F iX ) = 0 , то справа от точки x0 волна должна быть поперечной также, то есть смещение

Ux=x0 −0 , чтобы стать смещением Ux=x0 +0 должно провернуться на некоторый угол Θ. Рис. 27.

37

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 27.

Но никаких внешних дополнительных сил, которые бы заставили волну изменить направление, смещения нет, кроме тех, которые переносятся самой волной, то этот поворот должен произойти за счет как бы внутренних свойств рассматриваемой системы. Таким свойством системы есть непрерывность системы смещения струны в

любой ее точке, в том числе и в точке x0 , то есть U x=x0 −0 = U x=x0 +0 . Слева другого смещения просто нет. Для

того, чтобы удовлетворить этим двум условиям, разложим вектор смещения в падающей волне на два вектора. Один из них направлению струны справа от точки x = x0 , а другой ||ему. Тогда будем иметь:

Из силового треугольника находим, что α = Θ/ 2 , как углы со взаимно сторонами и окончательно

распространяется по струне быстрее, чем породившая его волна U . Эта волна носит название обменной,

поскольку падающее начальное возмущение в виде одной поперечной волны преобразуется в два волновых движения с одной и той же частотой, но с разными скоростями распространения фаз по струне. Произошел как бы обмен колебательными движениями.

Отсюда становится понятным, почему музыканты используют струны для своих инструментов без изломов. Каждый такой излом меняет звуковой тон струны, нарушая гармонию звучания инструмента так приятную для нашего слуха.

2.7. Сводка основных результатов.

2.Волновая (фазовая) скорость c = ∂∂xt = ωk .

3.Волновое число k = 2π / λ , λ - длина волны, определяет величину расстояния разность фаз волны, между которыми, равна 2π .

4. Скорость частиц во фронте волны ∂∂yt = −c ∂∂yx = v упругий случай v << c .

5.Смещение частиц во фронте волны описывается уравнением: y = aei(ωt−kx) , где a - амплитуда волны.

6.Групповая скорость – скорость распространения волны в структурированной среде, зависит от частоты или волнового числа. Скорость движения пакета волн. vΓP = ddkω = v + k dkdv = v − λ ddvλ .

38

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

7.Прямоугольный волновой пакет, состоящий из n компонент с амплитудой a каждого, имеющий частную

8. Теорема о ширине частотной полосы: для определения волнового импульса длительностью t необходима частотная ширина ω = 2π / t и наоборот.

9.Импеданс или волновое сопротивление среды: Z = сила/скорость = −T ∂∂yx / ∂∂yt = ρc . Отсюда выражение для силы: F = ρcv .

Толщина среды с импедансом Z2 равна λ / 4 , где λ - длина волны в этой среде.

2.8.Поляризация.

Амплитуда некоторых типов волн (электромагнитных, упругих в твердых телах ) в средах

характеризуются не только величиной отклонения от положения равновесия, но и направлением. Особо наглядно эта зависимость проявляется на струне. В предыдущих исследованиях колебаний и волн мы не придавали этому факту какого-либо значения, и правильно. Но сейчас, когда установлены основные закономерности волнового движения, обратим внимание на то, что натянутая струна обеспечит бесконечное множество направлений отклонений от невозмущенного состояния. Выберем наугад три реперных направления. Одно вдоль струны “ z ”, другие два ему перпендикулярных, например, “вверх - вниз”, обозначив его через “ y ” и “влево - вправо”, обозначив его как “ x ”. Тогда любое отклонение струны из начального

положения мы можем получить путем линейных комбинации этих двух ортогональных направлений, считая их за оси локальной системы координат “привязанной” к струне. Это показана на рисунке (вертикально поляризованная волна и горизонтально поляризованная волна). Рис. 28.

Рис. 28.

Малые колебания струны фактически всегда линейны, так что две волны могут распространяться вдоль струны независимо друг от друга. В данном случае скорость их распространения одинакова, так как

определяется силой натяжения T0 и линейной плотностью.

Во многих средах волны распространяются одинаково не зависимо от их поляризации. Но это относится не ко всем веществам и уж тем более к геологическим породам. Яркой житейской иллюстрацией этого явления служит распространение волн в деревянных рельсах. Доска, как известно, имеет два выделенных ортогональных направления. Одно из них перпендикулярно горизонтальной плоскости, другое – вертикальной. При этом сама доска обладает существенно меньшей жесткостью для колебания “вверх – вниз”, и наоборот для “влево – вправо”. Мы все помним свои ребячьи игры, иногда заканчивающиеся синяками и ссадинами, при неумелом использовании досок в качестве качелей, при закреплении одного из ее концов.

Итак, волны представляют собой физические процессы, характеристические параметры которых, суть отклонения от их равновесного состояния, меняются в зависимости от координат и времени. Отклонение от

39

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

положения равновесия может описываться вектором смещения U(x, y, z, t) . Будем рассматривать плоские волны, для которых функция смещения зависит от z, t т.е. U(z, t) .

В общем случае, как мы уже знаем, вектор смещения в плоской волне, распространяющейся вдоль направления zˆ описывается уравнением: U(z, t) = mvxU x (z, t) + mvyU y (z, t) + mvzUz (z, t) .

Для поперечных упругих волн вектор U(z, t) имеет либо x, y компоненту, либо z, x соответственно

нашим обозначениям sH и sV типов сдвиговых колебаний.

Если в поперечной волне смещение направлено вдоль прямой линии и лежащей в плоскости XY ,

перпендикулярно оси zˆ , то такая волна называется линейно поляризованной sH .

U(z, t) = m)xUx (z, t) + m)yU y (z, t) или, представляя, что m)xUx (z, t) = m)x A1 cosωt и

U y (z, t) = m)y A2 cosωt

запишем, что: U(z, t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cosωt = (m)x A1 + m)y A1 ) cosωt.

Для простоты мы возьмем колебания с одинаковой фазой в разных точках оси z . Величина и направление

Круговая поляризация.

Однако, поперечная волна может нести не только колебания вдоль какой-либо линии. Эти колебания могут представлять собой движение частицы по кругу, при этом говорят, что волна поляризована по кругу.

Такие колебания могут быть представлены суперпозицией линейно - поляризованных колебаний по осям x и y , причем амплитуды этих движений равны. Выберем правостороннюю систему координат x × y = z . В

этом случае для колебания с круговой поляризацией по + z составляющая uvx опережает на 900 uvy :

u(t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cos(ωt −π / 2) = m)x A1 cosωt + m)y A2 sinωt .

Аналогично, при вращении U(z, t) в обратную сторону Ux отстает от U y на 900 и

Поляризованные по кругу упругие волны переносят момент импульса единицы объема J , который, как

известно, выражается через энергию волны и ее угловую частоту:

J = ±m)z (w / ω) = ±m)z (ρv2 / ω) = ±m)z (ρλv) , где ρ - плотность породы, λ - длина волны, v - массовая скорость движения частицы.

Бегущая волна с круговой поляризацией по направлению + z получится заменой аргументов ωt на

ωt − kz или:

US (z, t) = A{m)x cos(ωt − kz) + m)y cos[(ωt −π / 2) − kz]}.

Если волна идет в обратном направлении, то меняется значение аргумента ωt − kz на обратные.

Общий случай поперечной поляризации – эллиптическая поляризация.

В общем случае это колебание имеет вид:

40

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

U(t) = m)x A1 cos(ωt +ϕ1 ) + m)y A2 cos(ωt +ϕ2 ) . Если ϕ1 = ϕ2 или ϕ2 ±π то мы имеем случай линейно поляризованного колебания.

Если ϕ2 = ϕ1 −π / 2 и A1 = A2 , то имеет место колебание с круговой поляризацией по + mz , при

ϕ2 = ϕ1 +π / 2 ; A1 = A2 то же, но по − mz . Запишем, как это мы делали раньше, что:

порядка носящее название конического сечения или эллипса. В зависимости от конкретного соотношения фаз двух колебаний ϕ1 и ϕ2 главные оси эллипса постепенно поворачиваются относительно осей координат x и

y . При ϕ2 −ϕ1 = 0;π;2π. - поляризация линейная с переменной смещения частицы при ϕ2 −ϕ1 = π . При ϕ2 −ϕ1 = π / 2;3π / 2. - эллипс вытянут вдоль осей y , либо x и в зависимости от соотношения между величинами A1 и A2 .При A1 = A2 - круговая поляризация, т.к. в этом случае U x2 +Ux2 = A2 .

При остальных значениях ϕ - эллипс занимает промежуточное положение.

Вставить фиг.11 со стр.28.

Свойства поперечно поляризованных колебаний.

1. В линейно – поляризованной волне при фиксированной пространственной координате смещение или

отклонение дважды проходит через 0 , а все элементы совершают одинаковое движение, но с фазовым сдвигом, определяемым временем распространения волны.

2. При круговой поляризации стоячей или бегущей волны + абсолютная величина отклонения при

фиксированной координате z постоянна. Если сделать мгновенный снимок волны, то форма возмущенного состояния среды будет напоминать форму штопора.

3. При отражении направление вращения относительно фиксированного в пространстве направления

zсохраняется независимо от свойств отражающей границы.

2.8.Различные представления состояния поляризации.

Наиболее общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицией волн линейно

поляризованных по осям x и y . Существует множество направлений, которые можно выбрать за x и, соответственно этому, множество представлений состояния с линейной поляризацией, переходя к комплексным величинам, ибо мы знаем, что любую волну можно представить в виде ряда гармонических функций, записанных через комплексные величины, можно сказать, что существует бесконечное множество

наборов ортонормированных волновых функций U1 и U2 , которые можно использовать для получения

суперпозиции, определяющей U(z, t) .

Полный набор ортонормированных волновых функций для линейно – поляризованных колебаний по

41

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Они удовлетворяют условиям: U1 U1* =1;U1* U2 = 0 , что легко проверить подстановкой.

Произвольно поляризованное колебание может быть представлено в виде суперпозиции поляризованных компонент с левой и правой спиральностью, с соответствующе подобранными амплитудами и фазами. К

примеру, возьмем волну линейно поляризованную по оси x , которая может быть представлена двумя эквивалентными выражениями:

U = m)x Acos(kz −ωt) или

при m)y множитель A / 2 - одинаков, а cos отличаются друг от друга фазой на π и при сложении дадут 0 . Соответствующие комплексные выражения имеют вид: