- •Установочная лекция 4 (2 ч.) комплексный метод анализа электрических цепей
- •4.1А. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока
- •4.1Б. Комплексная схема замещения электрической цепи
- •4.1В. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме
- •Первый закон Кирхгофа (1зк) гласит, что в любом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов токов равна нулю, т.Е.
- •1. Выбираем направления комплексов токов ветвей и обозначаем их стрелками на схеме (см. Рис. 4.3).
- •3. Составляем уравнение по 1зк для узла 1:
- •4. Выбираем независимые контуры и направление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем упражнении имеется два независимых контура (левый и средний).
- •4.1Д. Анализ цепи с последовательно-параллельным соединением ветвей
- •4.1Д. Комплексная мощность и баланс мощностей в сложной цепи
- •Разделы для самостоятельной проработки
- •Литература и информационные источники
4.1Д. Анализ цепи с последовательно-параллельным соединением ветвей
Выбор метода расчёта зависит от сложности схемы цепи и числа источников энергии. Так, для цепи с одним источником напряжения (рис. 4.6а) с комплексной ЭДС Е и комплексами сопротивлений ветвей
, ,
можно определить комплексы токов I1, I2, I3 и комплексы напряжений U1 и U2 = U3 ветвей методом преобразования (свёртывания) схемы цепи и правилом делителя тока.
При этом комплексы входного сопротивления и тока цепи:
Z = Z1 + , I1= E/Z.
Комплексы токов ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока:
Напряжения на ветвях:
Векторная диаграмма токов и напряжений цепи представлена на рис. 4.6б, при этом
Примечание. При выборе метода двух узлов для расчёта цепи (см. рис. 4.6а) комплекс узлового напряжения определяют по формуле
где Y1 = 1/Z1,
Комплексы токов ветвей
, , .
4.1Д. Комплексная мощность и баланс мощностей в сложной цепи
Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент углу сдвига фаз = u i между током и напряжением на её входе, т.е.
S = Se j = UIe j(u i) = Ue juIei = U ,
где – комплексно-сопряжённый ток.
Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток .
Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической
S = Scos + jSsin,
устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи Р = Re[S] = Scos.
Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи Q = Im[S] = Ssin .
С учётом изложенного выражение комплексной мощности можно записать следующим образом:
S = P + jQ = .
Следовательно, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи P, а мнимая реактивной Q, причём если перед символом j стоит знак минус, то это реактивная ёмкостная мощность QС, а если знак плюс реактивная индуктивная мощность +QL.
Рассчитаем полную, активную и реактивную мощности цепи, комплекс напряжения и комплекс тока на зажимах которой U = 10ej30 B и I = 2ej45A.
1. Комплексно-сопряжённый ток = 2ej45A.
2. Комплексная мощность S = U = 10ej302ej45 = 20ej75 ВА.
3. Активная мощность Р = Scos = 20cos75 5,2 Вт.
4. Реактивная мощность Q = QL = Ssin = 20sin75 19,3 вар.
Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, должна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приёмниками энергии:
= , ⃰)
где n и m число источников и приёмников энергии в цепи.
Примечание. Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а электрическая энергия.
Уравнение ( ⃰)) называют уравнением (условием) баланса мощностей.
В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, активных и реактивных мощностей.
Условием баланса комплексных мощностей является соотношение
.
Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей цепи представляют в следующем виде:
при этом слагаемые, стоящие в левой части уравнения), берут со знаком плюс, если совпадают направления тока Ik и ЭДС Еk источника напряжения, и не совпадает направление тока Jk с направлением напряжения Uk на зажимах источника тока. В противном случае эти слагаемые берут со знаком минус.
Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:
активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна активной мощности всех её потребителей (она полностью расходуется в резистивных элементах цепи):
реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её потребителями):
где Rk и jХk = jХLk jХСk действительная и мнимая части комплексного сопротивления k-го пассивного элемента.