4.1В. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме

Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных на­п­рав­лений тока и напряжения выражение закона Ома имеет вид

,

где Z = Ze^j  комплек­с сопротивления ветви.

Если  > 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при  < 0 ток опережает по фазе напряжение.

Так как полная комплексная прово­димость Y = 1/Z, то ток

I = UY = UYe .

Запишем обоб­щён­ный закон Ома для ветви с n последовательно соединёнными источниками напря­жения и пас­сивными элементами:

где Е_k и U  комплекс k-й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c нап­ра­влением тока ветви, а знак минус  при их противоположном направле­ни­и.

Первый закон Кирхгофа (1зк) гласит, что в лю­бом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраи­ческая сумма комплексов токов равна нулю, т.Е.

.

Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со зна­ком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со зна­ком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в лю­бом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряже­ний на пассивных элементах этого контура, т.е.

где (n) и (m)  число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре.

Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных эле­ментах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпа­да­ют с нап­равлением обхода контура.

Упражнение 4.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхго­фа относи­тельно неизвестных компле­к­­сов то­ков ветвей (I₁, I₂ и I₃) схе­мы цепи (рис. 4.3).

1. Выбираем напра­в­­ле­ния ком­пле­к­сов то­ков ветвей и обозна­чаем их стрелками на схеме (см. Рис. 4.3).

2. Уто­чняем чис­ло узлов (У = 2) и вет­вей (В = 3) схемы цепи с неиз­вест­ными тока­ми.

3. Состав­ляем уравнение по 1зк для узла 1:

4. Выбираем независимые кон­ту­ры и нап­равление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем уп­раж­нении имеется два независи­мых контура (левый и средний).

Внимание! Ветвь с за­данным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитыва­ется.

Запишем уравнения по 2ЗК (для неза­виси­мых контуров):

4.1г. Анализ цепи с параллельным соедине­нием элементов R, L и C между собой и с источником синусоидального напряжения u = U_msint (рис. 4.4а).

Комплекс тока I на входе цепи может быть найден по 1ЗК, как сумма комплексов токов ветвей: I = I_R + I_L + I_C, определённых по закону Ома:

I_R = U/R = gU, I_L = U/jX_L = jb_LU, I_C = U/(-jX_C) = jb_CU,

г де g = 1/R, b_L = 1/X_L, b_С = 1/X_С  модули проводимостей идеализированных двухполюсных элементов R, L и C, или как произведение комплекса входного напряжения U и комплекса входной проводимости Y, т.е. I = YU, где Y = Y₁ + Y₂ + Y₃ = g  jb_L + jb_C.

Векторная диаграмма входного напряжения и токов цепи при X_L > X_С приведена на рис. 4.4б, где I_R и jI_X = jI_С  jI_L – активная и реактивная состав­ляющие комплекса тока I цепи;  = arctg(I_X/I_R).

При параллельном соединении ветвей, содержащих как один, так и неско­ль­ко последовательно соединённых пассивных элементов (рис. 4.5а), комплекс входного тока также находят в виде суммы предварительно найденных комплексов токов ветвей, т.е. I = I₁ + I₂ + I₃ (рис. 4.5б), где:

I₁ = U/Z₁, I₂ = U/Z₂, I₃ = U/Z₃,

,

,

или в виде произведения задан­ного комплекса напряже­ния U и комплексной входной проводимости цепи Y, т. е. I = YU, где Y = Y₁ + Y₂ + Y₃; Y₁ = = 1/Z₁, Y₂ = 1/Z₂, Y₃ = 1/Z₃.