4.1Б. Комплексная схема замещения электрической цепи

Компонентные уравнения пассивных элементов в комплексной фор­ме дают возможность изобразить комплексную схему заме­ще­ния электри­ческой цепи, составить и решить алгебраические уравнения относитель­но комплексов электрических величин, затем осуществить обратный переход от ком­пле­­к­сов к синусоидальным функциям.

Найдём комплекс сопротивления и ток последовательной RLC-це­пи (рис. 4.1а), к зажимам которой приложено напряжение u = U_m sin(t + _u).

Воспользовавшись компонентными уравнениями элементов, вычертим комплексную схе­му замещения цепи (рис. 4.1б). За­пишем соответствия электрических величин для схем рис. 4.1а, б:

u(t) , где U = ,

u_R(t) , где I = ,

u_L(t) U_L(j) = jLI = jX_LI ,

u_С(t) U_С(j) =  j I = jX_СI ,

где jX_L и jX_С  комплексы индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Согласно вто­рому закону Кирхгофа для схемы рис. 4.1а имеем

u_R + u_L + u_C = Ri + L + = u = U_msin(t + _u).

Подставив в уравнение вместо напряжения u, тока i, его производной d[(t)]/dt и инте­грала соответствующие комплексные выражения, получим

RI(j) + jX_LI(j)  jX_CI(j) = U(j) ,

RI + jLI I = U .

Сократив левую и правую части на множитель и преобразовав, получим выражение тока в комплексной форме

,

в котором все ком­плексные величины (I, U и Z) не зависят от времени.

Итак, комплекс тока I последовательной RLC-цепи равен комплексу напря­жения U, делённому на комплексное число

Z = R + jX_L  jX_C = R + jX = Ze^j,

носящее название комплекс сопротивления последовательной RLC-цепи, где:

Z = и  = _u  _i = arctg

 модуль и аргумент комплекса сопротивления Z ; jX = jX_L  jX_C  комплекс реактивного сопротивления RLC-цепи.

Оригинал тока i(t) получим, осуществив обратный переход от комплекса то­ка I к его оригиналу, т.е.

I i(t) = sin(t + _i) = I_msin(t + _i).

Для наглядного отображения соотношений между электрическими величинами комплексной схемы заме­­щения (см. рис. 4.1б) построим диаграмму тока (при _i = 0) и напряжений це­пи в комплексной плоскости Re-Im (рис. 4.2а) в соответствии с уравнением

R Ie + jLIe

(без оператора , т.е. при t = 0), в кото­рой вектор напряжения U_R = RI сов­па­дает по фазе с век­тором тока I, вектор на­пря­жения U_L = jX_LI опе­ре­жа­ет его по фазе на угол /2, а вектор напряжения U_C =  jX_CI отстает по фазе от вектора тока I на угол /2. Вектор U_X = U_L  U_C.

Вектор напряжения U опережает вектор тока I по фазе на угол .

Поделив комплексы напряжений (см. рис. 4.2а) на комплекс тока I, по­лу­чим тре­угольник сопротивлений RLC-цепи (рис. 4.2б).

Величину, обратную ком­плекс­ному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC-цепи, т.е.

где g = и = b_L  b_C  активная и реак­тив­­ная проводимости цепи; b_L = и b_C =  индуктивная и ёмкостная про­водимости RLC-цепи.

Итак, комплексная (полная) проводимость RLC-цепи

Y = g  j(b_L  b_C) = g  jb ,

где и  = arctg  модуль и аргумент ком­плексной проводимости цепи. На рис. 4.2в представлен треугольник про­­водимостей RLC-цепи в комплексной плоскости.