1.3. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.3

1.3.1. Основные определения. Трёхфазная цепь – это совокупность трёх­фаз­ной системы ЭДС, трёхфаз­ной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов. Трёх­фазной системой ЭДС (напряжений) называют систему, состоящую из трёх (однофазных) элек­трических цепей, в которых действуют три синусоида­ль­ные ЭДС одной и той же частоты, равные по амплитуде и сдвинутые по фа­зе относительно друг друга на угол 2/3 (120). Три ЭДС создаются в неподвижных обмотках, разме­щён­ных в пазах статора трёхфазного генератора под углом 120 относи­тельно друг друга, при вращении ротора с намотанной на него катушкой, по которой про­текает постоянный ток.

Под фазой трёхфазной цепи пони­мают участок цепи, по которому про­те­ка­ет одинаковый ток. Под фазой бу­дем также понимать аргу­­мент (t  ) синусо­идальной функции. Таким об­разом, в зависимо­сти от рас­смат­риваемого воп­ро­са, фаза  это либо учас­ток трёхфазной це­пи, либо аргу­мент синусоидаль­ной фун­кции.

1 .3.2. Схемы соединения фаз трехфазных генератора и приёмника. Об­мо­тки статора трёхфазного генератора соединяют по схеме зве­зда (Y) (рис. 1.3.1а, слева) или треугольник () (рис. 1.3.1б, слева). Трёхфаз­ная нагрузка (при­­ёмник) также может быть соединена по схеме звезда или треугольник (рис. 1.3.1а и б, справа). Электрические величины, относя­щи­е­­­ся к ге­не­ратору, будем сна­бжать ин­декса­ми из про­писных букв А, B и C, а ве­ли­чины, от­нося­щиеся к трёхфазному при­ём­ни­ку,  ин­дек­сами из строч­ных букв а, b и c.

Провода, соединяющие точки А и а, B и b, С и с, называют линейными (провод А, про­вод B и провод С), соот­ветственно и токи в них I_A, I_B, I_C называют линейными. Про­вод, соеди­ня­ющий точку N (нейтраль ге­­не­­ра­­то­ра) с точкой n (нейтралью приёмни­ка) (см. рис. 1.3.1а), назы­ва­ют нейтральным (иногда, ну­ле­­вым), а ток I_N в нём  током в ней­траль­ном проводе.

1.3.3. Схемы соединения фаз генератора и приёмника звездой. Для упрощения анализа процессов в трёхфазной цепи будем пренеб­регать сопротивлениями ли­ней­­ных и нейтрального проводов и считать ис­точ­ники напряжения (рис. 1.3.2, слева) с ЭДС E_A, E_B и E_C идеальными. Напряжения меж­ду линейными проводами называют линейными: U_AB, U_BC, U_CA, а между каждым из линейных проводов и ней­тра­льным  фазными: U_A, U_B, U_C генератора и U_a, U_b, U_c при­ёмника (второй индекс N или n опус­ка­ют). Условно положительные направления ЭДС, линейных и фазных напряжений и токов в четырёхпроводной схеме звездазвезда (YY) указаны на рис. 1.3.2.

При принятых допущениях фазные напряжения трёхфазного приёмника в схеме YY с четырьмя проводами (называемой соединением звез­да-звезда с ней­тральным (нулевым) проводом) равны фазным нап­ряже­ниям ге­не­ра­тора, т.е.

U_a = U_A, U_b = U_B, U_c = U_C,

а так называемое напряжение смещения нейтрали между точками n и N равно нулю (U_nN = 0).

Если сопротивления фаз приёмника одинаковые (см. рис. 1.3.2), т.е.

то нагрузка называется симметричной. В этом случае модули фазных токов одинаковые и равны соответствующим линейным токам:

I_a = I_b = I_c = I_ф = I_А = I_В = I_С = I_л = U_ф /Z_ф, (3.1)

где U_ф = U_a = U_b = U_c = U_A = U_B = U_C  модули фазных напряжений при­ём­ника и трёхфазного генератора.

Н а рис. 1.3.3а приведена век­торная диаграмма напряжений и токов трёхфазного приёмника при симметричной нагрузке, носящей активно-ём­ко­с­тный характер: .

Как напряжения так и токи I_a, I_b, I_c составляют сим­метричные звёзды, поэтому сумма ком­плексов фазных токов

I_N = I_a + I_b + I_c = 0, (3.2)

т.е. ток в нейтральном проводе равен нулю и нейтральный провод можно отключить. В результате получим эквивалентную трёхпроводную систему вклю­­чения при­ём­ника с генератором по схеме YY.

Для соедине­ния фаз приёмника звёздой (см. рис. 1.3.3а) очевидно соотно­шение между линейными и фазными токами:

I_ф = I_л. (3.3)

Выведем соотношения между линейными и фазными напряжениями для соединения приёмника и генератора по схеме YY (четырёхпроводная схема). Согласно 2ЗК имеем (см. рис. 1.3.2 и рис. 1.3.3а)

U_AB = U_A  U_B = U_ab = U_a  U_b,

U_BC = U_В  U_С = U_bc = U_b  U_c,

U_CA = U_C  U_A = U_ca = U_c U_a .

Если рассмотреть один из треугольников (рис. 1.3.3б), то легко вы­вести соотношение между линейным и фазным напряжениями, а именно:

(3.4)

т. е. фазное напряжение в раз меньше линейного и отстаёт от него по фазе на угол 30 (точнее, вектор напряжения U_a отстаёт по фазе от век­тора U_ab, вектор U_b  от вектора U_bc, а вектор U_c  от вектора U_ca,, см. рис. 1.3.3а).

В четырёхпроводной системе при несимметричной нагрузке, в кото­рой комплексные сопротивления фаз Z_a  Z_b  Z _c (на­п­ри­­мер, Z_a = jX_a, Z_b = R_b  jX_b и Z_c = = R_c  jX_c), фаз­ные напряжения приём­ни­ка равны соответствующим фазным напря­же­ни­ям генератора, т.е.

U_a = U_A, U_b = U_B, U_c = U_C,

а фа­зные токи различны и равны:

.

Ток в нейтральном проводе (рис. 1.3.4)

I_N = I_a + I_b + I_c. (3.5)

Пример 1.3.1. В схеме рис. 1.3.5а линейное напря­же­ние нагрузки U_л = 380 В. Модули соп­ротивлений фаз нагрузки равны Z_ф = 110 Ом, но имеют раз­лич­ный ха­рак­тер: Z_a = R, Z_b = jX_L, Z_с = jX_C. Найти токи и мощности фаз и приёмника, ток I_N в нейтраль­ном про­во­де, в том числе и при обрыве фазы «с».

Р ешение. 1. Фазные напряжения приёмника:

2. Комплексы токов фаз

3. Построим векторную диаграмму напряжений и токов приёмникa.

В н и м а н и е! При построении векторных диаграмм напряжений и токов в трёхфазной цепи комплексную плоскость поворачивают против хода часовой стрелки на 90 и направляют по оси действительных чисел (вертикально вверх) вектор напряжения U_a = U_a = U_ф фазы «а» (или комплекс U_ab фазы «ab» при соединении фаз приёмника по схеме треугольник). Векторы напряжений и вычерчивают в комплексной плоскости в соответствии с их аргументами.

В цепи ( см. её схему на рис. 1.3.5а) ток I_а совпадает по фазе с напряжением U_a, ток I_b отстаёт по фазе от напряжения U_b на 90, а ток I_c опережает по фазе напряжение U_с на 90 (рис. 1.3.5б).

4. Комплекс тока в нейтральном проводе равен сумме комплексов фазных токов, т.е.

I_N = I_а + I_b + I_c = =

= 2 + 4(-0,866) = -1,464 = A.

5. Комплекс тока в нейтральном проводе при обрыве фазы «с» равен сумме комплексов фазных токов I_а и I_b, т.е.

I_N = I_а + I_b =

= 2  2(-0,866) + j20,5 = 0,268 + j = 1,035e^j75 A.

6. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при обрыве фазы «с» пред­ставлена на рис. 1.3.5в.

7. Комплексные мощности фаз приёмника:

S_a = U_a = 220  2 = 440 BA (P_a = 440 Вт, Q_a = 0),

S_b = U_b =  = 440cos270^  j440sin270^ BA = j440 BA

(P_b = 0, Q_b = 440 вар).

S_с = U_с =  = 440cos270^ + j440sin270^ BA = j440 BA

(P_с = 0, Q_с = - 440 вар).

8. Комплексная мощность приёмника, фазы которого соединены звездой,

S_Y = S_a + S_b + S_с = 440 + j440  j440 = 440 BA (P_Y = 440 Вт, Q_Y = 0).

2 .7.3. Схема соединения фаз генератора и приёмника треугольником. Пусть обмотки трёхфазного генератора и трёхфазный приёмник сое­динены по схеме треугольник (схема соединения ) (рис. 1.3.6). Так как три ЭДС ге­­нератора равны по модулю и сдвинуты по фазе на 120 отно­сительно друг друга, то сумма трёх комплексов ЭДС в замкнутом треугольнике А-В-С-A равна ну­лю, т. е. E_AB + E_BC + E_CA = 0. Поэтому, если к зажимам А, В и С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать уравнительный ток.

Как видно из рис. 1.3.6, в такой схеме возможно только трёхпроводное сое­ди­­­не­ние трёхфазного приёмника с генератором, последний может быть со­е­­ди­­нён звездой. На этом же рисунке показаны условно положительные направления линей­ных и фазных напря­же­ний и то­ков в систе­ме соединения .

Фазные напряжения приёмника, фазы которого со­е­динёны треугольником, рав­ны соответствующим линей­ным нап­­ря­жениям генератора:

U_ab = U_AB, U_bc = U_BC,

U_ca = U_CA, U_ф = U_л, (3.6)

а модули фазных токов приёмника при симме­тричной нагрузке (Z_ab = Z_bc = Z_ca = Z_ф = R_ф + jX_ф):

I_ab = I_bc = I_ca = I_ф = . (3.7)

Согласно первому закону Кирхгофа для точек а, b и с (см. рис. 1.3.6) линейные токи:

I_A = I_ab  I_ca,

I_B = I_bc  I_ab,

I_C = I_ca  I_bc. (3.8)

При симметричной нагрузке комплексы как фаз­­­ных, так и линейных токов состав­ля­ют сим­­­­­мет­­рич­ные звёзды (рис. 1.3.7), а соот­но­ше­ние модулей между ними

I_л = I_ф, I_ф = , (3.9)

При несимметричной нагрузке фазные токи различны:

I_ab = I_bc = I_ca = (3.10)

где

Линейные токи рассчитывают по формулам (1.3.8). При несимметричной нагрузке ли­ней­ные токи могут быть как больше, так и мень­ше фазных токов нагрузки. Заметим, что сумма комплексов линейных токов всегда рав­на нулю, т.е.

I_A + I_B + I_C = 0. (3.11)

Пример 2.3.2. Трёхфазный потребитель энергии (рис. 1.3.8) с сопротивлениями фаз Z_ab = 10 Ом, Z_bc = 10 + j10 = , Z_ca = 10  j5 = Ом сое­динён треу­голь­­ни­ком и включён в трёхфазную сеть с линейным нап­­ряже­ни­ем U_л = 380 В. Оп­ре­делить фаз­ные и линейные токи, мощности фаз и приёмника и построить вектор­ную диаграмму токов и напряжений, в том числе и при обрыве фазы «bс».

Решение. 1. Комплексы фазных токов:

I_ab = = 38 A,

I_bc = А,

I_ca =

2. Комплексы линейных токов:

I_A = I_ab  I_ca = 38 

I_B = I_bc I_ab =

I_C = I_ca I_bc 

3. Комплексы фазных и линейных токов при обрыве фазы «bc»:

I_ab = 38 A, I_bc = 0, I_ca

I_A = I_ab  I_ca = I_B = I_bc I_ab = -I_ab = -38 A,

I_C = I_ca I_bc = I_ca

4. Комплексные мощности фаз:

S_ab = U_ab = 380 38 = 14440 BA (P_ab = 14,44 кВт, Q_ab = 0),

S_bc = U_bc = 380  = 10220 BA = 10,21 кBA

(P_bс = S_bсcos45 = 10,21  0,707 = 7,22 кВт, Q_bс = S_bсsin45 = 10,21  0,707 = 7,22 квар),

S_ca = U_ca = 380  = 12882 BA  12,88 кBA

(P_сa = S_сacos26,5 = 12,88  0,895 = 11,53 кВт,

Q_сa = -S_сasin26,5 = -12,88  0,446 = -5,75 квар),

5. Комплексная мощность, потребляемая приёмником,

S_∆ = S_ab + S_bc + S_ca = 14,44 + 10,21 + 12,88 =

= 14,44 + 7,22 + j7,22 + 11,53 - j5,75 = 33,19 + j1,47 = 33,22 кBA,

где активная мощность приёмника Р_∆ = 33,19 кВт и реактивная индуктивная мощность Q_∆ = 1,47 квар.

6. Векторные диаграммы напряжений и токов приемника энергии при нормальной работе и при обрыве фазы «bc» приведены на рис. 1.3.8б и на рис. 1.3.8в.

51