1.2. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.2

1.2.1. Основные определения. Токи, напряжения и ЭДС, значения кото­рых периодически изменя­ют­ся во времени по синусоидальному закону, называют сину­соида­ль­ны­ми (гар­мони­че­скими), не­редко (не совсем точно) переменными. По сра­в­не­нию с постоянным током синусоидальный имеет ряд пре­иму­­ществ, в частно­сти, производство, передача и использование электри­че­­ской энер­гии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока отно­си­тель­но просто преобразовывать форму нап­ряж­ения, а также создавать трёх­фазные системы напряжения. Синусо­идаль­ные токи широко используют в ра­дио-, связной и контрольно-изме­рительной технике и в других областях.

Синусоидальную величину, например напряжение, можно задать с по­мо­щью вещественной функции времени

, (2.1)

г де u или u(t)  мгновенное значение напряжения; U_m и – амплитуда и фа­­за синусоидальной функции, или в виде вре­мен­нóй (а) или векторной диаграммы в прямоугольной х-у (б) или в комплексной Re-Im (в) плоскостях (рис. 1.2.1).

При построении временнóй диаграммы за аргумент синусоидальной функ­­­ции, например напряжения u(t), принимают время t (чему соо­твет­ствуют период T и начальное время t₀ = _u/) или угол t (чему соответствуют период T = 2 и начальная фаза _u в радианах) (см. рис. 1.2.1а). Од­нако для боль­­шей наг­ляд­ности угол _u часто выражают в градусах. Тогда аргумент t также пе­ре­­во­дят в градусы (напомним, что 1 рад  57,3^). В этом случае период T составляет 360.

Представление синусоидальных фун­кций при помощи векторов, вращающихся в направлении против хода часовой стрелки, позволяет нагля­дно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях сину­со­идального тока, и широко используется при анализе электромагнитных процессов и выводе основных соотношений между электрическими величинами.

Векторная диаграмма (ВД)  это совокупность векторов ЭДС, напря­жения и то­ка, изобра­жа­ющие в плоскости синусоидально изменя­ющи­еся с од­ной и той же частотой электрические величины. В прямоугольной системе ко­ор­ди­нат (оси x и y) эти векторы будем обозначать соответ­ству­ющими прописными буквами, под­чёркну­ты­ми снизу: вектор амплитуды напряже­ния U_m, вектор амплитуды тока I_m (рис. 1.2.1б). Длина, напри­мер, век­­тора амплитуды тока I_m, должна быть равна (в соответ­ству­ющем масштабе) ампли­ту­де то­ка I_m, а угол наклона к оси абс­цисс  его начальной фа­зе _i. В этом слу­­чае проекция вектора тока I_m на ось ординат рав­на мгновен­но­му зна­че­­нию тока в момент времени t = 0, т. е. i(0) = I_msin_i, где _i – начальная фаза тока (см. рис. 1.2.1б).

Угол сдвига фаз  = _u  _i между напряжением и током на входе цепи или на неразвлетленном ее участке при вращении векторов ос­та­ёт­ся неиз­мен­ным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обы­ч­но изобра­жа­ют не враща­ющи­мися, а неподвижными для момента времени t = 0 (t = 0). Знак угла  на векторных диаграммах определяют по направлению его отсчета от вектора тока I_m к век­тору напряжения U_m: если ука­занное направление угла  совпадает с направ­ле­нием частоты  вращения векторов на ВД, то угол  берётся со знаком «+» (рис. 1.2.1б), если направ­ление отсчёта угла  сов­па­да­ет с направлением хода часовой стрелки, то угол  берётся со знаком «-».

Время, в течение которого вектор напряжения (тока) совершает один оборот, на­­­зывают периодом синусоидального напряжения (тока), а величину, обратную пери­­оду Т, определяющую число периодов в секунду – циклической частотой [Гц], т.е.

(2.2)

Частота промышленных сетей в России 50 Гц, в США и Япо­­нии – 60 Гц, корабель­ных сетей – 250 Гц, сетей летательных ап­п­­а­ратов – 400 Гц, ра­дио­­тех­ниче­ских уст­ройств – сотни кило- и мегагерц, гаджетов – единицы гигагерц.

Величину, определяющую число периодов в интер­вале вре­мени, равном 2, называют угловой частотой  [рад/с].

Соотношение между периодом T, угловой  и циклической f частотами:

(2.3)

1.2.2. Средние и действующие значения синусоидальных функций. Так как среднее значение гармонического тока за пери­од T рав­но нулю, то под средним зна­че­­ни­ем тока i(t) понима­ют сред­нее в ин­тер­вале времени T/2 (рис. 1.2.2а):

(2.4)

Таким образом, среднее значение син­у­соидального то­ка I_ср равно его ам­пли­туд­ному значе­нию I_m, умноженному на 2/.

Аналогично определяют средние значения напря­же­ния и ЭДС:

Дей­ствующий ток (напряжение)  это основной эксплуа­та­ционный параметр це­пей синусо­идаль­ного тока, так как тепловое действие то­ка и механическая сила взаимо­действия про­водников с токами пропор­ци­о­нальны квадрату тока (произведению токов). Шкалы боль­шин­ства изме­­­­ри­тельных приборов (ампер­мет­ров, вольтметров) проградуированы на эти зна­чения.

Действующее значение (действующий ток) это среднеквадратичное значение синусоидального тока за время Т (рис. 1.2.2б):

, (2.5)

т. е. действующий ток равен амплитуде, делённой на .

Аналогично определяют действующие зна­чения нап­ря­­же­ния u(t) и ЭДС e(t):

, .

1.2.3. Представление синусоидальных функций комплексными числами. От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изо­бра­жая векторы в ком­плексной пло­скости с осями координат: Re  ось дей­стви­­­тель­ных чисел и величин и Im  ось мнимых чисел и величин (рис. 1.2.1в). При этом век­торы напряжения U_m и тока I_m при t = 0 выражают экспоненциальными функциями с мнимым аргументом и называют комплексными амплитудами

и ,

где j = =  оператор поворота векторов против хода часовой стрелки на 90 при их умножении на j; U_m и I_m – модули, а _u и _i – аргу­менты ком­плексных амплитуд напряжения U_m и тока I_m при t = 0. Отметим, что модулями комплек­сных амплитуд напряжения и тока являются амплитуды U_m и I_m, а аргументами  начальные фазы _u и _i синусоидаль­ного на­пря­жения u(t) и тока i(t).

Л ю­бая точ­ка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала ко­ор­ди­нат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а  ко­­ор­ди­­ната точки по оси действительных чисел Re; b – координата то­ч­ки по оси мнимых чисел Im (рис. 1.2.3а).

Воспользовавшись формулой Эйлера

(2.6)

запишем координаты комплекса ампли­ту­ды напря­­жения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 1.2.3б):

(2.7)

Соотношение (2.7) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = = U_msin(t + _u) это проекция вращающегося вектора на мнимую ось, другими словами, это мнимая часть (без j) комп­ле­ксной амплитуды напряжения, так как

а косинусоидальная функция напряжения u(t) = U_mcos(t + _u) есть проекция вра­щающегося вектора на действительную ось или действитель­­ная часть ком­­­плексной амплитуды напряжения, так как

Например, u = 10sin(t + 45)  где В  комплексная амплитуда напряжения.

Поделив комплексную амплитуду напряжения U_m на , получим ком­­плекс действу­ю­щего значения напряжения или комплекс напряжения:

(2.8)

По аналогии записывают комплексы ЭДС и тока , например,

i = 14,1sin(314t  30) А  I = A.

Переход от комплексов к синусо­идаль­ным фун­кциям осуществляют следующим образом:

 u(t) = U sin(t + _u ), (2.9)

 i(t) = I_m sin(t + _i) и т. д.

1.2.4. Формы записи комплексного числа, формулы перехода из одной фо­рмы записи в другую и алгебра комплексных чисел. Аналитически ком­плекс­ное чи­с­ло А мо­ж­но представить в трёх формах: в алгеб­раиче­ской A = a + jb, три­­гоно­мет­ри­ческой A = А(cos_а + jsin_а) и показательной A = (рис. 1.2.3а), т.е.

А = = А(cos_a + jsin_a) = a + jb, (2.10)

где А = |А|= и _а = arctg  модуль и аргу­мент комплексного числа А; a = Re[А] и b = Im[А]  действитель­ная и мни­мая части комплексного чи­сла А.

Если модуль А = 1, получим формулу Эйлера:

.

В соответствии с (2.10) переход от алгебраической формы А = a  jb к показательной осуществляют по формуле:

А = , (2.11)

а от показательной формы к алгебраической  через тригонометрическую:

А = = = a  j b. (2.12)

Если действительная часть комплексного числа имеет знак ми­нус, напри­мер, комплекс А = a  jb, то его аргумент определяют по формуле

_а = arctg(b/a)  . (2.13)

Например,

,

Сложение и вычитание комплексных чисел проводят в алгебраической форме:

A  B = (a₁  ja₂)  (b₁  jb₂) = (a₁  b₁)  j(a₂  b₂). (2.14)

Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной фор­ме, на­пример , вначале их нужно преобразовать в алгеб­ра­ическую форму со­г­ласно (2.12), а затем использовать соотношение (2.14).

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной фор­ме:

 при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют:

; (2.15)

 при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают:

= . (2.16)

Если комплекс B = B = то умножение век­то­ра А на вектор B, т.е.

,

р авнозначно повороту вектора А на угол /2 против хода часовой стрелки, а умножение вектора А на оператор -j = рав­­нозначно его повороту на угол /2 по ходу часовой стрелки (см. вектор -jA на рис.1.2.4а).

Умножение же вектора A на оператор j² = 1 равнозначно повороту вектора А на угол  (см. рис.1.2.4а), т.е. получим противоположно напра­в­лен­ный вектор –А:

j²A = j .

Если комплексная величина С^* (рис. 1.2.4б) отличается от комплекса С только знаком мни­мой части, то её называют сопряжённым комплексом (это зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если

С = Се = С(cos_c + jsin_c) = a + jb, то

С^*= Се = С(cos_c  jsin_c) = a  jb. (2.17)

1.2.5. Методы анализа цепей синусоидального тока. В основе расчёта цепей синусоидального тока лежат первый и второй законы Кирхгофа, записанные для мгно­­­венных значений электрических ве­личин. Руководствуясь ком­по­нентными ура­вне­ниями элементов схе­мы цепи:

­

и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-диф­­­фе­рен­ци­аль­ных уравнений типа

причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусо­идально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте ) содержит два неизвестных параметра (амплиту­ду и начальную фазу).

Задача анализа линейной электрической цепи в ус­та­новившемся режиме при гармоническом воз­действии сводится к решению сис­темы линейных дифференци­аль­ных ура­внений с пос­тоян­­ными коэф­фициентами, правыми частями кото­рых яв­ляются гармони­ческие функции времени одной и той же частоты. Для решения этих уравнений используют метод векторных диаграмм (для анализа простейших схем обычно с одним источником питания), комплексный (симво­лический) метод и реже метод переменных энергетического состояния цепи.

1.2.5. Основы комплексного (символического) метода анализа сложных схем цепей гармонического тока. При ана­лизе уста­но­вившихся процессов в сложной электрической цепи гармони­ческие функ­ции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных зна­­чений токов и ЭДС источников энергии, к ал­геб­раиче­ским уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС.

При этом комплексными числами изображают не только гармонические ЭДС, токи и напряжения (см. п. 1.2,3 и п. 1.2.4), но и параметры пассивных элементов цепи: резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Решив систему комплексных алгеб­раических уравнений, составленных на базе законов Кирхгофа, метода узловых напряжений и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплек­сные амплитуды (или комплексы действующих значений) токов и напряжений ветвей цепи, а затем переходят к их временным аналогам

Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим ком­­плексным сопротивлением Z_Э  компле­к­сным числом, рав­ным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента, т.е.

= . (2.18)

При этом комплексное сопротивление (комплекс полного сопротивления):

 ветви с резистором: Z_R = U_R / I_R = R, т.е. вектор тока I_R в ветви с резистором совпадает по фазе с вектором напряжения U_R на его зажимах;

 ветви с индуктивной катушкой; Z_L = U_L / I_L = jX_L = X_L т.е. вектор тока I_L в ветви с индуктивной катушкой отстает по фазе от вектора напряжения U_L на его зажимах на угол, равный /2;

 ветви с конденсатором: Z_С = U_С / I_С = -jX_С = X_С т.е. вектор тока I_С в ветви с конденсатором опережает по фазе вектор напряжения U_С на его зажимах на угол, равный /2;

 RL-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RL-ветви Z = , а его аргумент  = _u  _i = arctg(X_L/R) > 0 определяет фазовый угол отста­ва­ния вектора тока I от вектора напряжения U_L на зажимах RL-ветви;

 RС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RС-ветви Z = , а его аргумент  = _u  _i = - arctg(X_С/R) < 0 определяет фазовый угол опе­режения вектором тока I вектора напряжения U на зажимах RС-ветви;

 RLС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RLС-ветви Z = , а аргумент  = _u  _i = arctg[(X_L X_C)/R] определяет фазовый сдвиг между векторами напряжения U и тока I на зажимах ветви: при X_L > X_C вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол , при X_L < X_C вектор тока опережает по фазе вектор напряжения на угол , а при X_L = X_C вектор тока совпадает по направлению в комплексной плоскости с вектором напряжения.

Величину, обратную ком­плекс­ному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC-ветви, т.е.

(2.19)

где g = и = b_L  b_C  активная и реак­тив­­ная проводи­мо­сти цепи; b_L = и b_C =  индуктивная и ёмкостная про­во­ди­мости RLC-ветви.

Итак, комплексная (полная) проводимость RLC-цепи

Y = g  j(b_L  b_C) = g  jb , (2.20)

где и  = arctg  модуль и аргумент ком­плексной проводимости цепи.

1.2.6. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме. Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных на­п­рав­лений тока и напряжения выражение закона Ома имеет вид

, (2.21)

где Z = Ze^j  комплек­с сопротивления ветви.

Если  > 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при  < 0 ток опережает по фазе напряжение.

Так как полная комплексная прово­димость Y = 1/Z, то ток

I = UY = UYe . (2.22)

Запишем обоб­щён­ный закон Ома для ветви с n последовательно соединёнными источниками напря­жения и пас­сивными элементами:

(2.23)

где Е_k и U  комплекс k-й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c нап­ра­влением тока ветви, а знак минус  при их противоположном направле­ни­и.

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) гласит, что в лю­бом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраи­ческая сумма комплексов токов равна нулю, т. е.

. (2.24)

Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со зна­ком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со зна­ком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в лю­бом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряже­ний на пассивных элементах этого контура, т.е.

(2.25)

где (n) и (m)  число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре.

Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных эле­ментах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпа­да­ют с нап­равлением обхода контура.

Пример 1.2.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхго­фа относи­тельно неизвестных компле­к­­сов то­ков ветвей (I₁, I₂ и I₃) схе­мы цепи (рис. 1.2.5).

Решение. В соответствии с алгорит­мом ме­тода зако­нов Кирх­го­фа:

1. Выбираем напра­в­­ле­ния ком­пле­к­сов то­ков ветвей и обозна­чаем их стрелками на схеме (см. рис. 1.2.5).

2 . Уто­чняем чис­ло узлов (У = 2) и вет­вей (В = 3) схемы цепи с неиз­вест­ными тока­ми.

3. Состав­ляем уравнение по 1ЗК для узла 1:

4. Выбираем независимые кон­ту­ры и нап­равление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем уп­раж­нении имеется два независи­мых контура (левый и средний).

Внимание! Ветвь с за­данным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитыва­ется.

Запишем уравнения по 2ЗК (для неза­виси­мых контуров):

Пример 1.2.2. Рас­считать схему цепи с одним источником напряжения (рис. 1.2.6a) со смешанным соединением ветвей методов преобразования (свертывания) схемы и с помощью правила делителя тока. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения, комплекс которого U.

Р ешение. 1. Запишем комплексы сопротивлений ветвей:

, ,

.

2. Комплекс входного сопротивления Z = Z₁ + .

3. Комплекс входного тока цепи I₁ = .

4. Компле­ксы то­ков ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока:

5. Комплексы напряжения ветвей:

Век­торн­ая диаграмма то­ков и нап­ряжений це­пи представ­лен­а на рис. 1.2.6б, при этом

1.2.7. Комплексная мощность цепи синусоидального тока. Комплексной мощ­­­­­ностью цепи на­зывают комплексное число S, мо­дуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент  углу сдвига фаз  = _u  _i между током и напряжением на её входе, т.е.

S = Se ^j = UIe ^{j(u  i)} = Ue ^juIe^i = U , ( 2.26)

т.е. комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической

S = Scos + jSsin,

устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна ак­тив­ной мощности цепи

Р = Re[S] = Scos. (2.27)

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реак­тив­ную мощность цепи

Q = Im[S] = Ssin . (2.28)

С учётом (2.27) и (2.28) запишем выражение (2.26) следу­ющим образом:

S = P + jQ = . (2.29)

Итак, комплексная мощность S пред­ставляет собой ком­плекс­ное число, действительная часть которо­го равна активной мощ­ности цепи P, а мнимая  реактивной Q, причём если перед сим­волом j стоит знак «плюс», то это реактивная индуктивная мощность +Q_L, а если знак «минус»  реактивная ёмкостная мощность Q_С.

Пример 1.2.3. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплексы тока и напряжения на зажимах которой U = 10e^j30 B и I = 2e^j45A.

Решение. 1. Комплексно-сопряжённый ток = 2e^j45A.

2. Комплексная мощность S = U = 10e^j302e^j45 = 20e^j75 ВА.

3. Активная мощность Р = Scos = 20cos75  5,2 Вт.

4. Реактивная мощность Q = Q_L = Ssin = 20sin75  19,3 вар.

1.2.8. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Из закона сохранения энергии следует, что сум­ма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, дол­­жна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми при­ём­никами энергии.

= , (2.30)

где n и m  число источников и приёмников энергии в цепи.

Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а элек­три­че­ская энергия.

Уравнение (2.30) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, актив­ных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.30):

. (2.31)

Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей це­пи представляют в следующем виде:

(2.32)

при этом слагаемое, стоящие в левой части (2.32), берется со знаком «плюс», если совпадают направления тока I_k и ЭДС Е_k источника напряжения. В противном слу­чае эти слагаемые берут со знаком «минус».

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

 активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна ак­тив­­ной мощности всех её потребителей (расходуемая в резистив­ных элементах цепи):

(2.33)

 реактивная мощность всех источников равна реактивной мощ­ности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её пот­реби­телями):

(2.34)

где R_k и jХ_k = jХ_Lk  jХ_Сk  действительная и мнимая части комплексного сопротивления k-го пассивного элемента.

П ример 1.2.4. Для цепи (рис. 1.2.7) с параметрами: U = 10e^j45 B, jX_L1 = j2,5 Ом, R₂ = 4 Ом, jX_L2 = j3 Ом, jX_C3 = j5 Ом рассчитать комплексы напряжений и токов ветвей. Результаты расчёта про­верить посредством схождения баланса мощностей.

Решение. 1. Определим комплекс­ы сопротивлений ветвей:

2. Комплекс входного сопротивления

Z = Z₁ +

3. Комплекс входного тока I = I₁ = U/Z = 20e^j45/5 = 4e^j45 A.

4. Компле­ксы то­ков ветвей разветвления:

5. Комплексы напряжений ветвей:

6. Комплексная мощность, отдаваемая источником,

должна быть равна комплексной мощности, потребляемой приёмниками:

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей с допустимой погре­шностью вы­пол­нено. При этом активная мощность источника энергии и приёмников Р_ист  Р_пр = 80 Вт, а реактивные мощности Q_ист  Q_пр = 0.