
- •Введение
- •1. Матрицы и действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •6. Решение линейных систем по формулам Крамера
- •7. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
- •9. Однородные системы
- •10. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Индивидуальное задание
- •Приложение
- •Литература
3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Матрица
называется
обратной
к квадратной матрице
,
если
,
где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица .
Обратная матрица
существует только в том случае, если
,
и ее элементы находятся по формуле
,
где
- алгебраическое дополнение к элементу
.
Внимание! Алгебраические дополнения, которые вычисляются к элементам строки, записываются в столбец.
Если
,
то матрица
называется вырожденной,
в противном случае невырожденной,
т.е. обратная матрица существует только
для невырожденных матриц.
Обозначается
обратная матрица
,
т.е.
,
при этом ее
определитель
.
Для невырожденных матриц и выполнены соотношения
,
.
Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:
или
.
Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, они решаются разными способами.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
,
(5)
.
(6)
►Пример 5. Найти
решение матричного уравнения
,
то есть определить матрицу
,
если
;
.
Решение.
Решение в матричном
виде определяется формулой (5), т.е.
,
если матрица
невырожденная. Вычислим определитель
матрицы
:
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную
матрицу
и
найдем неизвестную матрицу
.
,
При вычислениях
множитель
рекомендуем оставлять перед матрицей
и проводить умножение полученной матрицы
на него на последнем этапе вычислений.
►Пример 6.
Найти решение матричного уравнения
,
если
.
Решение.
Формулой (5)
воспользоваться нельзя, так как матрица
не квадратная, следовательно, для нее
не существует обратной матрицы. Умножим
обе части уравнения на транспонированную
матрицу
слева,
получаем
.
Матрица
− квадратная и, если ее определитель
не равен нулю, то решение заданного
уравнения имеет вид
.
Проведем вычисления:
.
Определитель
полученной матрицы
.
Следовательно, обратная матрица к
матрице
существует, и можно найти матрицу
:.
,
,
.
◄
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.