|- (A → B) → ((B → C) → (A → C))

Разъединение посылок:

A B→C |- A→(B→C)

По теореме дедукции и правилу m.p. правило соединения посылок равносильно Теореме 6(а): |- (A → (B → C)) → (A B → C).

23. Правила перестановки и соединения посылок.

Правило перестановки для формул: A → (B → C) |- B → (A → C)

Правило перестановки для теорем:

Если доказана теорема |- A → (B → C), то доказана теорема |- B → (A → C).

По теореме дедукции и правилу m.p. правило перестановки равносильно Теореме 4:

|- (A → (B → C)) → (B → (A → C)).

Соединения посылок:

(A → (B → C)) |- A B→C

24. Полнота и непротиворечивость аксиоматической теории (определения). Независимость системы аксиом.

ФАТ называется полной, если любая тавтология выводима из аксиом ФАТ с помощью правил вывода данной теории (т.е. является теоремой теории).

ФАТ называется непротиворечивой, если не существует такой формулы Φ, чтобы в ФАТ могли были доказаны теоремы |- Φ и |- !Φ.

Система аксиом ФАТ называется независимой, если не существует аксиомы, выводимой из остальных.

25. Определение предиката. Предметное множество и предметные переменные. Местность предиката.

Функция P(x1, x2, . . . , xn) от n переменных называется предикатом, если

(x1, x2, ... , xn) P(x1, x2, . . . , xn) {И,Л}

Переменные (x1, x2, … , xn) предиката P(x1, x2, . . . , xn) называются предметными переменными, каждая из них принимает свои значения из некоторого предметного множества Mi, i = 1, 2, . . . , n

Число переменных предиката (n = 0, 1, 2 ...) называется местностью предиката.

27. Интерпретация формулы. Равносильность формул в данной интерпретации.

Формула – слово, составленное по следующим правилам:

1) Пусть xi1, xi2, ..., xik – предметные переменные (индексы переменных могут быть одинаковыми), тогда P(xi1, xi2, ..., xik) – атомарная формула, где все переменные называются свободными.

2) Пусть доказано, что A(x) – формула, где x – её свободная переменная (остальные переменные не указаны), тогда слова ( x)A(x), ( x)A(x) – формулы, в которых переменная x называется связанной, а сама формула A(x) называется областью действия квантора.

3)Пусть доказано, что A – формула со связанными и свободными переменными, тогда слово (A) – формула, в которой все связанные переменные A остались связанными, а свободные – свободными.

4)Пусть доказано, что A, B – формулы со связанными и свободными переменными, и нет такой переменной xi которая связана в A и свободна в B (или свободна в A и связана в B). Тогда слова (A B), (A B), (A → B),

(A~B) – формулы, в которых все связанные переменные A, B остались связанными, а свободные – свободными

28. Равносильность формул на множестве и в логике предикатов. Перенос квантора через отрицание.

Равносильность на предметных множествах:

Две формулы Φ1, Φ2 логики предикатов равносильны на конкретных предметных множествах M1, M2, ... , Mn их предметных переменных, если они равносильны на любых интерпретациях, заданных на M1, M2, . . . , Mn

Равносильность в логике предикатов:

Две формулы Φ1, Φ2 логики предикатов равносильны в в логике предикатов, если они равносильны на любых предметных множествах M1, M2, ... , Mn их предметных переменных.

Перенос квантора через отрицание:

Пусть x – свободная переменная формулы P(x) (остальные переменные не указаны), тогда

!(( x)P(x)) = ( x)!P(x), !(( x)P(x)) = ( x)!P(x).

29. Правила вынесения квантора за скобки.

Пусть x – свободная переменная формул P(x), Q(x) (остальные переменные

Пусть x – свободная переменная формулы P(x) (остальные переменные не указаны), а формула Q не зависит от x, тогда:

30. Приведенная и нормальная формы формул (определение).

Формула находится в приведённой форме, если она булева и знаки отрицания стоят только над символами предикатов.

Формула находится в нормальной форме, если она приведённая и (или) не содержит кванторов, или все кванторы находятся впереди формулы.

31. Выполнимость и общезначимость формулы логики предикатов.

Формула логики предикатов называется выполнимой в данной интерпретации, если существует набор значений свободных переменных, на которых она принимает значение И (истина). Формула выполнима в логике предикатов, если существует интерпретация, в которой она выполнима.

Формула логики предикатов называется истинной в данной интерпретации, если она принимает значение И (истина) на всех наборах значений свободных переменных. Формула общезначима, она истинна в любой интерпретации.

32. Проблема разрешимости в логике предикатов. Теорема ЧерчаТьюринга.

Проблема:

Существует ли процедура, которая за конечное число шагов позволяет выяснить, является ли произвольная формула логики предикатов общезначимой, или нет?

Теорема Черча-Тьюринга:

Не существует алгоритма, который для произвольной формулы логики предикатов устанавливал бы, общезначима она, или нет.