9. Представление эквиваленции и импликации булевыми формулами. ! - инверсия

11. Тавтология и противоречие. Свойства констант (6 законов).

Формула называется тавтологией, или тождественно истинной, если задаваемая ею функция истинна при всех значениях высказывательных переменных. Формула называется противоречием, или тождественно ложной, если задаваемая ею функция ложна при всех значениях высказывательных переменных.

Обозначение: Φ = И – тавтология; Φ = Л – противоречие.

констант

1.А А = Л

2.А А = И

3.А Л = А

4.А И = А

5.А Л = Л

6.А И = ИСвойства

12 Двойственная формула. Принцип двойственности.

Формула Ф* называется двойственной по отношению к булевой формуле Ф, если:

1)все вхождения дизъюнкции заменить на конъюнкцию

2)все вхождения конъюнкции заменить на дизъюнкцию

Принцип двойственности: две формулы равносильны, т.е. Φ1 = Φ2 тогда и только тогда, когда равносильны двойственные к ним.

13. Проблема разрешимости в логике высказываний.

Проблема разрешимости:

Существует ли процедура, которая за конечное число шагов позволяет выяснить, является ли произвольная формула логики высказываний тавтологией, или нет?

Ответ:

Такая процедура существует, т.е. проблема разрешимости алгоритмически разрешима.

14. Определение КНФ. Как проверить, что формула является тавтологией с помощью КНФ?

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – конъюнкция конечного числа элементарных дизъюнкций.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция конечного числа переменных и (или) их отрицаний.

Любая формула логики высказываний может быть записана в форме КНФ, которая ей равносильна.

Если формула Ф, приведенная к КНФ, в каждой элементарной дизъюнкции содержит некоторую переменную и ее отрицание, то она является тавтологией.

Алгоритм приведения к КНФ:

1)привести формулу к виду ДНФ

2)построить двойственную ей формулу

3)найти ДНФ полученной формулы

4)Построить двойственную к полученной формуле.

15. Определение ДНФ. Как проверить, что формула является противоречием с помощью ДНФ?

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция конечного числа элементарных конъюнкций.

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция конечного числа переменных и (или) их отрицаний.

Любая формула логики высказываний может быть записана в форме ДНФ, которая ей равносильна.

Если формула Ф, приведенная к ДНФ, в каждой элементарной конъюнкции содержит некоторую переменную и ее отрицание, то она является противоречием.

Алгоритм приведения к ДНФ:

1)Привести формулу к булевой форме 2)Спустить отрицания до переменных, используя законы де Моргана.

3)Раскрыть скобки, используя закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции

16. Правило резолюций. Вывод формулы по правилу резолюций в логике высказываний (определение)

Правило резолюций: (A B), (!A C)|- B C

Вывод формулы по правилу резолюций:

Пусть дано множество элементарных дизьюнкций S = {S1, S2, . . . , Sp} (гипотез). Говорят, что из S выводится тождественная ложь (Л) по правилу резолюций, если существует список вывода (доказательство) D1, D2, . . . , Dn, удовлетворяющий требованиям:

резолюций.

17. Алгоритм метода резолюций в логике высказываний

Алгоритм:

Дана клауза P1, P2, ... , Pn |- D, где P1,P2, . . . , Pn, D – формулы логики высказываний.

1)Записать клаузу в форме конъюнктивного противоречия

P1, P2, ... , Pn, !D |- Л

2)Привести каждую гипотезу к КНФ в форме предложения и подставить в список гипотез слева.

3)Вывести Л из полученного множества элементарных дизьюнкций по правилу резолюций.

18.Как задать аксиоматическую теорию (4 пункта).

1)Задан алфавит A символов

2)Определено понятие формулы над алфавитом A

3)Из множества всех формул, выделена группа формул – аксиом АТ

4) Заданы правила вывода формулы в данной теории

19.Определение вывода формулы в аксиоматической теории.

Пусть дано множество формул P = {P1, P2, ... , Pm} (гипотез).

Говорят, что из P выводится формула D по правилам вывода АТ, если существует список вывода (доказательство):

3)

4) Di , i < n выводится из предыдущих формул в списке вывода по правилам вывода данной теории

В этом случае клауза P1, P2, ... , Pn |- D считается доказанной в АТ

20.Правила подстановки и m.p.

Правило подстановки:

Любую букву, входящую в аксиому (теорему) ФАТ можно заменить формулой и получить новую теорему ФАТ.

Правило отделения (modus ponens (m.p.)):

Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия (заключения) импликации.

A, A→B |- B

21.Теорема дедукции.

Теорема дедукции:

Пусть Г-список гипотез, А, В - формулы. Если Г, А|- В тогда Г |- A→B.

22. Правила силлогизма и разъединения посылок.

Правило силлогизма для формул: A→B, B→C |- A C Правило силлогизма для теорем:

Если доказаны теоремы |- A → B, |- B → C, то доказана теорема |- A → C.

По теореме дедукции и правилу m.p. правило силлогизма равносильно Теореме 3: