86-1

41

>>[X,Y] = meshgrid ( [-1:1, 1:3] ) ;

>>Z = (X.^2 + Y.^2 – 3).^2 + (X.^2 + Y.^2 – 2*X – 3).^2 + 1 ;

>>plot3 (X,Y,Z)

После построения трехмерного графика выполняем поиск минимума. В m-файле программируем целевую функцию

function f=Fxy(x) f=(x(1).^2+x(2).^2-3).^2+(x(1).^2+x(2).^2+2*x(1)-3).^2+1; end

Решаем поставленную задачу в окне команд

>> [xmin, minf] = fminsearch (@ Fxy, [-1; 1] )

Результаты поиска xmin =

0.0000

1.7320

minf = 1.0000

Как видно, результаты решения задачи точные. Предлагается проверить их аналитически.

7.5.ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1.Что такое точка перегиба, как ее определить?

2.В чем состоит свойство унимодальности функции?

3.Как проверить, является ли функция выпуклой или вогнутой?

4.Какие методы используются для безусловного поиска глобального минимума функции одной переменной?

5.Какие методы используются для безусловного поиска локального минимума унимодальной функции?

7.6.ЗАДАНИЕ

1.Для индивидуального задания найти и вывести на печать координату и минимальное значение функции f(x) на [a; b].

2.Найти и вывести на печать координаты и минимальное значение функции двух переменных. Поиск начать с точки М0 (х0, у0).

42

Лабораторная работа № 8

Тема: «Условная оптимизация. Линейноепрограммирование»

8.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представление о подходе к решению линейных оптимизационных задач; выработать навыки работы в среде программы МАТLAB.

8.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру, и продемонстрируйте их преподавателю.

2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

•титульный лист;

•исходные данные варианта;

•решение задачи;

•результаты решения задачи.

8.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Под задачами математического программирования обычно понимают задачи поиска минимума линейной или квадратичной функции в многогранном множестве. Эти задачи называются соответственно задачами линейного и квадратичного программирования.

8.3.1. Линейное программирование

Для решения задачи линейного программирования в MATLAB используется функция linprog. Область поиска для нее задается следующими условиями:

•A x ≤ b – линейные неравенства (A – матрица, b – вектор);

•Aeq x = beq – линейные уравнения (Aeq – матрица, beq –

вектор);

• lb ≤ x ≤ ub – ограничения на координаты (lb, ub – два вектора). Целевая функция f в linprog задастся вектором коэффициентов f.

х = linprog (f, A, b, Aeq, beq);

x = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

x = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0);

44

моделью является задача линейного программирования (ЗЛП) в стандартной форме – найти x1 и x2 такие, что функция f(x) = 10x1 + 20x2 достигает максимума при следующих ограничениях:

5x1 + 25x2 ≤500,

0.5x1 ≤15,

100x1 + 250x2 ≤ 7500,

10x1 +10x2 ≤ 400, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Для обращения к функции linprog подготовим входную информацию:

•вектор коэффициентов целевой функции f= [10; 20];

•матрицу коэффициентов системы линейных неравенств A =[5 25;

0.50; 100 250; 10 10];

•вектор свободных членов системы линейных неравенств b = [500; 15; 7500; 400];

•вектор нижних границ для переменных lb= zeros(2,1).

Функция linprog ищет минимум, а в постановке задачи идет речь о максимуме, поэтому необходимо либо сменить знак коэффициентов целевой функции f, либо поставить знак минус перед именем этого вектора:

[x, fval] = linprog (-f, A, b, [ ], [ ], lb).

Получим следующие результаты:

х = [25 15] fval = -550

Таким образом, найден оптимальный план мебельного производства: надо выпустить 25 стульев и 15 столов, при этом получится доход 550 р. План получился целочисленным, однако в общем случае решение может оказаться и вещественным. Если целочисленность решения — обязательное требование, его надо включать в постановку задачи, однако в MATLAB нет специальных функций для решения общей задачи целочисленного линейного программирования.

8.4.ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1.Дать пояснение к постановке и математической модель задачи линейного программирования (ЗЛП).

2.Дать определение общей и канонической формы записи ЗЛП.

45

3.Что такое допустимое решение (план)?

4.Что представляет собой графический метод решения ЗЛП?

8.5.ЗАДАНИЕ

1.Для индивидуального задания составить математическую модель задачи. Подготовить данные для решения.

2.Найти и вывести решение задачи. Объяснить полученный результат.

Библиографический список

Основная литература

1. Петровский, В. С. Научные исследования в автоматизации [Текст] : учеб. пособие / В. С. Петровский, С. И. Поляков, Д. А. Глухов ; ВГЛТА. – Воронеж, 2011. – 240 с. – Электронная версия в ЭБС ВГЛТА.

Дополнительная литература

2.Ануфриев, И. Е. MATLAB 7 [Текст] / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова. – СПб. : БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

3.Дьяконов, В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании [Текст] / В. П. Дьяконов. – М. : СОЛОН-Пресс, 2005. – 576 с.

1) 4,8 = 2,19; 67 = 0,857.

2)10,8441; δ = 0,5%.

53) 0,288.

4)X = (am−+b)nc , где a = 27,16(±0,006), b = 5,03(±0,01),

c = 3,6(±0,02), m =12,375(±0,004), n =86,2(±0,05).

c = 38,17(±0,002), m = 3,6(±0,04), d = 9,14(±0,005).

1)22 = 4,69; 221 = 0,095.

2)24,5643; δ = 0,1%.

1)9,8 = 3,13; 2315 =1,53.

2)8,3445(±0,0022).

83) 0,576.

4)X = m a −b , где a = 9,542(±0,001), b = 3,128(±0,002), c +d

c = 0,172(±0,001), m = 2,8(±0,03), d = 5,4(±0,02).