86-1
.pdf21
Лабораторная работа № 4
Тема: Численное дифференцирование
4.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Сформировать у студентов представления о численном дифференцировании, привить умения составлять и применять формулы численного дифференцирования, оценивать их погрешности, дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов.
4.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.
2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
•титульный лист;
•исходные данные варианта;
•решение задачи;
•результаты решения задачи.
4.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Пример 4.1. Рассмотрим функцию f(x), заданную таблично (пример лабораторной работы № 3):
х |
у |
0,43 |
1,6359 |
|
|
0,48 |
1,7323 |
|
|
0,55 |
1,8768 |
|
|
0,62 |
2,0304 |
|
|
0,7 |
2,2284 |
|
|
0,75 |
2,3597 |
|
|
Интерполяционный многочлен имеет вид:
P5 (x) = −154,9063x5 + 444,9904x4 −511,6367x3 + 291,7494x2 −80,6863x +10,0997.
Вычислим значения производной этой функции на отрезке [0,43; 0,75]:
>>dx=0.01;
>>x=0.43:dx:0.75;
22
>>yf=-154.9063*x.^5+444.9904*x.^4-511.6367*x.^3+291.7494*x.^2- 80.6863*x+10.099;
>>N=length(x);
>>m=1:N-1;
>>df(m)=(yf(m+1)-yf(m))/dx;
>>plot(df)
Рис. 4.1. График производной.
4.4.ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1.Дайте определение производной функции.
2.Как выглядит приближенная формула численного дифференцирования?
3.Что такое аппроксимация?
4.Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов.
5.Формула численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Лагранжа.
23
6.Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа.
7.Формула численного дифференцирования на основе интерполяционных формул Ньютона.
8.Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Ньютона.
9.Как влияет на точность численного дифференцирования величина
шага h?
4.5.ЗАДАНИЕ
1.Построить интерполяционный многочлен. Использовать варианты и результаты лабораторной работы № 3.
2.Найти приближенные значения производной функции на интервале интерполирования.
3.Построить графики функции и ее производной.
24
Лабораторная работа № 5
Тема: Методы обработки экспериментальных данных
5.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Сформировать у студентов представление о подходе к решению задачи о среднеквадратичном приближении функции, заданной таблично; привить знания о методах аппроксимации элементарными функциями; выработать навыки работы в среде программы МАТLAB.
5.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.
2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
•титульный лист;
•исходные данные варианта;
•решение задачи;
•результаты решения задачи.
5.3.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
5.3.1. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f(x) (табл. 5.1).
Таблица 5.1.
Экспериментальные данные
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
f(x) |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Требуется найти формулу, выражающую данную зависимость аналитически.
Один из подходов к решению данной задачи состоит в построении интерполяционного полинома, значения которого будут в точках x1, x2, …, xn совпадать с соответствующими значениями f(x) из табл. 5.1. Однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадения характеров исходной и интерполирующей функций.
25
Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции: найти функцию заданного вида
y = F (x) , |
(5.1) |
которая в точках X=(x1, x2, …, xn)T принимает значения как можно более близкие к табличным значениям Y=(y1, y2, …, yn)T.
Следует отметить, что строгая функциональная зависимость для табл. 5.1 наблюдается редко, т. к. каждая из входящих в нее величин может зависеть от многих случайных факторов, поэтому обычно используют простые по виду аналитические функции.
Рассмотрим один из наиболее распространенных способов нахождения функции F(x). Предположим, что приближающая функция F(x) в точках x1, x2, …, xn имеет значения
|
|
= ( |
|
1, |
|
2 ,K, |
|
n )T |
(5.2) |
Y |
y |
y |
y |
Требование близости табличных значений Y и значений (5.2) можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функции f(x) из табл. 5.1 и совокупность значений (5.2) как координаты двух точек n-мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть переформулирована следующим образом: найти такую функцию F(x) заданного вида, чтобы расстояние между точками Y и Y было наименьшим. Воспользовавшись нормой Евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина
|
Y − |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
была наименьшей. Это равносильно следующему: сумма квадратов |
|
||||||||||||||||||||
( y |
− |
|
|
)2 |
+( y |
|
− |
|
|
)2 |
+K+( y |
|
− |
|
|
)2 |
(5.4) |
||||
y |
2 |
y |
2 |
n |
y |
n |
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
должна быть наименьшей.
Окончательно задача приближения функции f(x) теперь формулируется следующим образом: для функции f(x), заданной табл. 5.1, найти функцию F(x) определенного вида такую, чтобы сумма квадратов (5.4) была наименьшей.
Эта задача называется приближением функции методом наименьших квадратов. В качестве приближающих функций в зависимости от характера
26
точечного графика функции f(x) часто используют функции, представленные в табл. 5.2. (здесь a, b, m − неизвестные параметры)
Таблица 6.2.
Приближающие функции одной переменной
y = ax +b |
y = |
1 |
|
y = ax2 +bx + m |
||||
ax +b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
y = axm |
y = a ln x +b |
y = a |
1 |
+b |
||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
y = aemx |
y = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится к отысканию значений параметров.
Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции, зависящей от трех параметров:
y = F (x,a,b,c) |
(5.5) |
Имеем
F (xi ,a,b,c) = |
|
i |
(5.6) |
y |
Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f(x) и F(x) имеет вид:
n |
|
∑( yi −F (xi ,a,b,c))2 = Φ(a,b,c). |
(5.7) |
i=1
Сумма является функцией Φ(a,b,c) трех переменных. Используя
необходимое условие экстремума:
∂∂Φa = 0, ∂∂Φb = 0, ∂∂Φc = 0,
получаем систему уравнений
27
n |
|
|
∑[ yi −F (xi ,a,b,c)] Fa' (xi ,a,b,c) = 0, |
|
|
i=1 |
|
|
n |
|
|
∑[ yi −F (xi ,a,b,c)] Fb' |
(xi ,a,b,c) = 0, |
(5.8) |
i=1 |
|
|
n |
|
|
∑[ yi −F (xi ,a,b,c)] Fc' (xi ,a,b,c) = 0. |
|
|
i=1 |
|
|
Решив систему (5.8) |
относительно |
параметров a, b, c, получаем |
конкретный |
вид функции F(x, a, b, c). Изменение количества параметров не |
|
приведет к |
изменению сути самого подхода, а выразится в изменении |
|
количества уравнений в системе (5.8). |
|
|
Значения разностей |
|
|
yi − F (xi ,a,b,c) =εi |
(5.9) |
|
называют отклонениями измеренных значений от вычисленных по формуле
(5.5).
Сумма квадратов отклонений
n |
|
σ = ∑εi2 |
(5.10) |
i
в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции должна быть наименьшей.
Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого (5.10) имеет наименьшее значение.
5.3.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
Ищем приближающую функцию в виде: |
|
||||
|
F (x,a,b) = ax + b . |
(5.11) |
|||
Находим частные производные |
|
||||
|
∂F |
= x, |
∂F |
=1. |
(5.12) |
|
∂a |
|
|||
|
|
∂b |
|
||
Составляем систему вида (5.8)
∑( yi −axi −b)xi = 0,
∑( yi −axi −b) = 0.
Здесь и далее сумма ведется по переменной i=1, 2, …, n. Далее имеем
28
∑xi yi −a∑xi2 −b∑xi = 0, |
(5.13) |
||||||||||||||||
∑yi −a∑xi −bn) = 0. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Разделив каждое уравнение (5.13) на n, получаем |
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
∑xi |
|
a + |
|
|
|
∑xi b = |
|
∑xi yi , |
||||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
∑xi |
|
a + b = |
1 |
∑yi . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем обозначения |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
∑xi = M x , |
1 |
|
∑yi = M y , |
|
||||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
∑xi yi = M xy , |
|
|
1 |
∑xi2 |
= M x2 . |
|||||||||||
|
n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
Тогда последняя система будет иметь вид
M x2 a +M x b = M xy , M x a + b = M y ,
или в матричной форме
M x2M x
Откуда
M x2M x
M |
x |
a |
|
M |
xy |
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|||
1 |
|
|
|
|
M y |
|
|||
|
b |
|
|
|
|||||
M |
x |
a |
= |
M |
x |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
M x |
|
||
|
b |
|
|
|
|||||
M |
|
−1 M |
|
|
|
|
x |
|
|
xy |
(5.14) |
|
|
|
|
. |
|
1 |
|
|
M y |
|
|
Вычислив значения параметров a, конкретные значения и, следовательно, (5.11).
b в соответствии с (5.14), получаем конкретный вид линейной функции
5.3.3. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
Степенная функция (геометрическая регрессия)
F (x,a,m) = axm |
(5.15) |
Предполагая, что в табл. 5.1 все значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем (5.15), при условии, что a > 0:
ln F = ln a + m ln x . |
(5.16) |
29
Так как функция F является приближающей для функции f, функция ln F будет приближающей для функции ln f . Введем новую переменную u = ln x ,
тогда, как следует из (5.16), ln F будет функцией от u: Φ(u). |
|
Обозначим |
|
m = A, ln a = B , |
(5.17) |
тогда (5.16) принимает вид |
|
Φ(u, A, B) = Au + B |
(5.18) |
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
На практике для нахождения приближающей функции в виде степенной используют следующий алгоритм:
1)составляют по заданной табл. 5.1. новую таблицу, прологарифмировав значения x, y в исходной таблице;
2)находят по новой таблице параметры A и B приближающей функции вида (5.18);
3)находят в соответствии с (5.17) значения параметров a, m.
Показательная функция |
|
F( x, a, m) = aemx , a > 0 |
(5.19) |
Прологарифмировав равенство (5.19), получим |
|
Φ( x, A, B) = Ax + B |
(5.20) |
Таким образом, задача сведена к предыдущей.
Дробно-линейная функция
F( x,a,b) = |
1 |
(5.21) |
|
ax + b |
|||
|
|
Перепишем (5.21) следующим образом:
1 |
= ax +b |
F( x,a,b) |
Из последнего равенства следует, что надо составить новую таблицу, заменив в ней значения функции обратными числами. Используя новую таблицу найти a, b и подставить найденные значения параметров в (5.21).
30
Логарифмическая функция
F( x,a,b) = a ln x +b |
(5.22) |
Из (5.22) видно, что для перехода к линейной функции достаточно |
|
сделать подстановку ln x = u . Следовательно, |
для нахождения значений a, b |
нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице (табл. 5.1) и, рассматривая полученные значения в совокупности с исходными значениями функции, найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной. Коэффициенты a, b найденной функции подставить в (5.22).
Гипербола
|
|
F( x,a,b) = |
a |
+ b |
(5.23) |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
Для перехода к линейной функции |
достаточно сделать подстановку |
||
u = |
1 |
: |
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(u,a,b) = au + b |
(5.24) |
||
Далее заменить значения аргумента обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию линейного вида (5.246). Полученные значения параметров подставить в (5.23).
|
|
|
|
|
|
Дробно-рациональная функция |
|
|
|
F ( x,a,b) |
= |
x |
|
(5.25) |
|||
ax + b |
||||||||
|
|
|
|
|||||
Перепишем (5.25) следующим образом: |
|
|||||||
|
1 |
= a + |
b |
|
(5.26) |
|||
|
F( x,a,b) |
x |
||||||
|
|
|
|
|||||
Из (5.26) видно, что задача сводится к задаче, рассмотренной в предыдущем пункте. Действительно, если в исходной таблице заменить
значения x, y их обратными величинами по формулам z = 1 |
x |
, |
u = |
1 |
y |
и |
|
|
|
|
|
||
искать для новой таблицы приближающую функцию вида |
u = bz + a , |
то |
||||
найденные значения будут искомыми для функции (5.25). |
|
|
|
|
|
|