Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4718

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

				21
8	dx		8
	dx	2 x 1	8	2 9 2 4 6 4 2 .


3	x 1		3
3	x 1

70 – 79. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить еѐ площадь.

70.	y	x2	2x		4,	y		x	2.
71.	y	x2	4x ,	y		x		4 .
72.	y	x2	2x	3,		y		x	1.
73.	y	6x	x2 ,	y		x .
74.	y	x2	3x	1,		y		2x	3.
75.	y	x2	2x ,		y		1	x	1.
75.	y	x2	2x ,		y	2		x	1.
						2
76.	y	x2	6x		4,	y		2x 1.
77.	y	x2	6x ,		y		x	4 .
78.	y	x2	7x	3,		y		x	5.
79.	y	4x	x2 ,	y		2x			8 .
7*. y x2			x 1, y x 2.

Решение задачи 7*. Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий. Для этого решим уравнение x2 x 1 x 2.

Получаем x1 1 и x2 3. Сделаем чертеж (см. рис. 7).

Рис. 7

Известно, что площадь фигуры,

ограниченной линиями x

a , x

b (a b) ,

f1 (x) ,

f2 (x) ( f1 (x)

f2 (x) на отрезке [a,b]), вычисляется по формуле

( f2 (x)

f1 (x)) dx .

Поэтому

площадь заштрихованной

фигуры,

изображенной на

рис.

7, равна

((x

(x2

1)) dx

(

3) dx

(

)

(кв. ед.).

80 – 89. Найти точки экстремума функции z

f (x, y) и вычислить значения

функции в этих точках.

80.

2 .

81.

2x2

82.

2xy 3x2

83.

4x2

2xy

84.

0,5x2

85.

8x2

2y2

16x

86.

y .

87.

4xy 4x2

2y2

88.

4x 5y .

89.

5x2

4xy

2y .

8*. z

2x2

xy 3y2

2x 11y 1.

Решение задачи 8*. Вычислим частные производные первого порядка

2 ,

6 y

11 и приравняем их к нулю

x 6 y 11 0.

Решая полученную систему уравнений, находим x 1, y 2. Чтобы определить, действительно ли точка M ( 1; 2) является точкой экстремума, найдем частные производные второго порядка

		zxx	4, zxy	1, zyy	6 .
Так	как	величина		zxx (M ) zyy (M ) zxy (M ) 2			4 6 (	1)2 23
положительна в точке M ( 1; 2) , то эта точка является точкой экстремума.
Так как zxx (M )		4 положительна в точке			M ( 1; 2) ,	то эта точка является
точкой	минимума.	Найдем	значение		функции	в	этой	точке
zmin ( 1; 2)	2 12 1 2	3 22 2 1	11 2	1 11.

90 – 99. а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд; б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд, если

сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно; в) найти область сходимости степенного ряда.

90. а)	1								2								3																				n					,

	2 3						3 3					2							3														(n	1) 3							n
	2 3						3 3							4 3																			(n	1) 3
б)	1 1 1													1					( 1)n 1																					1				,

	4				7				12					19																								n2			3
	4				7				12					19																								n2			3
					x2						x3													xn
в)	x																													.
в)	x			2								3													n					.
91. а)	2				22					23												2n								,
91. а)	1			2		3						3											n				3			,
	1			2					3														n
б)	1 1 1 1																	( 1)n 1																1								,

	5				7					9				11																						2n				3
	5				7					9				11																						2n				3
в) x					x2										x3															xn					.
				2									3																n
				2				2					3			3													n		n

92. а)		2							2								2																	2						,

	3 5						6 52							9 53																			3n			5n
б)		1							1					1								1												( 1)n 1								1				,

									3

	2			2										10								11																					n 7
в)	x x2										x3												xn							.
в)	1				4						9												n2							.
	1				4						9												n2
93. а)	3					9						27																		3n						,
93. а)	2	2					2					4		2												(n				1)			2			,
	2			3								4														(n				1)
б)	1 1 1													1						( 1)n 1																				1					,

	2				6				12					20																									n2 n
	2				6				12					20																									n2 n
в)			x							x2									x3																			xn				.
																					8
	1 2								2 4										3		8																n 2n
94. а)	2				5				10														n2							1			,
94. а)	4				42					43																	4n						,
	4				42					43																	4n
б) 1				1					1					1						(											1)n			1						1					,
																																		1

				3								5 3																												2n		1
				3								5 3																												2n		1
в)	2x				x2				8						x3													2n					xn					.
в)	2x				x2									9																n2								.
														9																n2
95. а)	1								1								1																	1									,

	3 5						4 52							5 53																		(n						2) 5n

														24
б)	1		1	1			1	( 1)n 1				1		,
б)	2	9		28			65	( 1)n 1				n3	1	,
	2	9		28			65					n3	1
			x2		x3				xn
в) x											.
					3				3
		3 2			3	3			3	n

96.а)

б)

в)

97.а)

б)

в)

98.а)

б)

в)

99.а)

б)

в)

9*. а)

б)

в)

8				82								83													8n						,
4			5							6													n					3			,
1			1						1							1				(									1)n 1									1					,

2			5						8						11																				3n					1
2			5						8						11																				3n					1
	x									x2										x3																xn						.
3 1						3		2		2					2				3			3			2						3			n				n		2		.
3 1						3				2									3			3									3							n
1						2				3																	n				,

3			3				4								5							3					n	2
3			3							3												3
1			1												1							1							(								1)n 1						1				,

2
						7									10							13																						3n		1
						7									10							13																						3n		1
	x			x2									x3											xn					.
	x		2			3				3														n		3			.
			2							3														n
4			5							6														n				3			,

2			22							23																2n
1		1							1							1						( 1)n 1																		1				,

		7 17														31																				2n2						1
		7 17														31																				2n2						1
3x			32								x2						33 x3															3n xn										.

										2											3															n
										2											3															n
1							1												1												1										,

52			2 53													3 54														n 5n 1
1									1							1						1								(									1)n			1			1			,
																																										1
																6

2						2				3												4 5																						n		n 1
2x			22									x2						23 x3															2n xn									.
2x							23												33																n3							.
							23												33																n3
1						4				9																	n2				,
22						23								24											2n 1						,
1			1							1									1					(							1)n 1											1					,

2			10							30									68																				n (n2 1)
2			10							30									68																				n (n2 1)
4x					42							x2						43 x3															4n xn									.
							3												3												3
										2												3															n
										2												3															n

Решение задачи 9* а) Применим к данному ряду с положительными членами признак

Даламбера: если все члены числового ряда u1 u2 u3 un положительны

и существует предел lim

un 1

то при

1 ряд

сходится, при 1 ряд

расходится.

Выпишем n -й и (n 1) -й члены ряда:

un 1

1)2

(n 1)

2n 1

2(n 1) 1

2n 2

Тогда

n 1

(n 1)2 n2

(n 1)2 2n 1

(n 1)2

2n 2

2n 1

2n 2

2 n2

Вычислим предел lim

n 1

lim

1)2

2 n

Так как

1, то данный ряд сходится.

б) Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося

ряда u

(

1)n 1

Если u1

un 1

и lim un

0 , то ряд сходится.

Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:

1	1		1		1							1				1

2	10		30			68					n (n2 1)			(n	1)	((n 1)2			1)
и lim un				lim	1					0 .

					n (n		2	1)
	n			n	n (n			1)
	n			n
		Следовательно, знакочередующийся ряд сходится.
		Теперь установим вид сходимости (абсолютная или условная)
знакочередующегося ряда.
		Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный									из			абсолютных				величин			его	членов, т.е. ряд вида
u1		u2	u3 un					.
		Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если
ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
		По исследуемому знакочередующемуся ряду
								1	1			1	1			( 1)n 1			1

								2	10			30	68					n (n2		1)
								2	10			30	68					n (n2		1)
составим ряд из абсолютных величин его членов
									1			1	1		1	1
																				.
									2			10	30		68		n (n2		1)	.

Получим числовой ряд с положительными членами, к которому применим признак сравнения:

если есть два числовых ряда с положительными членами

u1	u2	u3 un	,
v1	v2	v3 vn

и существует конечный и отличный от нуля предел lim	un	k (0 k	), то оба
	vn
n

ряда ведут себя одинаково (оба сходятся или оба расходятся).

При использовании признака сравнения исследуемый ряд часто сравнивают

с рядом	1	(обобщенный гармонический ряд), который сходится при																											1 и

	n 1 n
	n 1 n
расходится при				1.
Первым рядом является ряд
						1	1		1					1								1			,

						2	10		30					68					n (n2				1)
а в качестве второго ряда выберем ряд
							1		1			1		1								1	,

										8		27				64					n3
который является обобщенным гармоническим рядом с																												3 1 (это сходящийся
ряд).
Так как un						1		,	vn			1			, то
Так как un				n (n2			1)	,	vn				n3		, то
				n (n2			1)						n3
			lim		u	n	lim				n3						lim			n2			lim			1		1 .
						n
					vn				n (n			2		1)				n		2		1		1			1
			n				n					2					n			2			n				1
			n				n										n						n				n2
																											n2
Получили, что k				1(0 k						). Тогда по признаку сравнения оба ряда ведут себя

одинаково. Отсюда следует, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится.

Итак, исходный знакочередующийся ряд по признаку Лейбница сходится, как и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Следовательно,

исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

в)

Степенной ряд

a x

абсолютно сходится

при

R , где R

lim

, и расходится при

R ,

если последний предел

an 1

существует и является положительным числом

(в этом случае R называют

радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( R; R) – интервалом

сходимости этого ряда).

По условию задачи

4n 1

n 1

поэтому

R lim

lim

4n 3 n 1

lim

1 n 1 1

lim 3 1

1 1

3 n 4n 1

an 1

4 n

n 4

																								27
			Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при																																					x		1	(то
																																										1
																																									4
									1				1																	1	,					1	;	1			4

есть при					x							;		)	и расходится при													x				а интервал								является
есть при					x							;		)	и расходится при													x	4			а интервал								является
							4					4																								4		4
							4					4																								4		4
интервалом сходимости этого ряда.
			Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
			При x					1				получаем знакочередующийся ряд
			При x				4					получаем знакочередующийся ряд
							4
																					1			1			(			1)n
																	1																.
																			3
																			3		2	3		3					3 n
Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.
												1										1
			Сравним				u			n		1			и	u		n 1				1				.	Так как 3						n 3 n	1 при всех n							N , то


														3 n							3		n	1


1		1				. Следовательно,													первое условие признака Лейбница выполнено, т.е.


	3 n			3 n	1
члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине.
			Так		как						lim un				lim				1		0 ,				то		второе					условие			признака				Лейбница
																		3
																				n
											n				n
											n				n

выполнено, т.е. общий член знакочередующегося ряда по абсолютной величине стремится к нулю.

По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

При	x	1	данный степенной			ряд				превращается в			числовой ряд			с

		4
		4
положительными членами
			1	1	1					1		,

										3
				3 2	3 3					3	n
который	является обобщенным				гармоническим рядом								с	1	1	и,

														3
														3
следовательно, расходится.
Таким		образом, промежуток					1	;	1		является областью			сходимости
Таким		образом, промежуток				4		;	4		является областью			сходимости
						4			4

исходного степенного ряда.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

					Контрольная работа
100 – 109. Найти матрицу D						k M	N F , если известны матрицы M , N , F
и число k .
		3	0	4		1	1	2		1	0	1
100.	M	2	2	3 ,	N	0	1	2 ,	F	2	1	2 ,	k	2 .
		1	1	2		5	3	1		1	1	2
		7	1	3		4	1	2		1	0	3
101.	M	5	1	2 ,	N	2	0	2 ,	F	1	2	4 ,	k	2 .
		0	1	4		3	1	2		1	2	4
		0	1	2		1	3	0		3	1	0
102.	M	3	1	2 ,	N	2	2	4 ,	F	2	1	3 ,	k	3 .
		3	3	2		3	1	1		5	1	2
		1	0	2		4	0	2		1	1	2
103.	M	3	1	2 ,	N	1	1	3 ,	F	0	1	2 ,	k	3.
		5	4	1		5	1	2		5	5	0
		1	5	4		5	1	2		1	0	4
104.	M	2	2	4 ,	N	0	3	1 ,	F	2	2	3 ,	k	4 .
		1	1	2		2	3	1		3	7	2
	1	1	2		3	1	4		1	1	2
105.	M 3	5	2 ,	N	3	2	0 ,	F	4	0	2 ,	k	4 .
	5	3	1		1	1	2		2	4	3
		1	0	4		3	1	2		3	5	4
106.	M	2	3	1 ,	N	0	6	2 ,	F	2	0	3 ,	k	5 .
		1	1	5		2	3	0		1	1	4
		1	1	2		1	2	2		1	1	3
107.	M	0	1	2 ,	N	1	2	3 ,	F	5	0	2 ,	k	5.
		1	3	3		1	1	2		5	3	1
		3	3	4		1	1	1		4	0	1
108.	M	2	4	3 ,	N	0	1	2 ,	F	2	3	3 ,	k	1.
		1	3	0		5	3	4		1	1	2
		1	1	2		2	0	4		2	1	2
109.	M	0	2	1 ,	N	3	1	3 ,	F	1	0	4 ,	k	6 .
		5	3	1		4	1	5		1	3	1

					29
	0	3	4	1	0	2	3	0	3
10*. M	1	2	2 , N	2	1	7 , F	1	2	3	, k 3.
	1	1	2	5	3	1	1	2	1
Решение задачи 10*. Для нахождения матрицы D								3 M	N F вычислим
отдельно матрицы			3 M и N F , а затем найдем их сумму.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

	0	3	4	3 0	3 3	3 ( 4)	0	9	12
3 M 3	1	2	2	3 ( 1)	3 2	3 2	3	6	6 .
	1	1	2	3 1	3 1	3 2	3	3	6

	Произведением матрицы					A размерности m			p и матрицы B размерности
p n	называется матрица				C	размерности m n,			каждый элемент которой cij
						p
определяется		формулой:			cij		aikbkj , i	1,...,m,	j	1,...,n. Таким образом,
						k 1
элемент cij		представляет			собой		сумму	произведений		элементов i –й строки
матрицы A на соответствующие элементы								j –го столбца матрицы B .
	1	0	2	3		0	3
N F	2	1	7	1		2	3
	5	3	1	1		2	1

1 3 0 1 2 1							1 0 0 ( 2) 2 2						1 3 0 3 2 ( 1)
2 3 ( 1) 1 7 1							2 0 ( 1) ( 2) 7 2 2 3 ( 1) 3 7 ( 1)
	5 3 3 1 1 1						5 0 3 ( 2) 1 2						5 3 3 3 1 ( 1)
3	0	2		0	0	4	3	0		2		5	4	1
6	1	7		0	2	14	6	3		7		12	16	4 .
15		3	1	0	6	2	15	9		1		11	4	7
Суммой матриц A и B одинаковой размерности m															n называется матрица
C той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц
A и B , стоящих на тех же местах: cij											aij	bij , i	1,...,m, j		1,...,n.
						0	9	12			5	4		1
D 3 M N F						3	6	6			12	16		4
						3	3	6			11	4		7
0		5			9	4	12		1			5	5	13
3	12			6		16	6	(		4)		15	10	10 .
3	(	11)		3	(	4)	6	(		7)		14	7	13

110 – 119. Вычислить определители: а) второго порядка;

б) третьего порядка (двумя способами: по правилу Саррюса и разложением по элементам строки или столбца).

110. а)

111. а)

112. а)

113. а)

114. а)

115. а)

116. а)

117. а)

118. а)

119. а)

3			1		2	3
			1		2	3
	,	б)	3		4	2		.
7			2		3	1
			2		3	1
3					4	2
				1
				1
	,	б)		3	1	5				.
4				2	3	3
				2	3	3
2					3	3
			2
			2
	,	б)	3		4	2			.
3			1		2	2
			1		2	2
3					2	2
			3
			3
	,	б)	4		3	2		.
2			1		4	3
			1		4	3

3			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		2	3			.
1			2		1	1
			2		1	1
6					2	3
			2
			2
	,	б)	2		1	3	.
3			1		2	4
			1		2	4

8			2		2	1
			2		2	1
	,	б)	1		1	2			.
3			3		2	2
			3		2	2
3					3	2
				2
				2
	,	б)		3	2	2				.
2				1	3	2
				1	3	2
4					3	2
				2
				2
	,	б)		3	1	2				.
2				1	2	1
				1	2	1

6			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		3	2			.
3			2		1	1
			2		1	1

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.46 Mб24713.pdf
#
08.01.20211.46 Mб14714.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14715.pdf
#
08.01.20211.47 Mб64716.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14717.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14718.pdf
#
08.01.2021201.56 Кб1472.pdf
#
08.01.20211.48 Mб04720.pdf
#
08.01.20211.48 Mб24721.pdf
#
08.01.20211.48 Mб14722.pdf
#
08.01.20211.48 Mб34723.pdf

3			1		2	3
			1		2	3
	,	б)	3		4	2		.
7			2		3	1
			2		3	1
3					4	2
				1
				1
	,	б)		3	1	5				.
4				2	3	3
				2	3	3
2					3	3
			2
			2
	,	б)	3		4	2			.
3			1		2	2
			1		2	2
3					2	2
			3
			3
	,	б)	4		3	2		.
2			1		4	3
			1		4	3

3			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		2	3			.
1			2		1	1
			2		1	1
6					2	3
			2
			2
	,	б)	2		1	3	.
3			1		2	4
			1		2	4

8			2		2	1
			2		2	1
	,	б)	1		1	2			.
3			3		2	2
			3		2	2
3					3	2
				2
				2
	,	б)		3	2	2				.
2				1	3	2
				1	3	2
4					3	2
				2
				2
	,	б)		3	1	2				.
2				1	2	1
				1	2	1

6			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		3	2			.
3			2		1	1
			2		1	1

3			1		2	3
			1		2	3
	,	б)	3		4	2		.
7			2		3	1
			2		3	1
3					4	2
				1
				1
	,	б)		3	1	5				.
4				2	3	3
				2	3	3
2					3	3
			2
			2
	,	б)	3		4	2			.
3			1		2	2
			1		2	2
3					2	2
			3
			3
	,	б)	4		3	2		.
2			1		4	3
			1		4	3

3			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		2	3			.
1			2		1	1
			2		1	1
6					2	3
			2
			2
	,	б)	2		1	3	.
3			1		2	4
			1		2	4

8			2		2	1
			2		2	1
	,	б)	1		1	2			.
3			3		2	2
			3		2	2
3					3	2
				2
				2
	,	б)		3	2	2				.
2				1	3	2
				1	3	2
4					3	2
				2
				2
	,	б)		3	1	2				.
2				1	2	1
				1	2	1

6			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		3	2			.
3			2		1	1
			2		1	1

3			1		2	3
			1		2	3
	,	б)	3		4	2		.
7			2		3	1
			2		3	1
3					4	2
				1
				1
	,	б)		3	1	5				.
4				2	3	3
				2	3	3
2					3	3
			2
			2
	,	б)	3		4	2			.
3			1		2	2
			1		2	2
3					2	2
			3
			3
	,	б)	4		3	2		.
2			1		4	3
			1		4	3

3			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		2	3			.
1			2		1	1
			2		1	1
6					2	3
			2
			2
	,	б)	2		1	3	.
3			1		2	4
			1		2	4

8			2		2	1
			2		2	1
	,	б)	1		1	2			.
3			3		2	2
			3		2	2
3					3	2
				2
				2
	,	б)		3	2	2				.
2				1	3	2
				1	3	2
4					3	2
				2
				2
	,	б)		3	1	2				.
2				1	2	1
				1	2	1

6			3		2	3
			3		2	3
	,	б)	1		3	2			.
3			2		1	1
			2		1	1