4610

2

УДК 517.1

Веневитина, С. С. МАТЕМАТИКА. Преобразование графиков функций [Текст] : методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса всех технических специальностей / С. С. Веневитина, Е. О. Уточкина ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2007. – 32 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО «ВГЛТА»

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического анализа ВГУ Ю.И. Пастухова

3

I.Понятие функции. Основные свойства функций.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, сумма углов треугольника есть постоянная величина, равная 180º; отношение длины окружности к её диаметру равно числу π.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, температура воздуха в течение суток (месяца); скорость при неравномерном движении; количество студентов, пришедших на лекцию и др.

Перейдём к понятию функции.

Определение. Если каждому значению x множества D ( x D ) ставится в соответствие единственное значение y множества E (y E), то говорят, что на множестве D задана функция y = f (x) .

При этом x называют независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество D(y) называется областью определения функции, а множество E(y) – множеством значений функции.

Если множество D специально не оговорено, то находят естественную область определения функции, т.е. множество таких значений независимой переменной, при которых функция y = f (x) вообще имеет смысл.

Рассмотрим основные свойства функций.

симметричен относительно оси Oy. Примеры чётных функций:

y = x2

(y(−x) = (−x)2 = x2 = y(x))

5

Другими словами, функция y = f (x) возрастает, если для всех x1, x2 D( y) таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) < f (x2 ) :

Функция убывает, если для всех x1, x2 D( y) таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) > f (x2 ) :

Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке называется монотонной на этом промежутке.

3. Периодичность. Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 , что при любом x D( y) числа x −T и x +T

II.Основные элементарные функции.

Наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций приведём в таблице:

6

9

III. Преобразование графиков функций.

Для исследования и построения графиков функций можно применять методы математического анализа, теорию пределов, дифференциальное исчисление. Вместе с тем актуальными остаются приёмы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций.

Пусть задан график функции y = f (x) и произвольные положительные

константы a, b, m и k. Тогда справедливы следующие правила.

Правило 1. График функции y = f (x −a) получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Ox на a единиц вправо.

Таким образом, каждая точка (xi ; yi ) исходного графика переходит в точку (xi + a; yi ) ,и получается график новой функции.

y = f (x) сдвигом вдоль оси Ox на a единиц влево.

Правило 2. График функции y = f (x) +b получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Oy на b единиц вверх.