Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

4610

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
1.21 Mб
Скачать
☆

11

Если же k (0;1) , то график функции y = f (kx) получается из графика функции y = f (x) растяжением в 1k раз вдоль оси Ox.

Правило 5. График функции y = − f (x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Ox.

Правило 6. График функции y = f (−x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Oy.

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим некоторые примеры.

 

 

 

 

y = 2x +3

Пример 1. Построить график функции

Сначала построим график исходной функции y = 2x по точкам:

 

x

 

−1

 

0

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

 

1

 

 

2

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По правилу 1 график функции

 

 

y = 2x+3

получается из графика

функции y = 2x с помощью сдвига вдоль оси

Ox

на 3 единицы масштаба

влево.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Построить график функции y = log2 x +3.

 

x

 

1

 

 

1

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Сначала строим график функции y =log2 x :

 

2

 

 

 

 

, а затем,

 

y

 

−1

 

 

0

 

1

 

2

 

используя правило 2, сдвигаем его вверх вдоль

оси

Oy

 

на

 

3 единицы

масштаба:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Пример 3. Построить график функции

y =sin 2x .

 

 

 

 

 

 

 

1)

строим график функции

y =sin x ,

 

Т= 2π .

 

 

 

 

 

 

 

2)

строим график функции

y =sin 2x , используя правило 4 ( k=2>1 ),

то есть сжимаем предыдущий график в 2 раза вдоль оси Ox ( Т=

2π

=π ).

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

; y

) → (

x

; y

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

2

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;0) → (0;0)

(π

;1) → (π ;1)

 

(π;0) → (π

;0)

(

3π

 

;−1) → (

3π

;−1)

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

2

 

2

4

 

 

Пример 4.

Построить график функции

 

y =

1 cos x .

1)

строим график функции y =cos x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

π

 

π

 

3π

,

Т=

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

 

0

 

−1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

строим график функции

y =

1 cos x , сжимая график y = cos x в 2 раза

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вдоль оси Oy ( правило 3, m =

(0;1)

):

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

; y

) → (x

;

y

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

i

 

i

 

 

 

 

14

 

Замечание.

График

функции

y = mf (kx −a) +b = mf (k(x − a)) +b

 

 

 

k

можно получить из

графика

функции

y = f (x) путём последовательного

построения графиков следующих функций:

1)y = f (x) - исходный график;

2)y = mf (x) - растяжение или сжатие исходного графика вдоль оси Oy ;

3)y = mf (kx) - растяжение или сжатие графика 2 вдоль оси Ox ;

4)

y = mf (k(x − a)) -

сдвиг графика 3 вдоль оси Ox на

a

единиц;

k

 

k

 

 

5)

y = mf (k(x − a)) +b - конечный график получается сдвигом графика

 

k

 

 

 

4 вдоль оси Oy на b единиц.

IV. Квадратичная функция.

Правила преобразования графиков можно использовать при

построении графика квадратичной функции

y = ax2 +bx +c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для этого преобразуем квадратный трёхчлен к виду

 

 

a(x − x )2

− y ,

выделяя в нём полный квадрат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

b

 

c

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b 2

 

 

b 2

 

 

c

 

 

ax

 

+bx +c = a(x

 

+

 

 

x +

 

 

) = a x

 

+ 2

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

−

 

 

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

a

 

 

 

 

 

b

2

b2

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2

 

 

b2

−4ac

 

 

 

 

b 2

 

 

b2

−

4ac

 

 

= a

x +

 

 

−

 

 

 

+

 

 

= a

x

+

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a x

+

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём обозначения

 

x0

= −

 

b

 

,

 

y0

=

b2 −4ac

 

,

и получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ax2 +bx +c = a(x − x0 )2 − y0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим несколько примеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2 +6x +9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Построить график функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2 +6x +9 = x2 + 2 3x +32 = (x +3)2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

План построения: 1) y = x2 - исходный график;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

y =(x +3)2

 

- сдвиг вдоль оси Ox влево на 3 единицы.

15

Пример 2. Построить график функции y = x2 −4x +7 .

Выделяем полный квадрат: y = x2 −4x +7 = x2 −2 2x + 22 −22 +7 = (x −2)2 +3. Получаем y =(x −2)2 +3 .

План построения:

1)y = x2 - исходный график;

2)y = (x −2)2 - сдвиг графика 1) вдоль оси Ox вправо на 2 единицы;

3)y = (x −2)2 +3 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy вверх на 3 единицы.

Таким образом, (xi ; yi ) → (xi + 2; yi ) → (xi + 2; yi +3)

Пример 3. Построить график функции

y = −

1 x2

−3x +1. Преобразуем

 

 

2

 

квадратный трёхчлен, выделяя полный квадрат:

y= −12 x2 −3x +1=

=−12 (x2 +6x −2) = −12 (x2 + 2 3x +9)−9 −2 = −12 (x +3)2 −11 =

=−12 (x +3)2 +112 .

План построения графика функции

y = −

1

(x +3)2

+

11

:

 

 

2

 

 

2

 

1)y = x2 - исходный график;

2)y = −x2 - симметрия относительно оси Ox;

3)y = −12 x2 - сжатие вдоль оси Oy в 2 раза;

4)y = −12 (x +3)2 - сдвиг вдоль оси Ox влево на 3 единицы;

16

5)

y = −

1

(x +3)2 +

11

- сдвиг вдоль оси Oy вверх на

11

единиц.

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x ; y ) →

(x

;−y ) →

(x

;−

1 y ) →

(x −3;

−

1 y )

→

(x −3;

−

1 y +

11)

 

 

i

i

i

 

i

i

 

2 i

i

 

2

i

 

 

 

i

 

2 i

2

Замечание: График 5 получен из графика 3 одновременным смещением вдоль оси Ox и вдоль оси Oy.

V.Дробно-линейная функция.

Функция вида

y = ax +b

называется дробно-линейной, где a, b, c, d –

 

cx + d

 

любые действительные числа, причём c и d не могут быть одновременно равны нулю и ac ≠ db .

Необходимо преобразовать выражение функции к виду y = x −mx0 + y0 .

Для этого разделим ax +b «уголком» на cx + d :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ax +b

= a

 

b −

ad

= a

 

bc −ad

 

 

bc −ad

+ a =

m

 

 

 

Тогда

+

 

c

+

c

 

=

 

 

c2

+ y0 ,

 

cx + d

 

d

 

 

d

x − x0

 

 

cx + d

c

 

c

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(x + c )

 

 

x + c

 

 

 

 

 

 

где

m = bc −ad ,

x = −d

,

y = a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

0

 

c

 

0

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

важный частный случай дробно-линейной функции,

когда

a =0,

b =1,

c =1,

 

d = 0.

 

Получается

функция

 

y = 1 .

Это

гипербола с

областью

определения

D( y) =(−∞;0) U(0;+∞) .

 

 

x

 

График не

пересекается с осями координат. Прямая

 

 

x = 0

( ось

Oy )

является

вертикальной асимптотой гиперболы

y =

1 ,

а прямая y = 0

(

 

ось

Ox )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

является горизонтальной асимптотой. График симметричен относительно начала координат.

Зная график функции y = 1x и применяя правила преобразования графиков, легко построить более общий график дробно-линейной функции y = x −mx0 + y0 по плану:

1)y = 1x - исходный график;

2)y = mx - растяжение или сжатие вдоль оси Oy ;

3) y = x −mx0 - сдвиг вдоль оси Ox ; 4) y = x −mx0 + y0 - сдвиг вдоль оси Oy .

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. Построить график функции y = 2x −1.

 

План построения:

1)

y =

1

- исходный график;

 

 

x

 

2)

y =

2

- растяжение исходного графика вдоль оси Oy в 2 раза;

 

 

x

 

3)

y =

2

−1 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

 

 

x

 

18

(xi ; yi ) →(xi ;2 yi ) → (xi ;2 yi −1)

Пример 2. Построить график функции y

=

3x +7

.

 

 

 

 

x + 2

Преобразуем выражение функции к виду y =

 

 

m

+ y0 , для этого разделим

 

 

 

 

 

x − x0

числитель «уголком» на знаменатель:

Получим:

y =

1

+3 .

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

План построения:

1)

y =

1

- исходный график;

 

 

x

1

 

 

 

 

2)

y =

 

 

- сдвиг исходного графика вдоль оси Ox на 2 единицы влево;

x

+ 2

 

 

 

 

 

19

3) y = x +1 2 +3 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. (xi ; yi ) →(xi −2; yi ) →(xi −2; yi +3)

VI. Простое гармоническое колебание.

В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т.е. такие явления, которые повторяются через определённый промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

Простейшее периодическое явление – гармоническое колебание, совершаемое по закону

y = Asin(ωx +ϕ) ,

где А – амплитуда колебания, ω - частота колебания, а ϕ - начальная

фаза.

При изучении механики, радиотехники и различных биологических процессов используют функцию вида

y =acosωx +bsinωx .

Для того чтобы привести эту функцию к виду простого гармонического колебания, преобразуем выражение Asin(ωx +ϕ) :

20

Asin(ωx +ϕ) = A(sinωx cosϕ +cosωx sinϕ) = = Acosϕ sinωx + Asinϕ cosωx

Для того чтобы получить тождественное равенство acosωx +bsinωx ≡ Asin(ωx +ϕ)

надо приравнять слева и справа коэффициенты при cosωx и при sinωx . Из

тождества

acosωx +bsinωx ≡ Asinϕ cosωx + Acosϕ sinωx

получаем:

a = Asinϕ , b = Acosϕ .

Для нахождения амплитуды А возводим в квадрат и складываем почленно эти равенства:

a2 +b2 = A2 sin2 ϕ + A2 cos2 ϕ = A2 (sin2 ϕ +cos2 ϕ) = A2 ,

A2 = a2 +b2 , A = a2 +b2 .

Начальную фазу ϕ можно определить из условий:

sinϕ = aA, cosϕ = bA.

При построении графика

y = Asin(ωx +ϕ)

можно применять правила преобразования графиков, для этого надо записать функцию в виде

y= Asin ω(x + ϕ )

ω

и строить график по плану:

1)y =sin x - исходный график;

2)y = Asin x - растяжение или сжатие исходного графика вдоль оси Oy ;

3)y = Asinωx - растяжение или сжатие графика 2) вдоль оси Ox ;

4)y = Asin ω(x + ϕ) - сдвиг графика 3) вдоль оси Ox вправо или влево.

ω

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ»

Путем преобразований построить графики функций.

 

 

 

Вариант 1

 

 

 

 

Вариант 2

1.

y = −0,5 3x +1

1.

 

1

−x+3

 

 

 

 

y =

2

 

−2,5

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y = log2(

x

−1) −3

2.

y =3 lg(2x) +1

2

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности