Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4574

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть

	y		y
уравнением вида		f		(здесь

			x

	y	y 2	y
f				). Для его решения сделаем

	x	x	x

	y	u . Отсюда	y ux и

подстановку	x			y	u x u . Подставляя выражения для	y

иy в последнее ДУ, получаем x

u u

u ,

u x

или

u x

Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися

переменными. Решим его.

c ,

Найденное решение

u подставим в формулу y ux и получим, что общее решение

исходного ДУ есть

c ln

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

x 1 .

x 1

Решение.

Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то есть

p( x )y g( x ) (здесь

g( x ) x 1 ). Его

уравнением вида y

p( x ) x 1 ,

решение будем искать в виде произведения двух функций

y u . Запишем

производную произведения y

. Подставляя данные выражения в ДУ,

u u

получаем

x 1

u u

		3		x 1	2		( )
или						.
	u u	x
			1

Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ( ):

3 0. Решив это ДУ с разделяющимися переменными, найдем функцию . x 1


	d	3			,		,	d		3dx	,
		x			,		,			x 1	,
	dx	x		1						x 1
,	d		3dx			,	,	ln	3ln			x 1	,
	d		3dx
			x 1
			x 1

, x 1 3 .

(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).

Подставив найденную функцию в равенство ( ), получаем

	x 1	3	x 1	2				1
							x 1 .
u					, или	u	x 1 .

Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде

du	1	или du	dx	.
	x 1
dx			x 1

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем u ln x 1 c .

Перемножив найденные функции u ln			x 1	c	и x 1 3 , получим
Перемножив найденные функции u ln			x 1	c	и x 1 3 , получим
общее решение исходного дифференциального уравнения
y ln	x 1	c x 1 3 .
y ln	x 1	c x 1 3 .

Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

y			16y 0,	y( 0 )
		8y			, y ( 0 )

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

y 2 y 8y 3e 2 x .

Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид yон yоо yчн , где yоо – общее решение однородного уравнения, а yчн – частное решение неоднородного уравнения.

Сначала решим однородное уравнение

y 2 y 8y 0.

Составим для этого ДУ характеристическое уравнение

k 2 2k 8 0.

Решая это квадратное уравнение, находим его корни k1 2, k2 4 . Так как k1 k2 , то общее решение однородного ДУ имеет вид

yoo c1ek1x c2ek2 x c1e 2 x c2e4 x .

7.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2 y2 2 y

Вариант 0.

x 3

y( 2 ) 3 .

ye2 x

Вариант 1.

e2 x 8 ,

y( 0 ) 1.

3 y2

Вариант 2.

y( 2 ) 1.

2 x2

2 yex

Вариант 3.

ex 3 ,

y( 0 ) 4 .

Вариант 4.

xy2 x

y( 0 ) 0 .

4 x2

Вариант 5.

y y ln y

y( 2 ) e .

x xy2

Вариант 6.

2 y

yx2

y( 0 ) 3 .

y cos x

Вариант 7.

3 2 sin x ,

y( 6 ) 4 .

Вариант 8.	y 2xy 2 y,				y( 1) 3.
			y 1

Вариант 9.	y	x2 x		,	y(1) 3.
Вариант 9.	y	x2 x		,	y(1) 3.

Задача № 2.

Вариант 0. а)

Вариант 1. а)

Вариант 2. а)

Вариант 3. а)

Вариант 4. а)

Вариант 5. а)

Вариант 6. а)

Вариант 7. а)

Вариант 8. а)

Найти общее решение дифференциального уравнения.

						y

xy	y y ln x ,
xy	y y ln x ,
		y		2 y
		y

y	x		e	x	,
				x

x2 y xy 2 y2 ,

x2 y2 2xyy 0 ,

y x3 y3 , xy2

ctg x ,

sin x ,

xyy x2

2 y2 0,

sin

y ,

б) y cos2 x y e tgx .

б) y 2 y x 1 e2 x .

б) xy y x2 cos x . б) y 2xy xe x2 .


б) 1 x		2		y	2xy x .
б) 1 x				y	2xy x .
			y
			y

б) y	x ln x					x ln x .
б) y	x ln x					x ln x .

б) y sin x y cos x x2 sin2 x .

б) y y cos x cosx esin x .

б) y sin x y cos x e2 x .

2 x

y x e .

Вариант 9.

а)

tg x ,

б) y

Задача № 3. Найти решение задачи Коши для линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка.

Вариант 1.

2 y

y 0,

y( 0 ) 1,

0 .

y ( 0 )

Вариант 2.

2 y

2 y 0,

y( 0 ) 1,

y ( 0 ) 1.

Вариант 3.

2 y 0,

y( 0 ) 5,

4 .

y ( 0 )

Вариант 4.

4 y

4 y 0,

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 1.

Вариант 5.

9 y 0,

y( 0 ) 0,

y ( 0 ) 3.

Вариант 6.

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 3.

Вариант 7.

4 y

9 y 0,

y( 0 ) 2,

12 y

y ( 0 ) 4 .

Вариант 8.

4 y 0,

2 .

y( 0 ) 3, y ( 0 )

Вариант 9.

12 y 0,

y( 0 ) 1,

7 y

y ( 0 ) 2 .

Вариант 10.

2 y 0,

y( 0 ) 3,

4 .

y ( 0 )

Задача № 4. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

Вариант 1.	y 2 y 8sin 2x .
Вариант 2.	y 9 y 6e3x .
Вариант 3.	y 25y 24 sin x .
Вариант 4.	y 2 y 5y 16e x .
Вариант 5.	y 3y 12x 1.
Вариант 6.	y 6 y 9 y 9cos 3x .
Вариант 7.	y 6 y 10 y 4e2 x .
Вариант 8.	y 2 y y 50 sin 3x .
Вариант 9.	y y x2 .
Вариант 10.	y 4 y 4 y 4 8x .
	8. РЯДЫ
	8.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 8.1. Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится ряд

				2
1	4	9	...	n	... .
2	3	4	...	n 1	... .
2	2	2		2

Решение. Применим к данному ряду с положительными членами признак Даламбера. Выпишем n –й и (n 1) –й члены ряда:

u	n2	, u	(n 1)2	(n 1)	2	.
	2n 1		2(n 1) 1	2n 2
n		n 1

Тогда

n 1

(n 1)2

(n 1)

2n 1

(n 1)

2n 2

2n 1

2n 2

2 n2

Вычислим предел lim

n 1

lim

(n 1)2

2 n2

Так как 12 1, то данный ряд сходится.

Пример 8.2. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд

1		1	1	1	... ( 1)n 1	1	... .
						n ( n2 1)
2	10 30 68

Если ряд сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно. Решение. Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:

	1	1		1		1		1		1
								n (n2		(n 1) ((n 1)2
2		10	30		68			n (n2	1)	(n 1) ((n 1)2	1)
и
lim un lim					1		0 .

					(n2 1)
n			n n		(n2 1)

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. В этом случае он сходится либо абсолютно, либо условно.

Установим вид сходимости (абсолютная или условная) знакочередующегося ряда.

По исследуемому знакочередующемуся ряду

1		1	1	1	... ( 1)n 1	1	...
						n ( n2 1)
2	10 30 68

составим ряд из абсолютных величин его членов

1		1	1	1	...	1	....
						n ( n2 1)
2	10 30 68

Последний ряд является числовым рядом с положительными членами. Применим к нему предельный признак сравнения. В качестве эталонного ряда выберем ряд

1 18 271 641 ... n13 ...,

который			является обобщенным гармоническим рядом с 3 1 (это
сходящийся ряд).
Так как
u			1	, v		1	,
	n	n (n2 1)			n
						n3

то

lim

n v

n n (n2 1)

n n2 1

n 1

Получили,

что

A 1( 0 A ).

Согласно предельному признаку

сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Отсюда следует, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 8.3. Найти область сходимости степенного ряда

42 x2

...

4n xn

... .

3 2

3 3

3 n

Решение.

Найдем

радиус

сходимости

степенного

ряда по

формуле

R lim

. В данной задаче

n 1

, a

4n 1

n 1

3 n

поэтому

4n 3 n 1

1 n 1 1

1 1

R lim

lim

lim 3

4n 1

3 n

n 1

n 4

4 n

n 4

Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при

(то

есть при

;

) и

расходится при

а интервал

;

является интервалом сходимости этого ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x

получаем знакочередующийся ряд

( 1)n

Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.

Сравним

Так

как

n 3

n 1

при

всех

n 1

натуральных значениях

то

( n 1, 2, ...). Следовательно,

3 n 1

первое условие признака Лейбница выполнено.

Так как

lim u

lim

0 ,

то второе условие признака Лейбница также

n 3

выполнено.

По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

При

данный степенной

ряд

превращается в числовой

ряд

положительными членами

который

является

обобщенным

гармоническим

рядом с

и,

следовательно, расходится.

Таким

образом, промежуток

;

является

областью

сходимости

исходного степенного ряда.

Пример 8.4. Пользуясь одним из разложений элементарных функций в ряд

Маклорена, вычислить значение	1	с точностью до 0,001.

	3 e

Решение. Воспользуемся разложением

ex 1				x		x2				x3		x4	... .
ex 1													... .
		1! 2! 3! 4!
Полагая x							1		, получаем:
Полагая x									, получаем:
					3
											1 2			1 3	1 4
		1
		1
1			e		1			1			3			3	3	... 1	1	1	1	1	... .
1				3				1			3			3	3		1	1	1	1

	3 e
	3 e				3						2!			3!	4!		3	18	162	1944

Так как последний знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы

Лейбница и	1		0,001, то, согласно замечанию 13.5, для приближенного

	1944
вычисления		значения		1		с точностью до 0,001 можно ограничиться

				3
					e

первыми четырьмя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:

1	1	1	1	1	0,716.

3 e		3	18	162

Пример 8.5. Вычислить x2 cos x dx с точностью до 0,001, разложив в ряд

Маклорена подынтегральную функцию.

Решение. Воспользуемся разложением функции cos x в ряд Маклорена:

cos x 1						x2					x4				x6		... .
cos x 1																	... .
					2!				4!						6!
Тогда
	x2 cos x x2							x4					x6						x8		... ,
	x2 cos x x2																				... ,
								2!				4!							6!
1							1					x		4		x		6				x	8			1		1		x			4		1	x	6	1		x	8
x2 cos x dx ( x2												x				x						x		...)dx x2dx						x				dx		x		dx		x		dx ...
x2 cos x dx ( x2																								...)dx x2dx										dx				dx				dx ...
0							0					2!			4!					6!						0		0		2!					0	4!		0		6!
0							0																			0		0							0			0
		x3		1			x5			1				x7			1					x9			1	...	1		1				1			1			... .
		x3					x5			1				x7			1					x9			1		1		1				1			1
							2!					7 4!								9 6!
3				0	5		2!			0		7 4!					0			9 6!					0		3	10			168				6480
				0						0							0								0
Так как					последний									ряд				удовлетворяет условиям														теоремы						Лейбница и
1																																				1
1			0,001,					то для приближенного вычисления значения x2 cos x dx с

6480
6480																																				0
																																				0

точностью до 0,001 можно ограничиться первыми тремя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:

1	1		1		1
x2 cos x dx						0,239.
	3	10		168
0

Пример 8.6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального

уравнения

y x2 y2

1 при условии, что y( 0 ) 1.

Решение. Будем искать решение y( x ) в виде ряда Маклорена:

y( x ) y( 0 )

y ( 0 )

... .

Подставляя

в данное дифференциальное

уравнение

первого порядка

начальные

условия

x 0 и

y 1,

находим,

что

y ( 0 ) 1.

Продифференцируем обе части исходного уравнения по переменной

x :

2xy

При x 0, y 1 и y

получим

yy .

y ( 0 )

Дифференцируем предыдущее уравнение:

y 2y2 4xyy 4xyy 2x2 (( y )2 yy ).

Используя начальные условия, получаем y ( 0 ) 2.

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем:

y( x ) 1 x x3 ... .

8.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 8.1.

а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд; б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд; если ряд

сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно; в) найти область сходимости степенного ряда.

Вариант 1. а)	1		2	3	...	n	...,
	2		3 32	4 33		( n 1) 3n
		3

б)	1			1			1					1		... ( 1)n 1						1		...,
б)														... ( 1)n 1					n2			...,
	4			7		12				19									n2	3
в)	x		x2					x3	...						xn		....
в)	x								...								....
				2			3									n
				2			3									n
Вариант 2. а)	2			2				2		...						2	...,
Вариант 2. а)	1			3				3		...						3	...,
	1			2			3									n
б)		1			1		1				1		... ( 1)n 1					1			...,
б)	5			7			9			11			... ( 1)n 1					2n 3			...,
	5			7			9			11								2n 3

		в)			x					x2								x3			...							xn		....

									2		2						3 3										n n
									2		2						3 3										n n

Вариант 3. а)			2							2							2				...								2		...,
Вариант 3. а)		3 5							6	52							9 53				...							3n 5n			...,
		3 5							6	52							9 53											3n 5n
	б)					1					1						1						1				... ( 1)n 1							1		...,

				2		2					3						10						11												n 7
				2		2					3						10						11												n 7
	в)			x				x2							x3			...						xn		....
	в)																	...								....
				1					4					9										n2
Вариант 4. а)		3					9					27				...									3n				...,
Вариант 4. а)	22															...						( n 1)2							...,
	22					32					42											( n 1)2
	б)			1					1				1						1	... ( 1)n 1													1	...,
	б)																			... ( 1)n 1												n2	n	...,
				2					6		12						20															n2	n
																				42

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.16 Mб54569.pdf
#
08.01.2021199.93 Кб2457.pdf
#
08.01.20211.17 Mб24571.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34572.pdf
#
08.01.20211.17 Mб44573.pdf
#
08.01.20211.17 Mб24574.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34575.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34576.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34577.pdf
#
08.01.20211.17 Mб14578.pdf
#
08.01.20211.17 Mб24579.pdf