Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

4574

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
1.17 Mб
Скачать
☆

Определим постоянные

A, В и С .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

x 0 ,

то

15 3A и

A 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

x 3,

 

то

 

 

 

36 12B

и B 3;

 

 

 

 

 

 

если

 

x 1,

то

 

8 4C

и

C 2 .

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

 

 

 

2

 

 

dx

3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

5

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

x 3

x 1

x

 

 

2x2 3x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

3

2

 

dx

 

5ln

 

x

 

3ln

 

x 3

 

2ln

 

x 1

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 0. 1)

 

 

5x4

 

2

 

1

dx ; 2)

1

x 2 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

3x

3 x2

 

x x

 

 

 

 

 

 

sin( 6x 8 )dx ;

 

 

 

 

 

 

23 5x dx ;

5)

cos

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

3)

 

4)

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

6)

3 x4 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

x cos(2x)dx ;

8)

x2exdx ; 9)

 

 

 

 

3x 1

 

 

dx ;

 

 

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 1

 

 

 

 

 

3sin x 4cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1.

1)

 

 

 

 

 

5x 7

9 x

dx ;

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

dx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

e12 x 7dx ;

5)

e x2 xdx ;

6)

ln6

x

1

dx

;

 

 

 

7)

 

x arctgxdx ;

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

ex sin xdx ;

9)

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

dx ;

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 4x 2

 

(x2

1)(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

x )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 2.

1) 2x

 

 

 

 

 

 

 

dx

;

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

3)

cos( 2 9x )dx ;

 

 

 

4)

 

7x 4 dx ;

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

2

x

 

dx ;

7)

 

x e xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 cos(2x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

8)

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

2x2 x 1

 

 

 

(x 1)(x2 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3.

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dx ; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

x sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

;

 

4)

 

e1 8 xdx ;

5)

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

;

 

 

 

6)

 

 

 

sin x

dx ;

cos2 ( 5x 3 )

 

 

 

 

5 x3 4

 

 

 

 

cos3 x

7)

 

lg x

dx ;

8)

 

 

x e3xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

 

 

x 3

 

dx ;

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 x 1

 

 

 

sin x cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

2

5x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4.

1)

 

 

 

 

dx ; 2)

 

5

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

cos 4xdx ;

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

5)

ctg7 x

1

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 ( 4x 3 )

sin2 x

 

 

 

 

 

6)

ecos x sin xdx ; 7)

 

 

 

 

x cos(2x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

e x sin xdx ;

 

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

dx ;

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2

x 2

 

 

 

 

x 1 2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Вариант 5.

1)

 

 

7x4 3x

 

 

 

 

 

 

dx

;

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; 3)

e2 x 5dx ; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

5 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

dx ;

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

dx ;

6)

 

 

 

tg

 

 

x

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

sin

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

x2 sin(2x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

x2

e 2 xdx ;

 

9)

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

dx ;

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

x 1

 

 

 

 

 

x 2 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

x 2)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6.

1)

 

7x3

 

 

 

 

 

6 dx

;

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

3) e2 x 10dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xln x2

 

1 dx ;

4)

 

dx ;

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

6)

 

 

 

 

 

;

 

 

7)

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

4 e2 x

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

8)

sin 3x cos 5x dx ;

 

 

 

 

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

dx ;

 

 

 

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 x 3

 

 

 

 

 

 

 

x x2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 3x

4

ctg 2 xdx ; 3)

 

sin( 3

6x )dx ;

 

 

4 x

Вариант 7. 1)

 

 

 

 

 

dx ; 2)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4)

 

;

 

5)

 

 

x

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

arctgxdx ;

 

 

9)

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 7x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

4

Вариант 8.

1)

 

 

4

 

 

 

 

 

 

x

 

dx ;

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

x2 dx

e x cos 2x dx ;

 

 

; 7)

1 x3

10)

 

2 sin x

dx .

2 cos x

 

 

 

 

2)

 

tg2 xdx ;

3) e2 5 xdx ;

4)

3x 4

4

dx ;

5)

cos xdx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

arccos xdx ;

9)

 

2 x

 

 

 

dx ;

 

 

2x2

x 1

xdx

 

7) x2 sin 3x dx ;

6) x4 1

;

x1

10)x2 3 x 5 dx .

 

 

 

 

 

 

 

5

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3x2

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9. 1)

 

 

2)

 

 

 

 

;

3)

e 3 dx ;

 

 

 

 

 

cos 2x sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(1 2x )dx ; 5) x3 5

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

ln x

dx ;

 

 

x2 ln xdx ;

4)

x4 1

6)

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

e x cos 2xdx ;

 

 

9)

 

2x 1

;

10)

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 x 3

 

4sin x 5cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

 

 

 

 

6.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Воспользуемся правилом интегрирования

f kx b dx k1 F kx b C ,

табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получим:

2

 

dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7 3x

2

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

7 3x 3 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 3x

3

3

 

 

2

 

 

 

 

 

6 7

3x

2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

6 7 3 2

2

 

7

3 1

2

6

 

 

4

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

16

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
y x2 3x 5,
y x 2.

Пример 2.

Воспользуемся методом интегрирования по частям для

вычисления определѐнного интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udv uv

 

ba vdu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x cos 2x dx =

u x

dv cos 2xdx

=

x

sin 2x

4

 

1

4 sin 2xdx

2

0

2

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

du dx

v

sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4

 

sin

 

2

 

 

0

 

1

 

cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

1

0

1

 

1

2 .

 

 

 

 

 

8

 

4

 

 

 

4

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

sin

 

1

cos

 

1

cos 0

 

8

2

4

2

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена переменной :

 

 

e

ln3 x dx

 

 

 

dx

 

 

Пример 3.

 

= =

ln x t,

 

dt

=

 

 

 

 

1

x

 

 

 

x

 

 

 

 

t(1) 0,

t(e) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t4

 

 

1

 

 

 

 

t3dt

 

 

 

4

 

 

0

 

0

 

14 40 14 .

Пример 4. Воспользуемся правилом интегрирования ( ) и табличным интегралом 4):

12

 

x

x

 

 

12

 

 

 

 

e4

 

 

dx = 3 e4

 

 

 

3 e4 4 e4 3

3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 .

3

3

9

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x2 3x 5;

y x 2.

Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему Решая полученную систему уравнений, получаем:

x1 3;

x2 1.

После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.3),

26

Рис.3

ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.

 

 

 

 

Рис.4.

 

Площадь фигуры, изображѐнной на рис.4, вычисляется по формуле:

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

S f2 (x) f1(x)

dx .

 

 

 

 

a

 

В нашем случае

f

2

(x) x 2,

f (x) x2 3x 5

, следовательно,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

27

 

1

1

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

S

x 2 x2 3x 5 dx

x2 2x 3 dx

 

x

 

x2 3x

 

 

 

 

3

3

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

( 3)3

 

2

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

( 3)

 

3 ( 3)

 

 

 

 

2

9 9 9 10

 

(кв. ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

Пример 6. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

2

2

 

 

 

x

 

y

1,

x 6.

 

2

2

3

2

 

 

Первое уравнение задаѐт гиперболу, а

уравнение x 6 задаѐт вертикальную

прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой. Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения

b

VOx f 2 (x) dx ,

a

находим объѐм тела (рис.5), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси

Ox :

 

 

6

 

4

 

2

 

 

 

4

 

x3

 

 

6

 

4

 

63

 

 

 

4

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOx

 

3

 

 

x

 

4

dx

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

4 6

 

 

 

 

 

4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

9

 

3

 

 

3

 

9

 

3

 

 

 

9

 

3

 

 

 

8 8 16 (куб. ед.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

Рис.5. Объѐм

тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,

ограниченной линиями

y f (x),

y 0,

 

x a,

x b

 

(a b) , вычисляется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

 

 

формуле

 

 

 

 

 

VOx f 2 (x) dx .

 

 

 

В

 

 

 

нашем

 

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

x2

1,

,

 

y2

 

9

x2 9,

a 2,

 

b 4, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

9

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

x3

 

 

 

4

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOx

 

2

 

 

x

 

 

9

dx

 

 

 

 

9x

 

 

 

 

 

4

 

9 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

9

2

12 12 24 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.

Вариант 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

cos x

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

 

1.

 

 

 

4 5x dx ;

2.

dx ;

3.

 

x e x dx ;

4.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

x2 1

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

dx

 

 

1.

 

 

 

 

 

;

2.

sin3 x cos x dx ;

3. x ln x dx

;

4.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x2

7 2x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

3x 7 dx ;

 

2.

 

 

 

; 3.

 

dx ; 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

x

 

1

 

 

x

 

0

 

 

4

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

;

2.

ex sin(ex ) dx ;

3.

 

ln x dx ;

4.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

2x 1

 

9

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4.

29

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4 sin 4x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3x2 2 dx ;

 

 

 

1.

 

 

 

 

4x 3 dx ;

2.

 

 

 

 

 

 

 

; 3.

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin x)3

1 x2

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2.

x3 ln x dx ;

 

 

3. x2

 

x3 3 dx ;

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

dx

1.

 

3

 

 

 

 

dx ;

2.

 

 

(5x 5)sin 3x dx ;

3.

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2x

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

dx

 

 

2 ;

 

2. (x 5) ln 5x dx ;

3.

 

x2

e1 x3 dx ;

 

 

1

 

 

dx

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2.

 

 

 

( x 2) e3x dx ;

3.

sin2

 

x cos x dx ;

 

4.

e 3

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 e4 5 x

5

 

 

 

 

(9x 5) cos 2x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

dx ; 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

 

 

 

 

Построить

 

фигуру,

ограниченную

заданными линиями, и

вычислить еѐ площадь.

Вариант 0. y x2

Вариант 1. y x2

Вариант 2. y x2

Вариант 3. y x2

Вариант 4. y x2

Вариант 5. y x2

Вариант 6. y x2

Вариант 7. y x2

2x 3;

y x 1.

x 1; y x 2.

6x 4; y 2x 1.

3x 1; y 2x 3.

4x 9;

y x 3.

4x 5; y 3x 1.

2x 9; y 4x 1.

7x 3;

y x 5.

30

Вариант 8.

y x2 5x 17;

y 2x 5.

Вариант 9.

y x2 11x 9;

y 4x 3.

Задание 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 0. y 4x x2 , y 0, x 0, x 3.

Вариант 1.

y sin x,

 

y 0,

x 0,

 

x .

 

Вариант 2.

xy 4,

 

y 0,

x 1,

x 4.

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3.

x

 

y

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4.

y 2

1

x2 ,

y 0.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5.

y tgx,

 

 

y 0,

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Вариант 6.

y

8

,

 

 

 

y 0,

x 2,

x 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7.

y cos x,

y 0,

x

 

,

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

Вариант 8.

y

 

1

x2

1,

y 0,

x 0,

x 3.

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9.

y ctgx,

 

y 0,

x

 

,

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка

 

 

6 y

 

 

y

2x

1

,

y(1) 4.

 

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y f1( x ) f2( y ) (здесь

31

f ( x )

 

6

 

,

f

 

( x ) y ). Запишем его в виде

 

dy

 

6 y

.

Разделив обе

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

части уравнения на

 

y

( y 0 ) и умножив на dx ,

получаем ДУ с разделенными

переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

6dx

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

в левой части которого отсутствуют члены,

содержащие x , и в правой части

которого отсутствуют члены,

содержащие y . Интегрируя обе части последнего

уравнения, получаем

 

dy

 

 

 

6dx

c ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2x 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

y

3ln

 

2x 1

ln

c

 

 

 

 

 

 

(здесь символ

 

 

 

 

 

обозначает какую-либо одну

первообразную,

произвольная

постоянная c0

взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования

получаем общее решение исходного ДУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y c 2x 1 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что здесь постоянная

 

c

может принимать любое действительное

значение,

в частности значение c 0,

 

так как при c 0 получаем функцию y 0 ,

которая также является решением исходного уравнения.

 

 

 

 

Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее

условию

y(1) 4,

 

определим значение

постоянной c так, чтобы

это условие

оказалось выполненным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в общее решение x 1 и

y 4 , получаем 4 c 2 1 1 3 , отсюда

c 4 . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 4

2x 1 3 – искомое решение задачи Коши.

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y2 xy

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Запишем уравнение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y 2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности