4562

2

УДК 630*001(075)

С24

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 1 от 29 января 2016 г.)

Рецензент заведующий кафедрой электротехники и автоматики ФГБОУ ВО Воронежский ГАУ д-р техн. наук, проф. Д.Н. Афоничев

Максименков, А. И.

С24 Основы научных исследований, организация и планирование эксперимента [Текст] : методические указания к лабораторным работам для студентов по направлению подготовки 15.04.02 – Технологические машины и оборудование / А. И. Максименков; Воронеж. – ФГБОУ ВПО «ВГЛТА», 2016.– 43 с.

3

ВВЕДЕНИЕ

При решении задач по ускорению научно-технического прогресса, внедрению результатов научных исследований в производство инновационной деятельности, повышению качества производимой продукции современный инженер должен иметь не только высокий уровень технической подготовки, но и уметь реализовать свои знания с максимальной эффективностью. В связи с этим особое значение приобретает умение выполнять на высоком уровне научные исследования, выявлять оптимальные пути решения задач, а также использовать полученные результаты на практике. Поэтому студент как будущий инженер должен иметь обстоятельные знания по организации научноисследовательской работы.

Программой курса «Основы научных исследований, организация и планирование эксперимента» по направлению подготовки магистров 15.04.02 – Технологические машины и оборудование предусмотрено изучение основ организации и проведения экспериментальных работ, получения и обработки информации, обобщения и анализа результатов испытаний машин, механизмов и их рабочих органов. С этой целью студенты должны получить навыки в количественной оценке статистических характеристик по результатам экспериментов, установлении корреляционных связей между изучаемыми признаками, сглаживании эмпирических данных, проведении регрессионного анализа, обосновании функциональных зависимостей и построении математических моделей, адекватно описывающих изучаемые явления. Получение этих навыков позволит на более высоком уровне решить задачи проектирования, рациональной загрузки и надежной работы машин.

4

Лабораторная работа №1 Анализ экспериментальных данных случайной величины

Цель работы – анализ экспериментальных данных, построение диаграммы накопленных частот и гистограммы.

Ход выполнения работы

Выборочная статистическая совокупность содержит результаты сотен, а иногда и тысяч опытов. При этом экспериментальный материал является труднообозримым и даже отыскание оценок математического ожидания и дисперсии по формулам (1.3) и (1.5) является трудоемкой задачей. Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных x1, x2,…, xn. Обработку этих данных для получения статистических характеристик производят в такой последовательности:

1. Построение вариационного ряда.

Вариационный ряд z1, z2,…, zn получают из исходных данных путем расположения xn (n = 1, 2,…, n) в порядке возрастания от xmin до xmax так, чтобы

xmin z1 z2 ... zn xmax .

Пример 1. Имеется 5 значений экспериментальных данных: x1= 5, x2= 2, x3= 4, x4= 5, x5= 7. Построить соответствующий им вариационный ряд. Реше-

ние: z1= 2, z2= 4, z3= 5, z4= 5, z5= 7.

2. Построение диаграммы накопленных частот Fn(x), являющейся эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму (рис. 1.1) строят на основании значений, получаемых по формуле

где n – число элементов в выборке при x1 < x2.

На оси абсцисс откладывают целые значения опытов xn (или zi). Значение, равное 0, откладывают по оси ординат левее точки xmin. В точке xmin и далее, во всех других точках xn, диаграмма имеет ступенчатый скачок, равный 1/n. Если существует несколько совпадающих значений xn, то в этом месте происходит ступенчатый скачок, равный λ/n, где λ – число совпадающих точек. Ясно, что для величин x>xmax значение диаграммы накопленных частот равно 1. На рис. 1.1 построена диаграмма, соответствующая данным примера 1.

5

Рисунок 1.1 – Диаграмма накопленных частот

3. Построение диаграммы выборки. Гистограмма fn(x) является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f (x). Обычно строят ее следующим образом:

а) находят предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось ox, используя формулу

(xmin+xmax)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего находят границы интервалов. Так, первый интервал лежит в пределах xmin…x1, где

где i=1, 2,…, n, и подсчитывают число наблюдений (опытов) nm, попавших в каждый интервал. Значения величин, попавших на границу xi, относят к i-му интервалу. Сумма всех величин nm равна объему выборки

i 1

7

График, построенный по данным статистического ряда, называется гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладывают значения границ интервалов и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте, соответствующей данному интервалу. Высота каждого прямоугольника равна относительной частоте, деленной на длину интервала.

На рис. 1.2. показаны гистограмма (1), экспериментальная (2), проведенная через середины ступенек изображения и нормальная (3).

Рисунок 1.2 – Гистограмма (1), экспериментальная (2) и нормальная (3) кривые распределения

На рис. 1.2 изображена гистограмма, соответствующая статистическому ряду. Так как сумма всех относительных частот равна единице, то площадь всей гистограммы также равна единице. С увеличением числа опытов n значение каждой частоты становится все ближе к соответствующей вероятности рi. Это утверждение, выражающее требование статистической устойчивости частот, является важнейшей предпосылкой применения статистических методов.

Если одновременно с увеличением числа опытов n увеличивать и количество интервалов, то ломаная, ограничивающая гистограмму сверху, приближается к некоторой кривой, называемой кривой распределения, или кривой плотности вероятности. Она является графиком соотношения между значениями данной случайной величины и их вероятностями. В теории вероятностей это

8

соотношение называется статистическим распределением. Для случайных величин, имеющих разную природу, статистические распределения могут быть различными. Известны, например, распределения Пуассона, Пирсона, биноминальное и многие другие. Среди них существует распределение, называемое нормальным (или гауссовским), которое применяется наиболее часто и играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Основанием для этого служит центральная теорема теории вероятностей. Смысл ее состоит

вутверждении, что сумма достаточно большого числа произвольно распределенных случайных величин распределена приблизительно по нормальному закону и тем точнее, чем больше членов в этой сумме. При этом предполагается, что среди рассматриваемых случайных величин нет такой, влияние которой на сумму существенно преобладало бы по сравнению с остальными случайными величинами. Таким условиям, как правило, удовлетворяет измеряемая величина

воднородной серии опытов, подверженная влиянию большого числа случайных факторов.

Задание

1.Получить вариационный ряд из исходных данных путем расположения их

впорядке возрастания.

2.На основании значений, полученных по формуле (1.1), построить диаграмму накопленных частот.

3.Найти предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось ОХ, используя формулу (1.2).

4.Определить длину интервала по формуле (1.3). Определить середину области измерения выборки каждого интервала по формуле (1.4).

5.Подсчитать относительное количество наблюдений, попавших в данный интервал.

6.Сгруппировать данные и записать в виде статистического ряда (табл. 1.1).

7.Построить гистограмму и кривую нормального распределения.

Варианты заданий

Опыт 1. В ходе проведения экспериментальных исследований при распиловке древесины на круглопильных станках были получены значения удельной работы резания К, МДж/м3.

9

Таблица 1.1 – Значения удельной работы резания К, МДж/м3

Значения К, МДж/м3

Опыт 2. В ходе проведения экспериментальных исследований получены значения усилий сжатия семян лиственницы сибирской, рассортированных в воздушном потоке (фракция – крупная тяжелая).

Таблица 1.2 – Значения усилий сжатия семян

Контрольные вопросы

1.Поясните порядок расчета среднего, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации, среднеквадратической ошибки среднего и точности опыта.

2.Какой график называется гистограммой?

3.Каким образом производится построение вариационного ряда, диаграммы накопления частот и гистограммы выборки случайных величин.

10

Лабораторная работа №2 Определение необходимого объема выборки

Цель работы – определить необходимый объем выборки.

Ход выполнения работы

Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое у , найденное по этой выборке, отличались бы от математического ожидания не более, чем на величину ∆. Это, по существу, задача, обратная предыдущей. Для ее решения необходимо знать оценку дисперсии S2. Здесь можно использовать результаты проведенных ранее исследований. Искомое значение n определяется по формуле

Величину t отыскивают из табл. 1 приложения при уровне значимости q и числе степеней свободы f, связанном с оценкой дисперсии S2. Если эта дисперсия найдена по выборке объема, большего 120, то вместо величины t в формуле (2.1) можно пользоваться величиной η, зависящей только от уровня значимости q.

Значения η,

выражение представляет собой относительную допускаемую ошибку. Учитывая, что отношение S / y 100 % - это коэффициент вариации V, получим

Пример. На основании результатов измерений шероховатости поверхности пиломатериалов найти необходимый объем выборки, при котором среднее отличалось бы от математического ожидания не более чем на ∆=50 мкм с доверительной вероятностью р=0,95. Для определения необходимого объема выборки воспользуемся формулой (1.20), причем вместо t можно подставить в нее значение η. Данной величине р соответствует уровень значимости q=1-p=0,05. Со-