4562

Применение уравнений 5.1–5.3 становится наиболее целесообразным, когда в ходе эксперимента наблюдается при возрастании факторов близкое к пропорциональному возрастание или убывание откликов.

Задание

1. Вычислить коэффициенты регрессии и найти линейное уравнение.

Варианты заданий

Опыт 1. Проведено экспериментальное исследование зависимости предела прочности древесины ζ, МПа (выходная величина), от изменения температуры, t, град, и влажности W, %.

Таблица 5.1 – Результаты опытов

Контрольные вопросы

1.В чем заключается сущность метода наименьших квадратов?

2.Дайте анализ регрессионной модели первого порядка?

3.По каким формулами рассчитываются коэффициенты линейного уравнения регрессии?

22

Лабораторная работа №6 Составление уравнения регрессии второго порядка

Цель работы – получение навыков в составлении уравнений регрессии второго порядка.

Ход выполнения работы

При детальной проверке адекватности выбранной регрессионной модели может оказаться, что она весьма неудовлетворительно описывает объект исследования (модель неадекватна). Как правило, это бывает вызвано неудачным выбором вида математической модели, особенно на первой стадии анализа, когда в качестве исходной априорно принимается регрессионная модель первого порядка (линейная модель).

Так очевидно, что экспериментальную кривую y1 ;y2 …y7 (рис. 6.1), характеризующую зависимость твердости почвы (δ) от ее влажности (W, %), едва ли целесообразно аппроксимировать линейной функцией (линия АВ).

Рисунок 6.1 – Экспериментальная кривая параболического вида

В этом случае характер изменения твердости почвы δ в зависимости от ее влажности (W, %) более точно отражает линия дугообразной формы. Для аппроксимации экспериментальных кривых, помимо линейных, используют параболические, степенные, логарифмические, показательные, экспоненциальные и др. функции.

Следует отметить, что при детальном изучении рабочих процессов часто приходится обращаться к экспериментальным планам второго порядка, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полинома второго порядка. Для трех факторов уравнение регрессии второго порядка записывается в виде

23

где b0 – свободный член;

b1x1 ; b2x2 ; b3x3 – линейные члены;

b11x12 ; b22x22 ; b33x32 – квадратичные члены;

b12x1x2 ; b13x1x3 ; b23x2x3 – члены с парными взаимодействиями.

Уравнение 6.1 имеет сложную структуру, т.к. в нем присутствуют помимо квадратичных членов также члены с парными взаимодействиями двух различных факторов (x1x2 ;x1x3 ;x2x3). Поэтому для решения таких уравнений составляются сложные программы на языке высокого уровня (Бейсик, Фортран), решение которых осуществляется на сложных ЭВМ.

Более простой вид квадратичные функции получают в случае аппроксимации кривых, получаемых при однофакторных экспериментах. Такие кривые могут быть описаны функцией, представляющей собой параболу второго порядка

где x – варьируемый фактор, b0 ; b1 ; b2 – коэффициенты.

Параметры коэффициентов b0; b1; b2 определяются при решении системы трех уравнений

b0n b1 xi b2 xi2 yi ;

Задание

1.Составить таблицу парных значений изучаемых экспериментальных величин.

2.Рассчитать коэффициенты уравнения регрессии второго порядка.

3.Составить уравнение регрессии второго порядка.

Варианты заданий

Опыт 4. При моделировании процесса взаимодействия ротационных рабочих органов были использованы следующие входные параметры: диаметр поросли, глубина обработки почвы, угол заточки рабочего органа. Выходным параметром является давление рабочей жидкости.

24

Таблица 6.1 – Результаты проведенного эксперимента

Контрольные вопросы

1.Поясните, в чем отличие в структуре математических моделей второго порядка от математических моделей первого порядка.

2.В каких случаях составляются уравнения регрессии второго порядка?

3.Проведите сравнительную оценку коэффициентов уравнений регрессии первого и второго порядка.

25

Лабораторная работа №7 Дисперсия воспроизводимости

Цель работы – провести количественную оценку ошибок эксперимента.

Ход выполнения работы

После того как уравнение регрессии получено, приступают к его статистическому анализу. При это решают две основные задачи: оценивают значимость коэффициентов регрессии и проверяют адекватность математической модели. Для выполнения каждой из этих процедур необходимо иметь количественную оценку ошибок эксперимента в целом. Соответствующей характеристикой является дисперсия воспроизводимости, обозначаемая через S2{у}. Рассмотрим способы ее вычисления в зависимости от методики дублирования опытов. Равномерное дублирование опытов. Каждый из N запланированных опытов повторяется одинаковое число n раз, т.е. имеется N серий в каждой из которых ставится n дублированных опытов.

Обозначим результаты опытов первой серии через у11, у12,…, у1n. По ним можно рассчитать дисперсию первого опыта S12

где у1 - среднее по серии дублированных опытов, равное

Число степеней свободы fу этой дисперсии равно сумме чисел степеней свободы дисперсий опытов

26

Необходимыми предпосылками статистического анализа являются нормальность распределения выходной величины и однородность дисперсий опытов. Проверка однородности дисперсий опытов при равномерном их дублировании проводится по критерию Кохрена.

Неравномерное дублирование. Каждый j-й опыт повторяется в этом случае некоторое число nj раз. Как и в предыдущем случае вычисляются дисперсии

Числа степеней свободы дисперсий различны: fj=nj-1. Дисперсия воспроизводимости для этого случая определяется по формуле

Для проверки однородности дисперсий в данном случае необходимо воспользоваться критерием Бартлетта.

Задание

1.Рассчитать дисперсию для опыта.

2.Определить число степеней свободы f.

Варианты заданий

Опыт 6. Зависимость удельного износа лезвий плужных лемехов из стали Л-53 с твердостью 500…550 единиц по Бриннелю при работе на обыкновенном черноземе глинистого механического состава от его твердости в слое 0,20…0,25 м.

Контрольные вопросы

1.При каком условии дисперсии называются однородными?

2.О чем свидетельствует однородность дисперсий?

3.Какими способами осуществляется проверка однородности дисперсий?

28

рессии b12. В четвертый столбец заносят результаты опытов (отклики) y1 , … , y 4 . Каждый из откликов y1 , y2 , y3 , y 4 – это средние арифметические из п- параллельных опытов. Число параллельных опытов (повторность) для каждой строки матрицы должно быть одинаково. В пятом столбце записываются после окончательной обработки результатов значения отклика, рассчитанные по уравнению

Число столбцов в матрице планирования, представленной в табл. 8.1, может быть увеличено для значений отклика в параллельных опытах, а также для записи необходимых в дальнейшем вычислений.

Запись условий проведения эксперимента в виде таблицы является алгебраической формой записи. Но условия проведения эксперимента можно изобразить геометрически. Для этого в области определения находится точка, соответствующая основному (нулевому) уровню варьирования факторов (рис. 8.1).

Рисунок 8.1 – Геометрическое представление ПФП 22

Через нее проводят новые оси координат, параллельные осям ~1 и ~2 на- x x

туральных значений факторов. Выбирают масштаб по новым осям так, чтобы интервал варьирования каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опыта будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона будет параллельна осям координат x1 и x2.

29

В основе расчета коэффициентов регрессии математической модели, полученной по результатам ПФП, лежит метод наименьших квадратов. Свойства матриц ПФП значительно облегчают расчет коэффициентов регрессии по результатам соответствующего эксперимента, сводя его к простейшим вычислениям. Сначала нужно найти коэффициенты регрессии линейной математической модели, записанной для нормализованных факторов:

столбец x2, а для b12 — столбец x1x2, т.е. значение отклика в каждой строке умножают на соответствующий знак в матрице, суммируют и делят на число строк матрицы ПФП, например, для табл. 8.1

Задание

1.Найти коэффициент регрессии линейной математической модели (8.2).

2.Составит математическую модель.

30

Варианты заданий

Опыт 1. Проведено экспериментальное исследование зависимости предела прочности древесины ζ, МПа (выходная величина), от изменения температуры, t, град, и влажности W, %.

Таблица 8.2 – Результаты опытов

Контрольные вопросы

1.Что называется полными факторными планами?

2.Особенности матриц планов ПФП 2k.

3.Что такое симметричность, нормированность, ортогональность?