4562
.pdf31
Лабораторная работа №9 Ортогональное центральное композиционное планирование
Цель работы – получить линейное описание зависимости отклика от каждого из варьируемых факторов
Ход выполнения работы
При построении планов используют различные критерии оптимальности планирования. Наиболее широкое применение получили следующие планы: 1) ортогональные, 2) ротатабельные, 3) D-оптимальные.
При ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрессии оцениваются независимо с минимальными дисперсиями, причем факторы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пересчета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо при неортогональных планах.
Ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения выходной величины объекта с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.
Точность оценивания коэффициентов регрессии характеризуется эллипсоидом рассеяния их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был минимальным, называется D- оптимальным. В настоящем разделе рассматривается ортогональное, ротатабельное центральное композиционное планирования (ОЦКП и РЦКП) второго порядка и D-оптимальное. В случае ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования (МП). В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов определяются независимо друг от друга.
Планирование. Указанный выше критерий оптимальности плана приводит к построению МП с ортогональными вектор-столбцами, в том числе и для x0 и xi2. Ортогонализацию столбцов x0 и xi2 производят с помощью преобразования
~2 |
2 |
|
1 |
N |
2 |
2 |
~ |
2 |
|
|
xi |
xi |
|
|
xig |
xi |
xi |
|
, |
(9.1) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
N g 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где N – общее число строк МП. Нетрудно заметить, что в этом случае условие ортогональности выполняется, т.е.
N |
~ |
2 |
N |
|
2 |
1 N |
2 |
|
(9.2) |
|
|
|
xog xig |
|
xig 0. |
||||||
xog xig |
|
|
||||||||
g 1 |
|
|
g 1 |
|
|
N g 1 |
|
|
|
|
Кроме столбцов x0 и xi2 ортогонализации подлежат вектор-столбцы xi2 и xl2. Из условия ортогональности преобразованных вектор-столбцов xi2 и xl2, имеющего вид
32
N ~2 2 |
0, |
(9.3) |
xig xlg |
g 1
выводится уравнение для расчета величины звездного плеча:
4 4 4N 2 |
N |
N |
|
N |
0, |
(9.4) |
ф |
ф |
|
0 |
|
|
|
где – величина звездного плеча; Nф |
– число точек ПФЭ; |
N0 – число цен- |
||||
тральных точек; N – число «звездных» точек.
В табл. 9.1 приведены параметры ОЦКП для числа факторов n=2; 3; 4.
Таблица 9.1 – Параметры ОЦКП для n = 2; 3; 4
n |
|
N |
N0 |
Nф |
N |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
1,0 |
4 |
1 |
4 |
9 |
3 |
1,215 |
6 |
1 |
8 |
15 |
4 |
1,414 |
8 |
1 |
16 |
25 |
|
|
|
|
|
|
Матрица ОЦКП для трех независимых переменных приведена в табл. 9.2,
где |
~2 |
2 |
|
|
xi |
xi 0,73. |
|
|
|
|
Точно так же, как и при проведении ПФЭ, из-за случайного характера из- |
|||
мерения выходной величины y в каждой g-й точке, |
|
x1g ; x2 g ;...;xng (где g= 1, |
||
xg |
||||
2, …, N), приходится проделывать m параллельных опытов и результаты наблюдений осреднять:
|
1 |
m |
|
|
yg |
ygk . |
(9.5) |
||
|
||||
|
m k 1 |
|
||
Проверка воспроизводимости. Методика проверки воспроизводимости эксперимента с помощью критерия Кохрэна изложена в разделе 7. В том случае, если
во всех строках МП число параллельных опытов одинаково (mg=m=const) и при- |
|||||||
нята гипотеза об однородности построчных оценок дисперсий s2 |
y , оценку ге- |
||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
неральной дисперсии воспроизводимости 2 |
y определяют по формуле |
||||||
|
|
|
|
ВОС |
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
||
sВОС2 y |
sg2 y . |
(9.6) |
|||||
|
|
||||||
|
|
N g 1 |
|
|
|||
Получение математической модели объекта. Оценки коэффициентов урав- |
|||||||
нения регрессии определяют по формуле |
|
|
|||||
1 |
|
N |
|
(9.7) |
|||
bi |
|
|
xig yg , |
|
|||
N |
|
|
|||||
2 |
|
g 1 |
|
|
|||
|
xig |
|
|
|
|
|
|
g 1
33
Таблица 9.2 – Матрица ОЦКП для трех независимых переменных
Группы точек |
опыта№ |
x0 |
x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
x12 |
|
|
x22 |
x32 |
x1x2 |
x1x3 |
x2x |
Примечание |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
|
-1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
|||||
|
2 |
+1 |
+1 |
|
-1 |
|
|
-1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
|||||
|
3 |
+1 |
-1 |
|
+1 |
|
|
-1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
3 |
|
|||||
Nф |
4 |
+1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
-1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ядро |
|
|||||||||||||||||
|
5 |
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
|
+1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6 |
+1 |
+1 |
|
-1 |
|
|
+1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
|
|||||
|
7 |
+1 |
-1 |
|
+1 |
|
|
+1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
|||||
|
8 |
+1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
+1 |
|
0,27 |
|
|
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,73 |
|
|
|
точки |
|
|
9 |
+1 |
-1,215 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
+0,75 |
|
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
10 |
+1 |
+1,215 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
+0,75 |
|
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
N |
11 |
+1 |
0 |
|
-1,215 |
|
|
0 |
|
|
|
-0,73 |
|
+0,75 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
Звездные |
|
||||
14 |
+1 |
0 |
|
0 |
|
|
+1,215 |
-0,73 |
|
-0,73 |
+0,7 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||||
12 |
+1 |
0 |
|
+1,215 |
|
|
0 |
|
|
|
-0,73 |
|
+0,75 |
+0,7 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
13 |
+1 |
0 |
|
0 |
|
|
-1,215 |
-0,73 |
|
-0,73 |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка |
|
N0 |
15 |
+1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
-0,73 |
|
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
Нулевая |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а дисперсии оценок bi коэффициентов – по формуле |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
bi |
|
1 |
|
2 |
|
y . |
|
|
|
|
(9.8) |
|||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
sВОС |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m xig2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверку значимости оценок bi коэффициентов производят с помощью t- |
|||||||||||||||||||||||
критерия Стьюдента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ti |
|
|
|
bi |
|
s bi |
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N m 1 степенями свободы (m – число параллельных опытов). Уравнение регрессии после преобразования переменных запишется в форме
n |
n |
n |
xi2 |
xi2 |
yˆ b0 bi xi bil xi xl bii |
||||
i 1 |
i ;l 1 |
i 1 |
|
(9.10) |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|||
b0* bi xi |
bil xi xl |
bii xi2 , |
|
|
i 1 |
i ;l 1 |
i 1 |
|
|
|
i l |
|
|
|
34
n |
xi2 |
., т.е. находится величина b0 b0* b11x12 ... bkk xk2 , где |
||||||
где b0* b0 bii |
||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
x12g |
|
|
xkg2 |
|
|
|
x2 |
|
g 1 |
,...,x 2 |
|
g 1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
N |
k |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициенты регрессии от друга по формуле
b*0 , b1,..., bn ; b12bkk определяются независимо друг
|
N |
|
|
xig yg |
|
b |
g 1 |
, |
|
||
i N |
|
|
|
xig2 |
|
g 1
где i – означает порядковый номер столбца матрицы эксперимента; i=0, 1, 2, , k. Дисперсия коэффициентов регрессии определяется по формуле
|
|
s2 b |
|
sy2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
xig2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g 1 |
|
|
|
|
Дисперсия b0 определяется по формуле |
|
|
|
|||||
s2 b |
s2 b* x 2 2 s2 |
b ... x 2 2 s2 |
b |
, |
||||
0 |
0 |
1 |
11 |
|
k |
kk |
|
|
а дисперсию коэффициентов b* оценивают по формуле |
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
s2 bii . |
|
|
|
|
s2 b0* s2 b0 xi2 |
|
(9.11) |
|||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
Удобнее коэффициенты регрессии и их дисперсии рассчитывать по формулам
b0* p1 0 y ; bi p3 iy ; bii p5 iiy ; bij p7 ily ;
k
b0 b0* p1 : p3 bii ;
1
s b0* p2 sy ; s bi p4 sy ; s bii p6 sy ; s bij p8 sy ;
s 2 b0 s 2 b0* p1 : p3 2 ks2 bii .
Значения коэффициентов pi приведены в табл. 9.3.
Проверку адекватности описания объекта полиномом второго порядка производят с помощью F-критерия Фишера методами.
Поскольку определяемые по результатам эксперимента коэффициенты уравнения служат лишь оценками истинных значений коэффициентов уравнения регрессии, полученное уравнение является лишь выборочным из некоторой генеральной совокупности.
35
Таблица 9.3 – Значения коэффициентов р 105 для ортогональных планов |
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
Число факторов k |
|
||
|
|
|
|
||
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
р1 |
11111 |
6667 |
4000 |
3704 |
|
р2 |
16667 |
9141 |
5000 |
4811 |
|
р3 |
50000 |
23041 |
12500 |
7220 |
|
р4 |
25000 |
12500 |
6250 |
6250 |
|
р5 |
33333 |
25820 |
20000 |
19245 |
|
р6 |
40825 |
30234 |
22361 |
21934 |
|
р7 |
70711 |
48001 |
35355 |
26870 |
|
р8 |
50000 |
35355 |
25000 |
25000 |
|
Правомерно сравнить предсказание yˆ , полученное с помощью выборочного уравнения (9.12), и истинное значение yист. В этом случае речь может идти о точности предсказания значения выходной величины в заданной точке факторного пространства xig (i = 1, 2, …, n; g = 1, 2, …, N) по полученному полиному, которая оценивается дисперсией
2 ˆ |
2 * |
n |
2 |
2 |
|
|
n |
2 2 2 |
|
|
|
|
l |
|
. (9.12) |
yg |
b0 |
xig |
|
bi |
|
xig xlg |
bil |
|
i |
|
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i;l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий ортогональности является недостаточно сильным критерием оптимальности для планирования второго порядка. При ортогональном планировании второго порядка дисперсии оценок коэффициентов меняются при повороте координат, т.е. точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова. Плотность информации о поверхности отклика, содержащуюся в уравнении регрессии, можно оценить с помощью обратной величины стандартизированной дисперсии предсказания 1
N 2 yˆ . Для различных точек факторного пространства эта величина принимает неодинаковые значения. Поэтому имеет смысл рассматривать информационные контуры – кривые или поверхности равной плотности информации. При ортогональном планировании второго порядка информационные контуры не являются концентрическими окружностями (сферами), а поэтому точность предсказания выходной величины по различным направлениям неодинакова. Наилучшим с этой точки зрения служит такое математическое описание, которое дает одинаковую точность предсказания отклика yˆ во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра планирования, т.е. информационные кон-
36
туры являются концентрическими окружностями (сферами). Такое математическое описание получается при ротатабельном композиционном планировании.
Задание
1.Проверить воспроизводимость эксперимента с помощью критерия Кохрена.
2.Получить математическую модель объекта.
3.Проверить адекватность описания объекта.
Варианты заданий
Опыт 1 Для получения математических моделей адекватных реальному процессу
получения формоустойчивой уплотненной древесины была проведена серия экспериментов (И. Н. Медведев), дающих количественную и качественную информацию о процессе получения формоустойчивой уплотненной здоровой и фаутной древесины березы.
Вэксперименте постоянными факторами являются: древесина березы
–здоровая и фаутная; начальная влажность древесины – Wн = 8 12 %; конечная влажность древесины – Wк = 10 %; размер образцов для прессова-
ния – 55х55х90 мм.
Варьируемыми факторами (входными) являются: Х1 – концентрация стабилизатора, К %; Х2 – степень прессования, ε %; Х3 – температура термообработки, Т ºС.
Исследуемые факторы (выходные) для здоровой древесины березы: У1 объемное разбухание при водопоглощении, %; У2 усталостная прочность при чистом изгибе, МПа; У3 объемное разбухание при влагопоглощении, %; У4 водопоглощение, %; У5 влагопоглощение после 30 сут., %.
Исследуемые факторы (выходные) для фаутной древесины березы: У1 усталостная прочность при чистом изгибе, МПа; У2 объемное разбухание при водопоглощении, %; У3 объемное разбухание при влагопоглощении, %;
37
У4 водопоглощение, %; У5 влагопоглощение, %.
Матрица планирования была реализована в ходе эксперимента. Значения входящих факторов представлены в табл. 9.4
Таблица 9.4 – Матрица планирования эксперимента для здоровой и фаутной древесины березы
|
|
Значение факторов |
|
|
|
|
|
|
Концентрация стаби- |
Степень прессова- |
Температура термооб- |
№ |
лизатора, К % |
ния, ε % |
работки, |
|
|
|
Т ˚С |
|
|
|
|
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
10 |
20 |
120 |
|
|
|
|
2 |
30 |
20 |
120 |
|
|
|
|
3 |
10 |
50 |
120 |
|
|
|
|
4 |
30 |
50 |
120 |
|
|
|
|
5 |
10 |
20 |
160 |
|
|
|
|
6 |
30 |
20 |
160 |
|
|
|
|
7 |
10 |
50 |
160 |
|
|
|
|
8 |
30 |
50 |
160 |
|
|
|
|
9 |
10 |
35 |
140 |
|
|
|
|
10 |
30 |
35 |
140 |
|
|
|
|
11 |
20 |
20 |
140 |
|
|
|
|
12 |
20 |
50 |
140 |
|
|
|
|
13 |
20 |
35 |
120 |
|
|
|
|
14 |
20 |
35 |
160 |
|
|
|
|
15 |
3,18 |
35 |
140 |
|
|
|
|
16 |
36,82 |
35 |
140 |
|
|
|
|
17 |
20 |
9,77 |
140 |
|
|
|
|
18 |
20 |
60,23 |
140 |
|
|
|
|
19 |
20 |
35 |
106,36 |
|
|
|
|
20 |
20 |
35 |
173,64 |
|
|
|
|
21 |
20 |
35 |
140 |
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1. Дать определение планам второго порядка.
38
2.Какие условия должны выполняться для получения квадратичных моделей по плану второго порядка?
3.В чем отличие планов второго порядка от линейных планов?
4.Какие критерии оптимальности используют при построении планов?
5.Какой план второго порядка называются композиционным?
39
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пижурин, А. А. Основы научных исследований в деревообработке: учебник для вузов / А. А. Пижурин, А. А. Пижурин. - М. : ГОУ ВПО МГУЛ,
2005. - 305 с.
2.Космин, В.В. Основы научных исследований (Общий курс): Учебное пособие / В.В. Космин. - 2-e изд. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ ИНФРА-М, 2014. -
214 с
3.Кожухар, В. М. Основы научных исследований: Учебное пособие / В. М. Кожухар. - М.: Дашков и К, 2013. - 216 с.
40
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1 – Значения t-критерия Стьюдента (q – уровень значимости, f – число степеней свободы)
f |
|
q |
f |
q |
|
f |
|
q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
0,01 |
|
0,05 |
|
0,01 |
|
0,05 |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12,71 |
|
63,66 |
14 |
2,14 |
|
2,98 |
27 |
2,05 |
|
2,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4,30 |
|
9,92 |
15 |
2,13 |
|
2,95 |
28 |
2,05 |
|
2,76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3,18 |
|
5,84 |
16 |
2,12 |
|
2,92 |
29 |
2,05 |
|
2,76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2,78 |
|
4,60 |
17 |
2,11 |
|
2,90 |
30 |
2,04 |
|
2,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2,57 |
|
4,03 |
18 |
2,10 |
|
2,88 |
40 |
2,02 |
|
2,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2,45 |
|
3,71 |
19 |
2,09 |
|
2,86 |
50 |
2,01 |
|
2,68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2,36 |
|
3,50 |
20 |
2,09 |
|
2,85 |
60 |
2,00 |
|
2,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2,31 |
|
3,36 |
21 |
2,08 |
|
2,83 |
80 |
1,99 |
|
2,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2,26 |
|
3,25 |
22 |
2,07 |
|
2,82 |
10 |
1,98 |
|
2,63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2,23 |
|
3,17 |
23 |
2,07 |
|
2,81 |
120 |
1,98 |
|
2,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
2,20 |
|
3,11 |
24 |
2,06 |
|
2,80 |
200 |
1,97 |
|
2,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2,18 |
|
3,05 |
25 |
2,06 |
|
2,79 |
500 |
1,96 |
|
2,59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
2,16 |
|
3,01 |
26 |
2,06 |
|
2,78 |
|
1,96 |
|
2,58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|