4539

Пример. Найти оптимальные смешанные стратегии игры, заданной

Сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Найдем оптимальную стратегию игрока А – (S*A ):

f(x) = X1 + X2 min. X1 + 8X2 1,

10X1 + 4X2 1,

3X1 + 5X2 1,

X1 , X2 0.

отсюда

Найдем оптимальную стратегию игрока В – (S*B ):

g(y) = y1 + y2 + y3 max.

y1 + 10y2 + 3y3 1,

8y1 + 4y2 + 5y3 1, y1 , y2 , y3 0.

Таким образом, применяя свою первую чистую стратегию с вероятно-

стью 0,124 и вторую – с вероятностью 0,876, игрок А выигрывает величину

4,76. Игрок В, применяя свою вторую чистую стратегию с вероятностью 0,25

и третью – с вероятностью 0,75, проигрывает величину 4,76, иначе он проиг-

рывает больше.

Игра два на два (2 х 2)

Рассмотрим игру, в которой у игроков А и В по две стратегии. Платежная матрица имеет вид

20

А2 a21 a22

Рассмотрим случай, когда игра не имеет седловой точки.

Теорема 4. Пусть S*A и S*B – оптимальные смешанные стратегии игры с

n

а ij qj < ,

j 1

имеет место равенство pi = 0. А если pi > 0, то

n

а ij qj = .

j 1

ка В:

а11 q1 + а12 q2 = , а21 q1 + а22 q2 = ,

q1 + q2 = 1.

Рассмотрим первую систему. Вычитая из первого равенства второе, по-

лучая

(а11 - а12) p1 + (а21 - а22) p2 = 0.

21

Подставим P2 = 1 - P1, тогда

(а11 - а12) p1 + (а21 - а22) (1- p1 ) = 0,

отсюда оптимальная смешанная стратегия для игрока А – А*( p1, p2)

P1 = (а22 - а21)/( а11 - а12 + а22 - а21),

P2 = 1- P1 = (а11 - а12)/( а11 - а12 + а22 - а21).

цена игры

= ( а11 а22 - а21 а12)/ ( а11 - а12 + а22 - а21).

Рассуждая аналогично, для определения оптимальной стратегии игрока В получая

q1 = (а22 - а12)/( а11 - а12 + а22 - а21),

q2 = (а11 - а21)/( а11 - а12 + а22 - а21).

Задание по лабораторной работе Найти решение игровых ситуаций графически, аналитически и пред-

ставить игру в виде задачи линейного программирования.

Допустим в матричной игре два игрока имеют возможность выбора из нескольких вариантов решений. Аi (i 1 m) – стратегии игрока А,

Вj ( j 1 n) – стратегии игрока В. Значения выигрышей представлены в мат-

рицах по вариантам.

Практическое занятие 5

Вероятностные модели теории принятия решений. Рисковые ситуации

Цель работы: Изучение методов принятия решения на основе вероятност-

ных моделей. Рисковые ситуации.

22

В рамках исследуемой проблемной ситуации анализируемый субъект экономики как правило подвержен воздействию внешних факторов. При этом точные значения этих факторов (т.е. конкретное состояние внешней среды) заранее неизвестны. В этом случае лицо принимающее решение должно выявить возможные состояния внешней среды и оценить эффектив-

ность каждого из своих возможных решений в различных условиях. После чего необходимо выбрать предпочтительное решение. Если при этом извест-

ны вероятности состояний внешней среды, то такие условия называют усло-

виями риска, а если неизвестны – то неопределенности.

Этапы принятия решений в условиях риска или неопределенности:

1)Формирование цели принятия решения;

2)Построение экономико-математической модели задачи принятия решения (происходит так же, как и в случае определенности внешних факто-

ров);

3)Формирование множества альтернативных решений;

4)Выявление неопределенных внешних факторов, влияющих на дос-

тижение цели, формирование возможных состояний внешней среды;

5) Расчет эффективности вариантов решения при различных состояни-

ях внешней среды, формирование матрицы ценности альтернатив;

6)Оценка вероятности состояний внешней среды (если возможно);

7)Выбор предпочтительного варианта решения.

Матрица ценности альтернатив имеет вид: Таблица 1.

23

В этой матрице величина uij обозначает ценность i-го решения при

реализации j-го состояния внешней среды.

Для каждой альтернативы можно найти ее пессимистичную и оптимистичную оценки (соответственно наименьшее uimin и наибольшее значения

uimax в соответствующей строке матрицы).

Выбор решения в условиях неопределенности Для этого существует ряд критериев: максиминный критерий Вальда,

максимаксный критерий («оптимистический»), критерий Гурвица, критерий Лапласа.

Критерий Вальда соответствует пессимистической оценке: выбирается та альтернатива, для которой пессимистическая оценка наибольшая, т.е. мак-

Максимаксный критерий: выбирается альтернатива с наибольшей оп-

тимистической оценкой (лучшая из лучших).

Критерий Гурвица (взвешенный критерий): альтернативы оцениваются

оптимизма. Значение =0 соответствует пессимистичной оценке (т.е. крите-

рию Вальда), =1 соответствует оптимистичной оценке (т.е. максимаксному критерию). Промежуточные значения соответствуют взвешенному, т.е.

пессимистично-оптимистичному, взвешенному подходу. Задав фиксирован-

ное значение коэффициента оптимизма, выбирают альтернативу с наиболь-

шей оценкой.

Критерий Лапласа: альтернативы оцениваются с учетом всего диапа-

24

Матрица ценностей представлена в табл. 2. Там же приведены значения критериев. Лучшие по каждому из критериев решения показаны жирным шрифтом:

Таблица 2.

Методика принятия решения в условиях риска.

Если каким-либо образом (например, экспертным методом) оценены вероятности состояний внешней среды ( p j ), то для оценки альтернативных

решений используются критерии Байеса-Лапласа или Ходжеса-Лемана:

коэффициент доверия к вероятности (т.е. к экспертам).

Варианты индивидуальных заданий Вариант 1. Предприятие имеет три альтернативных варианта своей ры-

ночной стратегии. Оценка его прибыли в зависимости от состояния внешней среды приведена в табл. 3.

А) Принятие решения в условиях неопределенности.

Необходимо найти оптимальные стратегии при пессимистической оценке (по критерию Вальда), оценке Лапласа, взвешенной оценке (по крите-

рию Гурвица). Значение коэффициента оптимизма выбрать самостоятельно.

Результаты выбора решения отразить в таблице, аналогично табл. 2. Сделать выводы о применимости критериев.

Б) Принятие решения в условиях риска.

25

Пусть получены экспертные оценки вероятностей состояний внешней среды p1=0.5, p2=0.35, p3=0.15. Оценить альтернативные решения по крите-

рию Байеса-Лапласа. Результаты вычисления ценности альтернативных ре-

шений занести в ту же таблицу. Выбрать наилучшее решение. Сравнить ре-

зультат выбора с полученными ранее результатами выбора решения в усло-

виях неопределенности.

Таблица 3.

Варианты 2-14.

Постановка задачи такая же, как и для варианта 1. Численные значения

матрицы ценности альтернатив (т.е. оценок прибыли предприятия) приведе-

ны в табл. 4.

Таблица 4.

Ранжирование критериев

26

Пусть все критерии можно ранжировать (строго упорядочить) по важно-

сти так, что при последовательном рассмотрении критериев вначале исполь-

зуется первый (наиболее важный с точки зрения ЛПР) критерий, затем вто-

рой и т.д. Это позволяет на множестве допустимых решений задать лексико-

графическое отношение предпочтения.

Определение 5. Допустимое решение x лексикографически предпоч-

тительнее допустимого решения x ,если выполняется одно из условий:

мальное, если не существует допустимого решения x , для которого выпол-

шение последней ( m-ой ) задачи. Полученное при этом лексикографически оптимальное решение является одной из эффективных точек, однако выбор

27

порядка ранжирования существенно влияет на то, какая из эффективных то-

чек будет найдена.

Так как область допустимых решений очередной задачи представляет собой множество оптимальных решений предшествующих задач, то она бы-

стро сужается до одной точки, лишая свободы выбора при максимизации по-

следующих критериев. Попытка избавиться от этого недостатка предпринята в методе последовательных уступок.

Метод последовательных уступок (компромиссов)

Здесь так же, как и в предыдущем походе, вначале производится каче-

ственный анализ относительной важности критериев. На основании такого анализа критерии нумеруются в порядке убывания важности.

Ищем максимальное значение f1* первого критерия f f1(x) на всем множестве допустимых решений. Затем назначаем величину «допусти-

мого» снижения (уступки) 1 критерия f1(x) и определяем наибольшее

т. д. Таким образом, оптимальным решением многокритериальной задачи считается всякое решение последней из задач последовательности:

1)найти max f1(x) f1* в области x X ;

2)найти max f2 (x) f2* в области, задаваемой условиями

m) найти max fm (x) fm* в области, задаваемой условиями

28

Очевидно, что если все i =0, то метод уступок находит только лекси-

кографически оптимальные решения, которые доставляют первому по важ-

ности критерию наибольшее на Х значение. В другом крайнем случае, когда величины уступок очень велики, решения , получаемые по этому методу,

доставляют последнему по важности критерию наибольшее на Х значение.

Поэтому величины уступок можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета частных критериев от жесткого лексикографическо-

го.

Метод последовательных уступок не всегда приводит к получению

только эффективных точек, но среди этих точек всегда существует хотя бы одна эффективная. Это следует из следующих утверждений [2].

Утверждение. Если X Rn - множество замкнутое и ограниченное, а

функции fi(x) непрерывны, то решением m-й задачи из (6) является, по крайней мере, одна эффективная точка.

Утверждение. Если x - единственная (с точностью до эквивалент-

ности) точка, являющаяся решением m-й задачи из (6), то она эффективна.

Примеры решения многокритериальной задачи методом после-

довательных уступок

Пример. Решить методом последовательных уступок многокритериаль-

ную задачу из примера.

f1(x)=7x1 +2x3-x4+x5 max , f2(x)=x1-5x2-4x3+x4 max

при ограничениях

5x1+2x2 +x3+x4 +x5=11;

xi 0 для i=1,2,...,5.

29