4539

Рисунок 3.

Результат решения данной задачи представлен на рис. 4.

Рис. 4.

Здесь мы видим, что оптимальный план перевозок товара между складами следующий:

-со склада 1 товар в количестве трех единиц транзитом через склад 2 отправлен на склад 3, который является истинным пунктом назначения;

-со склада 1 товар в количестве семи единиц транзитом через склады 2 и 5 отправлен на склад 6, где одна единица товара используется для пополнения запаса на этом складе;

-со склада 6 товар в количестве шести единиц транзитом через склад 7 отправлен на склад 8, который также является истинным пунктом назначения;

-со склада 4 избыток товара в количестве четырех единиц отправлен на склад 8 транзитом через склад 7.

10

Стоимость перевозок при этом минимальна и составляет 149 условных денежных единиц.

Задание

1.Найдите решение в Excel задачи, если c12=10 у.е., c23=7 у.е., c25=9

у.е., c43=5 у.е., c45=4 у.е., c47=12 у.е., c54=6 у.е., c56=8 у.е., c67=3 у.е., c78=8 у.е.

2.В транспортной сети, показанной на рисунке, осуществляются

перевозки из пунктов 1 и 2 в пункты 5 и 6 через транзитные пункты 3 и 4. Стоимость перевозок показана на этом же рисунке.

Постройте транспортную модель с промежуточными пунктами и решите задачу в Excel.

3.Пусть в предыдущей задаче пункты 1 и 2 связаны транспортной магистралью со стоимостью перевозки в $1, а стоимость перевозки из пункта

1в пункт 3 возросла до $5. Найдите оптимальный план перевозок.

4.На рисунке показана транспортная сеть перевозок автомобилей между тремя заводами (пункты 1, 2 и 3) и тремя дилерами (пункты 6, 7 и 8) через два распределительных центра (пункты 4 и 5). Стоимость перевозок (в

сотнях долларов) составляет: c14=1, c15=0.3, c24=0.8, c25=4.3, c34=2, c35=4.6,

c45=0.5, c46=0.2, c47=4.5, c48=6, c58=1.9.

a) Сформулируйте транспортную задачу и найдите ее оптимальное решение с помощью программы Excel.

b) Предположим распределительный центр (пункт 4) может продать 240 автомобилей самостоятельно. Найдите новое оптимальное решение.

5. Пусть в предыдущей задаче производство автомобилей на первом заводе возросло с 900 до 1500 автомобилей, при неизменном спросе на них.

11

Найдите новое оптимальное решение.

6. Пусть в задаче 4 спрос на автомобили первого дилера вырос с 1100 до 1300, второго – с 1000 до 1200, а третьего – с 1200 до 1300 автомобилей. Производство автомобилей осталось на прежнем уровне. Найдите новое оптимальное решение.

Практическое занятие 3

Решение задач нелинейного программирования в среде Mathcad и

Excel

Цель работы Получить навыки записи и решения задачи распределе-

ния мощности в ЭЭС с помощью современных вычислительных средств.

Оптимальное распределение активной мощности между тремя ТЭС, выпол-

нить распределение активной мощности между тремя ТЭС без учета (1а) и с учетом (1б) изменения потерь мощности в сети.

Дать геометрическую интерпретацию поведения целевой функции в области экстремума и построить ее линии уровня для пункта 1а. Оптималь-

ное распределение активной мощности между тремя ТЭС с учетом уравне-

ний баланса мощностей во всех узлах сети Решить задачу с учетом уравнений узловых напряжений для узлов схе-

мы сети. Оптимальное распределение реактивной мощности между тремя ТЭС с учетом уравнений баланса мощностей во всех узлах сети. На основе декомпозиции задачи оптимизации в ЭЭС при найденном оптимальном рас-

пределении активных мощностей выполнить оптимальное распределение ре-

активных мощностей между источниками. Целевой функцией взять суммар-

ные потери мощности в сети.

Указания Для пункта 1а.

1)Целевой функцией взять суммарный расход топлива в ЭЭС

2)Для решения использовать метод неопределенных множителей Ла-

гранжа.

3) Независимыми переменными взять P1 и P2. Балансирующим пунк-

том взять узел 3.

12

4) Геометрическую интерпретацию поведения целевой функции в об-

ласти минимума дать в координатах P1, P2. Трехмерный график и линии уровня построить в Mathcad с помощью матрицы, которую получить как зна-

чения целевой функции c шагом по P1 и P2 примерно 4 … 5 МВт. 5) Вычислить целевую функцию в точке минимума.

Для пункта 1б.

1)Целевой функцией взять суммарный расход топлива в ЭЭС

2)Учет изменения потерь мощности в сети выполнить с помощью функций относительных приростов, для этого: записать функцию суммар-

ных потерь мощности в сети; получить производные по независимым пере-

менным P1 и P2.

3) Реактивные мощности и напряжения считать неизменными величи-

нами.

4) Вычислить потери мощности и целевую функцию в точке минимума.

Для пункта 2.

1)Целевой функцией взять суммарный расход топлива в ЭЭС

2)Вместо общего ограничения по балансу мощности в сети использо-

вать уравнения балансов активной и реактивной мощности в независимых узлах сети (во всех узлах кроме балансирующего).

3)Напряжение в балансирующем (базисном) узле задано по величине и

по фазе.

4)В качестве уравнений баланса использовать уравнения узловых на-

пряжений, записанные в полярных координатах по напряжениям (U, δ) и в декартовых для остальных переменных: Здесь Gi,j и Bi,j – элементы расши-

ренной матрицы узловых проводимостей.

5)Реактивные мощности считать неизменными величинами.

6)Искомыми величинами являются не только активные мощности станций, но и напряжения на шинах станций 1 и 2 по модулю и фазе.

7)Вычислить потери мощности и целевую функцию в точке минимума.

Проверить баланс мощностей по сети в целом.

13

Для пункта 3.

1) Целевой функцией считать суммарные потери мощности в сети.

Формулу для суммарных потерь мощности записать через напряжения узлов сети: где Ui, Uj и δi, δj – напряжения по модулю и фазе по концам k-ой ветви: m – число ветвей в сети; Gk – активная проводимость продольной ветви (ве-

щественная часть обратной величины продольного сопротивления Zk).

2)Найденные в предыдущем пункте значения активных мощностей станций считать неизменными величинами.

3)Для решения оптимизационной задачи распределения реактивной мощности между станциями использовать решающий блок Mathcad.

4)Вычислить потери мощности и целевую функцию в точке минимума.

Вотчете по лабораторной работе 2 привести все распечатки вычислений и таблицу результатов по форме (в качестве числовых значений использованы данные контрольного примера по работе):

Таблица Пример таблицы результатов расчета

Параметр

Задача оптимизации

14

При защите лабораторной работы уметь объяснить изменение резуль-

татов в различных постановках задачи оптимизации.

Практическое занятие 4 Антагонистические игры

Цель работы Получить навыки решения игровых ситуация и их пред-

ставление в виде задачи линейного программирования.

Пусть игрок А имеет m чистых стратегий А1, А2, … Аi,…Аm, а игрок В имеет n чистых стратегий B1, B2, … Bj,…Bn. Такая игра называется игрой m n . Если игрок А пользуется стратегией Аi, а игрок В пользуется стратеги-

ей Вj, то обозначим через аij выигрыш игрока А, если аij > 0, или проигрыш игрока А, если аij < 0. Очевидно, что – это одновременно проигрыш игрока В, если аij > 0, и выигрыш игрока В, если аij < 0.

Тогда мы можем привести игру к матричной форме, т.е. составить мат-

рицу, которая называется платежной матрицей, или матрицей игры:

Каждая строка этой матрицы соответствует некоторой стратегии игро-

ка А, а каждый столбец – некоторой стратегии игрока В.

Пример игры. Два игрока выкидывают на пальцах числа, причем чет-

ное число пальцев – это выигрыш игрока А, нечетное – проигрыш игрока А.

Для простоты введем ограничение – игроки выкидывают от 1 до 3 пальцев.

15

Проанализируем матрицу игры: для каждой чистой стратегии игрока А определим минимальный выигрыш, т.е. определим

i = min аij. j

В нашем примере = -3, т.е. игрок А проигрывает 3 очка. Это число называется нижней ценой игры, а соответствующая ему стратегия называется максиминной. В нашем примере стратегия А1 максиминная, т.е. из всех наи-

худших ситуаций выбирают наилучшую. Эта величина ( ) – гарантирован-

ный «выигрыш» игрока А, какую бы стратегию ни выбрал игрок В.

Меньше нижней цены игры игрок А никогда не «выиграет».

Игрок В старается максимально уменьшить свой проигрыш. Для этого

определяется верхняя цена игры

Соответствующая стратегия называется минимаксной. В нашем приме-

ре будет две минимаксных стратегии В1 и В2. При этом игрок В проигрывает

4 очка.

16

Утверждение. В любой матричной игре справедливо неравенство, т.е. нижняя цена игры никогда не превосходит верхнюю.

Игра с седловой точкой

Пример. Пусть игра задана следующей платежной матрицей:

цена игры = = = 4 min max - лучшая стратегия для игрока В – (В2)

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то если игрок будет пользоваться смешанными стратегиями, т.е. при каждом ходе менять страте-

гию случайным образом, то игрок А выигрывает больше, чем , а игрок В проигрывает больше, чем .

Рассмотрим платежную матрицу (1). Пусть игрок А использует чистые стратегии А1, А2, … Аi,…Аm с вероятностями p1, p2, … pi,…pm, причем

m

pi =1, а игрок В использует свои чистые стратегии В1, В2, … Вj,…Bn с ве-

i 1

n

роятностями q1, q2, … qj,… qn, причем q j = 1.

j 1

Тогда набор SA ( p1, p2 , pi , pm ) называется смешанной стратеги-

ей игрока А, а набор SB = (q1, q2, … qj,… qn) - смешанной стратегией игрока В.

17

Поскольку игроки выбирают свои стратегии случайным образом, то вероятность выбрать комбинацию АiВj по теории вероятности равна (Pi qj).

При использовании смешанных стратегий игра становится случайной, тогда говорят о среднем значении выигрыша, который определяется платежной функцией

называются оптимальными, т.е. дающими каждой стороне максимальный возможный для нее средний выигрыш (для А) или минимальный средний проигрыш (для В), если они образуют седловую точку для платежной функ-

ции (2), т.е. если выполняется следующее условие:

f(SA, S*B ) f(S*A ,S*B ) f(S*A , SB).

Величина = f(S*A , SB) называется ценой игры.

Утверждение. В смешанных стратегиях любая матричная игра имеет

седловую точку, или каждая матричная игра с нулевой суммой имеет реше-

ние в смешанных стратегиях.

Решение игры в смешанных стратегиях

Утверждение. Для того чтобы смешанные стратегии S*A и S*B были оп-

тимальными в игре с матрицей (1) и ценой игры , необходимо и достаточно,

чтобы выполнялись следующие неравенства:

18

(аij >0, i=1, m ,j = 1, n ), тогда цена игры > 0. Найдем оптимальную стратегию

игрока А – (S*A ).

Разделим левую и правую части в выражении (3) на положительную величину :

меньше ( min), тогда имеем следующую задачу линейного программирования:

Если Х* = ( X1* , X*2 ,… X*i … X*m ) – оптимальный план задачи (5) – (7), а

минимум функции f(x) = f(x*) = f*, то цена игры при этом составит = f1* ,

шанная стратегия игрока А.

Для игрока В используя выражение (4), получим

n

g(y) = y j max.

j 1

n

а ij yj 1, i = 1, m .

j 1

yj 0; j = 1, n .

19