Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

4499

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
1.08 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания для самостоятельной работы студентов

по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика

Воронеж 2016

3

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Линейная алгебра [Текст] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 46 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)

 

Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа

ВГУ

Зубова С.П.

4

Содержание Введение……………………………………………………………………………4 1.Матрицы и определители………………………………………………………5

2.Системы линейных уравнений………………………………………………10

3.Векторная алгебра……………………………………………………………..15

4.Аналитическая геометрия…………………………………………………….28

5.Кривые второго порядка……………………………………………………..36

Вопросы для контроля. ………………………………………………………….44

Библиографический список…………………………………………………...45

5

Введение

Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам линейной алгебры, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели, при самостоятельной работе решаются следующие задачи:

-самостоятельное усвоение студентом теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательстве основных теорем и выработка умения самостоятельно иллюстрировать его примерами и задачами; самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов; наряду с изучением основных теоретических результатов при самостоятельной работе с учебными материалами, необходимо обращать внимание на пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к техническим наукам;

-закрепление теоретического материала и выработка умения самостоятельно применять математические методы в различных приложениях.

Врезультате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов курса математики;

-уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса математики, решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач самостоятельно выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по математике;

-иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

Студент по результатам освоения дисциплины «Линейная алгебра» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

6

 

 

 

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицей А размера m n называется таблица из

m n чисел

a

a

...

a

 

11

12

 

1n

 

a21

a22

...

a2n

 

A

 

 

...

 

... ...

...

 

 

 

 

 

 

 

am2

...

 

 

am1

amn

 

Часто для краткости пишу A aij . Числа, из которых состоит матрица,

называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент a21 находится на пересечении второй строки и первого столбца:

 

a

a

...

a

 

 

 

11

 

12

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

a22

...

a2n

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

...

...

...

 

 

 

 

am2

...

 

 

am1

amn

Элементы

a11, a22 , a33 ,...

называются элементами главной диагонали

матрицы или просто главной диагональю матрицы.

Матрица A, состоящая из одной строки называется строкой (векторстрокой), матрица, состоящая из одного столбца называется столбцом (векторстолбец). Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается AT , элементы транспонированной матрицы и исходной связаны соотношением aijT a ji .

Если матрица А имеет размер n n , то такую матрицу называют квадратной матрицей порядка n . Две матрицы одинакового размера A aij

7

и B

 

bij

 

 

называют равными (при этом пишут А = В), если

aij bij ,

i 1,..., m ;

j 1,...n .

( т.е., если у них соответственно равны элементы,

стоящие на одинаковых местах в таблице).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммой двух матриц одинакового размера m n

A

 

 

 

и B

 

bij

 

 

 

aij

 

 

 

 

 

называют матрицу C

 

 

размера m n такую, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cij aij

bij ,

i 1,..., m ; j 1,...n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Нулевой матрицей 0 называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц:

1.А+В=В+А (коммутативность),

2.(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность),

3.А+0=А.

Произведением матрицы размера m n

A

 

aij

 

на число называют

 

 

матрицу того же размера

C

 

 

 

такую,

что

cij

aij

i 1,..., m ;

 

cij

 

 

j 1,...n . Умножение

матрицы

A

 

 

 

размера m n на матрицу

 

aij

 

 

B bij размера определено лишь для случая, когда число столбцов

матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица

8

C

 

cij

 

размера

, у которой

,

Иначе говоря, элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

k

 

 

cij ailblj

ai1b1 j ai 2b2 j

aik bkj

l 1

 

 

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица вида

 

 

1

0

0

 

 

 

0

1

0

 

E

.

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0 1

 

 

 

 

Каждой квадратной матрице можно сопоставить некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через |A| или A Прежде чем дать общее определение этого понятия, определим его для матриц 2-го и 3-го порядков.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число

9

Общее понятие определителя дадим с помощью рекуррентной схемы, а именно, считая, что понятие определителя известно для матриц

п–1-го порядка, дадим его для матриц п-го порядка (фактически так и вводилось понятие определителя для матриц 3-го порядка).Определителем

матрицы A aij порядка п называется число

Определитель матрицы A принято обозначать A , или A , или det A.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы и транспонированной матрицы не изменяется т.е.

 

a11

a12

a13

 

a11

a21

a31

 

 

a21

a22

a23

 

a12

a22

a32

 

 

a31

a32

a33

 

a13

a23

a33

 

2. Общий

множитель в

строке или столбце можно вынести за знак

определителя, т.е.

ka11

ka12

ka13

 

a11

a12

a13

a21

a22

a23

k

a21

a22

a23

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю:

a11

a12

a13

 

0

0

0

0

a31

a32

a33

 

4. Определитель, имеющий две равные строки или два равных столбца, равен нулю:

a11 a12 a13

a11 a12 a13 0 a31 a32 a33

10

5. Определитель, две строки или два столбца которого пропорциональны, равен нулю:

a11

a12

a13

 

ka11

ka12

ka13

0

a31

a32

a33

 

6. При перестановке двух строк или двух столбцов определителя он умножается на –1:

 

a11

a12

a13

 

a21

a22

a23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1 c1

b2 c2

b3 c3

 

 

 

 

b1

b2

b3

 

c1

c2

c3

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

a21

a22

 

a23

 

 

 

a21

a22

a23

 

a21

a22

a23

 

 

 

 

a31

a32

 

a33

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

a11

a12

a13

 

a11 ka21

a12 ka22

a13 ka23

 

a21

a22

a23

 

a21

a22

a23

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Пусть дана матрица

Выберем k строк и k столбцов в этой матрице и составим новую матрицу из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Определитель полученной матрицы называется минором порядка k. Например, если выбрать вторую и третью строки, первый и третий столбец, то получим минор второго порядка

11

Mij .

Рангом матрицы называется максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля.

Алгебраическим дополнением Aij элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i j есть число четное, или число, противоположное минору, если i j нечетно, т.е. Aij ( 1)i j

~

Обозначим через A матрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы A .

Квадратная матрица B называется обратной к квадратной матрице A того же порядка, если AB BA E . При этом B обозначается A 1 .

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

21

 

1

 

1

~T

 

1

A12

A22 ...

A

 

 

 

 

A

 

 

 

... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1n

A2n ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An1 An2

...

Ann

 

 

 

A

 

 

 

11

 

 

A

 

 

 

 

A12

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

A1n

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

21

...

 

n1

 

 

 

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

22

...

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

,

A

 

 

 

 

A

 

 

... ...

 

...

 

 

 

A2n

 

 

...

 

Ann

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы A , деленные на ее определитель. Отметим, что обратная матрица A 1 определена однозначно т.е. существует только одна обратная матрица для заданной квадратной невырожденной матрицы

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Линейным алгебраическим уравнением называется уравнение вида a1x1 a2 x2 ... an xn b,

где ai и b – числа, xi - неизвестные.

12

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]