4499

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания для самостоятельной работы студентов

по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика

Воронеж 2016

3

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Линейная алгебра [Текст] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 46 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)

4

Содержание Введение……………………………………………………………………………4 1.Матрицы и определители………………………………………………………5

2.Системы линейных уравнений………………………………………………10

3.Векторная алгебра……………………………………………………………..15

4.Аналитическая геометрия…………………………………………………….28

5.Кривые второго порядка……………………………………………………..36

Вопросы для контроля. ………………………………………………………….44

Библиографический список…………………………………………………...45

5

Введение

Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам линейной алгебры, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели, при самостоятельной работе решаются следующие задачи:

-самостоятельное усвоение студентом теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательстве основных теорем и выработка умения самостоятельно иллюстрировать его примерами и задачами; самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов; наряду с изучением основных теоретических результатов при самостоятельной работе с учебными материалами, необходимо обращать внимание на пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к техническим наукам;

-закрепление теоретического материала и выработка умения самостоятельно применять математические методы в различных приложениях.

Врезультате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов курса математики;

-уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса математики, решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач самостоятельно выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по математике;

-иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

Студент по результатам освоения дисциплины «Линейная алгебра» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

6

Часто для краткости пишу A aij . Числа, из которых состоит матрица,

называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент a21 находится на пересечении второй строки и первого столбца:

матрицы или просто главной диагональю матрицы.

Матрица A, состоящая из одной строки называется строкой (векторстрокой), матрица, состоящая из одного столбца называется столбцом (векторстолбец). Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается AT , элементы транспонированной матрицы и исходной связаны соотношением aijT a ji .

Если матрица А имеет размер n n , то такую матрицу называют квадратной матрицей порядка n . Две матрицы одинакового размера A aij

7

.

Нулевой матрицей 0 называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц:

1.А+В=В+А (коммутативность),

2.(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность),

3.А+0=А.

B bij размера определено лишь для случая, когда число столбцов

матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица

8

,

Иначе говоря, элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица вида

Каждой квадратной матрице можно сопоставить некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через |A| или A Прежде чем дать общее определение этого понятия, определим его для матриц 2-го и 3-го порядков.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число

9

Общее понятие определителя дадим с помощью рекуррентной схемы, а именно, считая, что понятие определителя известно для матриц

п–1-го порядка, дадим его для матриц п-го порядка (фактически так и вводилось понятие определителя для матриц 3-го порядка).Определителем

матрицы A aij порядка п называется число

Определитель матрицы A принято обозначать A , или A , или det A.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы и транспонированной матрицы не изменяется т.е.

определителя, т.е.

3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю:

4. Определитель, имеющий две равные строки или два равных столбца, равен нулю:

a11 a12 a13

a11 a12 a13 0 a31 a32 a33

10

5. Определитель, две строки или два столбца которого пропорциональны, равен нулю:

6. При перестановке двух строк или двух столбцов определителя он умножается на –1:

8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Пусть дана матрица

Выберем k строк и k столбцов в этой матрице и составим новую матрицу из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Определитель полученной матрицы называется минором порядка k. Например, если выбрать вторую и третью строки, первый и третий столбец, то получим минор второго порядка

11