4360

21

MATLAB. Написать программу для построения графика полученной функции в

MATLAB.

Решение в MATLAB. Решение неоднородного дифференциального уравнения в символьном виде имеет следующий вид:

>> y=dsolve('2*D2y+24*Dy+72*y=exp(-2*t)','y(0)=2','Dy(0)=3')

y = 63/(32*exp(6*t))+t/(8*exp(2*t))+(119*t)/(8*exp(6*t))-(4*t-1)/ (32*exp(2*t))

>> y=simplify(y)

y = 1/(32*exp(2*t)) + 63/(32*exp(6*t)) + (119*t)/(8*exp(6*t))

грамму, представленную на рисунке 3.5.

22

Рисунок 3.5 Программа для вывода графика функции y(t) 0,125[0,25e 2t (15,75 119t)e 6t ]

После запуска программы на экране в специальном окне (рисунок 3.6) отображается график функции y(t) 0,125[0,25e 2t (15,75 119t)e 6t ] .

Рисунок 3.6 График функции y(t) 0,125[0,25e 2t (15,75 119t)e 6t ]

3.3. Индивидуальные задания по лабораторной работе

Задача 1. Найти решение однородного дифференциального уравнения

2y 16y 30y 0

3.4. Контрольные вопросы к лабораторной работе

1. Для какой цели используются обыкновенные дифференциальные уравнения в теории автоматического управления?

2.Что называется характеристическим уравнением системы (объекта)?

3.Как используются характеристические уравнения для решения обыкновенных дифференциальных уравнений?

4.Что является решением обыкновенного дифференциального уравне-

ния?

5.Как выполняется решение неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений в системе MATLAB?

24

Лабораторная работа №4. Решение разностных уравнений рекуррентным методом и методом z-преобразования в системе MATLAB (4 часа)

Цель работы: Получение навыков решения разностных уравнений рекуррентным методом и методом z-преобразования в сис-

теме MATLAB.

4.1 Решение разностных уравнений рекуррентным методом

Простейшим способом решения разностных уравнений является рекуррентный метод, позволяющий получить выражение для yk через предыдущие

значения решения yk 1 , yk 2 , … и значение входного воздействия. Затем, ис-

пользуя полученное рекуррентное выражение, можно последовательно вычислять значения решения.

Задача 1. Найти первые пять значений решения разностного уравнения

y0 1,5y 1 0,6y 2 0,1 0 1,5 1- 0,6 0,5 -1,8 .

Аналогично по рекуррентной формуле (4.2) находим значения решения при

Решение в MATLAB:

%Задать начальные значения yk_2=0.5; yk_1=1;

%Создать вспомогательные массивы g=[]; y=[]; kmax=5;

%Организовать цикл

i=0:kmax; for k=i

gk=0.1*k; g=[g;gk]; yk=-0.6*yk_2-1.5*yk_1+gk; y=[y;yk];

На графике, показанном на рисунке 4.1, приведены значения функции gk 0,1k и найденные начальные значения решения yk . Следует отметить,

что решениями разностных уравнений являются дискретные (решѐтчатые) функции. Именно их значения соединены отрезками, показанными на рисунке 4.1. Их приводят, чтобы подчеркнуть, сделать более наглядным характер (монотонный или колебательный) соответствующих дискретных функций.

Рисунок 4.1 Начальные значения решение разностного уравнения yk и его правой части gk

26

Чтобы проиллюстрировать колебательный характер решения разностного уравнения можно увеличить верхнее значение для переменной цикла (например, принять его равным 25). Графическое решение разностного уравнения при данном значении показано на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 Значения решения разностного уравнения yk и его правой части gk

4.2. Решение разностных уравнений методом z-преобразования

Задача 2. Найти методом z-преобразования решение разностного уравне-

теоремой запаздывания имеем:

Z{yk 1} z 1 y(z) , Z{yk 2 } z 2 y(z) .

27

По таблице 4.1 z-изображений находим также Z{1[k]} z /(z 1) . Подставляя z-изображения вместо переменных в (4.3) и группируя подобные члены, по-

Теперь для решения уравнения достаточно найти оригинал полученного выражения

Для этого вынесем за скобки z, а оставшуюся дробь разложим на простейшие

Таким образом, решение заданного уравнения имеет вид yk 16,67 1[k] 16,33 (0,7)k 32 (0,8)k .

28

Таблица 4.1 Изображения основных непрерывных и дискретных функций

Для вычисления yk в системе MATLAB запишем следующую простую программу (скрипт) на M-языке:

%Задать начальные значения yk_2=0; yk_1=0;

%Создать вспомогательные массивы y1=[]; y2=[];

%Организовать цикл

kmax=25;

i=0:kmax; for k=i

y1=[y1; 16.67+16.33*0.7^k-32*0.8^k]; yk=(-1.12*yk_2+3*yk_1+2)/2;

В результате выполнения данной программы в окне команд будет отображен следующий результат вычислений:

Здесь в столбце «y1k» помещены результаты вычисления решения разностного уравнения, а в столбце «y2k» показаны значения, вычисленные рекуррентным способом; как видно, соответствующие значения в обоих столбцах совпадают c точностью первого знака после десятичной точки (запятой). Если же десятичные значения коэффициентов A и B представить 50/3 и 49/3, то совпадение будет с точностью до четвертого знака после десятичной точки. График полученного решения показан на рисунке 4.3.

30

Рисунок 4.3 График решения разностного уравнения

4.3. Индивидуальные задания по лабораторной работе

Задание 1. Найти значения y0 y12 решения следующего разностного уравнения рекуррентным методом:

yk 0,8yk 1 0,012yk 2 0,01yk 3 0,5k ,

при y 1 0 , y 2 1, y 3 0,5 .

Задание 2. Найти значения y0 y12 решения следующего разностного уравнения рекуррентным методом:

yk 0,6yk 1 0,08yk 2 2 1[k] 0,2k ,

при y 1 0,5 , y 2 1.

Задание 3. Найти методом z-преобразования решения следующих разностных уравнений при нулевых начальных условиях и построить их графики (использовать MATLAB):

1)yk 0,6yk 1 0,08yk 2 0,5k ;

2)yk yk 1 0,34yk 2 1[k] 0,6k ;

3)3yk 1,8yk 1 0,28yk 2 4,5k .