4166

где c – потребление домохозяйства определенной структуры, y – доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелированы, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 ед в 2 раза больше, чем при доходе до 50 ед. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:

Требуется.

1.Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

2.Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

3.Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.

Задание 7

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

, (3.2)

где – потребление;

–заработная плата;

–дивиденды домохозяйства j в период t.

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии и должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении, а есть только совокупное потребление всех

домохозяйств, т. е.

.

Требуется.

1.Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели .

2.Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки

известная с точностью до .

3. Определить оценки параметров и .

Задание 8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

,(3.4)

21

где – потребление домохозяйства j в период t;

–индекс цен в период t;

–число членов и – доход домохозяйства j в период t.

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии , , и должны

оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

.

Требуется.

1.Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели на основе всех имеющихся данных.

2.Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3.Определить вектор оценок параметров .

Задание 9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Таблица 3.3

Требуется.

1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для =5, для =10 и для =15 наблюдений при уровне

значимости =0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2. Для уровня значимости =0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

Задание 10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

22

Для ошибки уравнения выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка.

Требуется.

1.Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.

2.Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра

авторегрессии первый вектор оценок параметров и .

3. Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.

4. Определить следующую оценку и сравнить оценки r, и друг с другом.

3.3 Рекомендуемая литература по изучению темы дисциплины из списка: 1, 2, 3.

Форма контроля практической работы – индивидуальное задание, эссе.

Модуль 2. Эконометрические модели Тема 4. . Модели с коррелирующими факторами

4.1. Вопросы для самостоятельного изучения темы:

Вопрос 1. Опишите процедуру оценки параметров экономерической модели с помощью рекуррентных методов?

Вопрос 2. В чем метода главных компонент?

Вопрос 3. Каковы проблемы использования моделей с главными компонентами?

Вопрос 4. В чем суть метода Ширли Алмон?

4.2. Практические задания для выполнения самостоятельной работы студентов

4.2.1 Решение типовых задач Задание 1

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

yt= α0 + α1x1t + α2x2t +α3х3t + ɛt (t =1,…,Т)

имеются данные из таблицы 4.2.

24

Требуется.

1.Оценить уравнение с помощью метода главных компонент, если известно ,что первые две главные компоненты учитывают 98,97% изменчивости матрицы факторов и формируются следующим образом:

Z=X*b=X*.

1.Построить точечный прогноз математического ожидания целевой

переменной y0 для значений экзогенных переменных (х10,х20, х30)' =(8,0; 16,0; 6,0)'.

Решение.

1.Определим матрицу главных компонент

Z=

Оценки параметров рассчитываются следующим образом:

c= (Z'Z)-1 *Z'* y=

Главные компоненты, соответствующие заданным значениям факторов,- z1= 8*0,126867 + 16* 0,233389 + 6* 0,964071= 10,53359;

z2= 8*0,56329 + 16* 0,783052+ 6*(-0,26369)= 15,453. 2. Прогнозное значение целевой переменной-

^y0= 14,95867 +2,202281*10,53359+0,163657*15,453=40,69.

4.2.2 Задачи для самостоятельной работы Задание 2

Имеется линейное двухфакторное уравнение регрессии

yt= α0 + α1x1t + α2x2t + ɛt (t =1,…,Т).

Требуется.

1.Рассмотреть в общем виде трендовое выравнивание как метод устранения коллинеарности.

25

2.Показать, что при трендовом выравнивании оценки параметров регрессии остаются неизменными.

Задание 3

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

yt= α0 + α1x1t + α2x2t +α3х3t + ɛt (t =1,…,Т),

имеются следующие данные.

Требуется.

1.Определить корреляционную матрицу R и содержащейся в этих данных размер коллинеарности как det(R).

2.Рассчитать размер коллинеарности, в случае если из уравнения выводится переменная х2.

3.Учесть дополнительную внешнюю информацию, что α1 =1,5α2, и определить размер коллинеарности в этом случае.

4.Построить точечный прогноз математического ожидания целевой

переменной у0 для значений экзогенных переменных (х10,х20, х30)' =(8,0; 16,0; 6,0)':

а) при использовании исходного уравнения;

б) при отбрасывании из уравнения экзогенной переменной х2; в) при использовании внешней информации из п.3.

Задание 4

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

yt= α0 + α1x1t + α2x2t +α3х3t + ɛt (t =1,…,Т)

имеются данные из задания 4.2.

Требуется.

1.Определить гребневые оценки параметров для гребневой константы, равной 0,5 и 0,8.

2.Построить точечный прогноз математического ожидания целевой

переменной у0 для значений экзогенных переменных (х10,х20, х30)' =(8,0; 16,0; 6,0)' по обоим оцененным уравнениям.

4.3 Рекомендуемая литература по изучению темы дисциплины

26

из списка: 1, 2, 3.

Форма контроля практической работы – индивидуальное задание.

Тема 5. . Модели с лаговыми зависимыми переменными

5.1. Вопросы для самостоятельного изучения темы:

Вопрос 1. Какие проблемы возникают при построении моделей с лаговыми переменными?

Вопрос 2. Что представляет собой модель Койка?

Вопрос 3. Перечислите основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные?

Вопрос 4. Каковы особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей?

5.2. Практические задания для выполнения самостоятельной работы студентов

5.2.1 Решение типовых задач Задание 1

Связь между ВНП и денежной массой исследуется с помощью следующей модели:

Установлено, что не коррелированны и гомоскедастичны. Получены оценки

Требуется.

1.Представить исходную модель в виде геометрической модели с распределенными лагами.

2.Определить реакцию дохода в году если денежная масса в году

увеличилась на 1 единицу.

Решение.

1.Геометрическая модель с распределенными лагами будет выглядеть следующим образом:

2.Некумулированная реакция дохода на единичное увеличение денежной массы в году составит 0,3 ·

Кумулированная реакция

5.2.2 Задачи для самостоятельной работы

27

Задание 2

Имеется модель с лаговыми эндогенными переменными.

Требуется.

1. Представить модель в общем виде в матричной форме записи

и пояснить специфику матрицы Х.

2. Выяснять, какими свойствами должен обладать вектор оценок параметров

Исходить из гомоскедастичности и отсутствия автокорреляции ошибок. 3. Дать 3 модели с лаговыми переменными, объясняющие потребление

домашних хозяйств. В качестве экзогенной переменной использовать доход.

Задание 3

Имеется модель Койка

как частный случай модели с распределенными лагами.

Требуется.

1.Показать, что это уравнение является моделью с лаговыми эндогенными переменными.

2.Показать распределение лагов для y=0,5 и y=0,8.

3.Определить средний лаг.

Задание 4

Имеется следующая модель с распределенными лагами:

где .

Требуется.

1. Определить коэффициенты реакции на для первых трех периодов.

2.Определить веса отдельных для j=0,…,2 в распределении лагов.

3.Преобразовать модель в уравнение с конечным числом переменных.

5.3Рекомендуемая литература по изучению темы дисциплины из списка: 1, 2, 3.

Форма контроля практической работы – индивидуальное задание, реферат.

Тема 6. . Системы взаимозависимых эконометрических моделей

28

; ; .

Матричная форма записи модели

.

2. Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для , необходимо и достаточно, чтобы следующая матрица имела полный ранг:

Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для идентифицируемо.

Для того, чтобы можно было идентифицировать уравнение для , необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица

.

Ранг этой матрицы также равен 2, также совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для идентифицируемо.

6.2.2 Задачи для самостоятельной работы

Задание 2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

;

;

,

где - потребление;

- инвестиции;

- государственные расходы;

- валовый национальный продукт в период t.

Требуется:

1.Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель.

2.Представить структурные уравнения в матричной форме.

3.Построить соответствующую прогнозную форму.

4.Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5.Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 3

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

;

30