Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3322

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

529.44 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежская государственная лесотехническая академия»

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 080102 – Мировая экономика, 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Воронеж 2010

ББК 65в631

Глухов, Д. А. Эконометрика [Текст] : методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 080102 – Мировая экономика, 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит / Д. А. Глухов ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». − Воронеж, 2010. – 36 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 1 от 25 сентября 2009 г.)

Рецензент д-р техн. наук, проф. В.Д. Волков

Лабораторная работа № 1 Построение и анализ линейной модели парной регрессии

Цель работы: на основе исходных данных построить и провести анализ линейной модели парной регрессии.

Теоретические сведения

Линейная модель парной регрессии представляет собой уравнение вида

yx = a + b x ,

(1.1)

где y x – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая переменная (признак фактор).

Данное уравнение позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака y x , подставляя в него фактические значения фактора x .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу параметры a и b находятся из решения системы линейных уравнений

a n + b ∑xi = ∑yi ;

i=1

(1.2)

∑xi + b

∑xi

2 = ∑xi yi ,

i=1

где n – число наблюдений.

Решая систему уравнений (1.2) относительно параметров a и b получим

a = y − b x , b =

− y x

x y

(1.3)

x 2 − x 2

где

x =

∑xi ,

y =

∑yi ,

x y

∑yi

xi , x2 =

∑xi

2 .

n i=1

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy , который можно рассчитать по формуле

rxy =b

σ x

(1.4)

σ y

	1	n	1	n
где σ x =		∑(xi − x) 2 = x 2 − x 2 ; σ y =		∑( yi − y)2 = y 2 − y 2 .

	n i=1		n i=1

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: −1 ≤ rxy ≤1. Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при rxy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость), чем

ближе к нулю, тем линейная связь слабея.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции rxy 2 , называемый коэффициентом де-

терминации

r 2	=1 −	σост		2	,	(1.5)
r 2	=1 −				,	(1.5)
xy		σ	2
			y

			1	n
где σост	2	=		∑( yi − yx i )2 .

			n i=1

Для качества модели по относительным отклонениям по каждому наблюдению, определяют ошибку аппроксимации

A	=	yi − y	xi	100 % .	(1.6)



i		yi

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F- критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для линейной модели регрессии может быть определено через коэффициент детерминации rxy 2 по следующей формуле

F =	rxy	2		(n − 2) .	(1.7)
	− rxy		2
1

Фактическое значение F-критерия Фишера (1.7) сравнивается с табличным значением Fтабл (α; k1 ; k2 ) при уровне значимости α и степенях свободы k1 = m и k2 = n − m −1, где m – число параметров при переменной x в (1.1). При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Впарной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения

вцелом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из парамет-

ров определяется его стандартная ошибка: mb и ma . Кроме того, стандартная ошибка определяется для линейного коэффициента корреляции mr .

Стандартные ошибки определяется из соответствующих выражений

mb =

Sост

;

(1.8)

σx

Sост

∑xi

ma =

i=1

;

(1.9)

σx

1 − r

mr =

(1.10)

n − 2

∑( yi − yx )2

где Sост =

i=1

– корень остаточная дисперсия на одну степень сво-

n − 2

боды.

Фактические значения t-критерия Стьюдента для параметров b, a и линей-

ного коэффициента корреляции rxy определяется из выражений
tb =	b	;		(1.11)
tb =	mb	;		(1.11)
	mb
ta =	a		;	(1.12)
ta =	ma		;	(1.12)
	ma
tr =	a	;		(1.13)
tr =	mr	;		(1.13)
	mr

Далее фактические значения t-критериев сравниваются с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n − 2) . Если фактическое значение t-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость данного параметра уравнения регрессии. Доверительные интервалы для параметров регрессии a и b определяются как

b± tтаблmb и a ± tтаблma .

Впрогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказы-

ваемое yпр значение как точечный прогноз y x , при xпр = x , т.е. путем подста-

новки в уравнение регрессии yx = a + b x соответствующего значения x . По-

этому он дополняется расчетом стандартной ошибки yпр , т.е. myпр , и соответст-

венно интервальной оценкой прогнозного значения yпр

yпр − yпр ≤ yпр ≤ yпр + yпр ,

(1.14)

где yпр = myпрtтабл; myпр – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения

1		(xпр − x)2
myпр = Sост 1 + n	+			.	(1.15)
		n σx	2

Задание к работе

1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 1.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

									Таблица 1.1

№	x	y	x y	x 2	y 2	y x	y − y x	(y − yx )2	Ai ,%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
…
Сумма
Среднее
значение

σ 2

Примечание: столбцы 7, 8, 9 заполняются после выполнения п.2 задания к работе, столбец 10 после п.3.

2. Построить линейное уравнение парной регрессии y x от x вида (1.1), найдя его параметры a и b из выражений (1.3).

3.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции (1.4), коэффициент детерминации (1.5) и ошибку аппроксимации (1.6).

4.Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F- критерия (1.7) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).

5.Оценить статистическую значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. Необхо-

димо рассчитать фактические значения t-критерия для a , b и rxy (1.11), (1.12) и

(1.13) и сравнить их с табличным значением (см. приложение 2). Далее рассчитать доверительные интервалы параметров регрессии a и b.

6. Выполнить прогноз yпр при прогнозном значении xпр , составляющем

D, % от среднего уровня x . Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза (1.15) и его доверительный интервал (1.14).

7. На одном графике построить исходные данные (зависимость y от x ) и теоретическую прямую (рассчитанную по модели 1.1).

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 2 Построение и анализ нелинейной модели парной регрессии

Цель работы: на основе исходных данных построить и провести анализ нелинейных моделей парной регрессии.

Теоретические сведения

Регрессионные модели нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК. Рассмотрим некоторые функции.

Нелинейная логарифмическая функция

yx = a + b ln x	(2.1)
приводится к линейному виду с помощью замены
z = ln x .	(2.2)
В результате подстановки получается уравнение

8
yz = a + b z .	(2.3)

Оценка параметров полученной линейной модели (2.2) проводится при помощи МНК.

Согласно данному методу параметры a и b находятся из решения системы линейных уравнений

	n		n
a n +b ∑zi = ∑yi ;
	i=1	i=1			(2.4)
	n	n		n	(2.4)
a ∑zi +b		∑zi	2	= ∑zi yi ,
	i=1	i=1		i=1

где n – число наблюдений.

Решая систему уравнений (2.4) относительно параметров a и b получим

a = y −b z , b =

− y z

z y

(2.5)

z2 − z 2

где z = 1 ∑zi ,

y =

∑yi ,

z y

= 1 ∑yi zi ,

= 1 ∑zi

2 .

n i=1

Нелинейная степенная функция

yx = a xb

(2.6)

приводится к линейному виду логарифмированием

ln yx = ln(a xb ); ln yx

= ln a + b ln x .

(2.7)

Делая следующие подстановки

Y =ln y ;

X =ln x ;

A =ln a ,

(2.8)

получаем линейное уравнение

= A + b X .

(2.9)

Параметры модели (2.9) оцениваются на основе МНК, путем решения системы уравнений аналогичной (2.4).

Параметр b модели (2.9) соответствует одноименному параметру модели

искомой модели (2.6), а её параметр a находится из выражений (2.8)
a = AA .	(2.10)

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции

где

σост

σy 2 = 1 ∑n ( yi −

n i=1

2= 1 ∑n ( yi − yxi

n i =1

ρxy =	1 −	σ	ост		2	,	(2.11)
			ост

		σ		2
				y
y)2 – общая	дисперсия						результативного признака y,
)2 – остаточная дисперсия.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака

ρxy	2 =1 −	σост		2	=	σобъясн		2	,	(2.12)
		σ	2			σ	2
			y				y

			1	n
где σобъясн	2	=	1	∑( yxi	− y)2 .
			n i=1

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом нелинейного уравнения регрессии по F-критерию Фишера

F =	ρxy	2		n − m −1	.	(2.13)
	− ρxy		2	m
1

где ρxy2 – индекс детерминации, n – число наблюдений, m – число параметров

при переменной x. Фактическое значение F-критерия (2.13) сравнивается с табличным при уровне значимости α и числе степеней свободы k1 = m (для факторной суммы квадратов) и k2 = n − m −1 (для остаточной суммы квадратов).

Задание к работе

1. Построить и провести анализ нелинейной логарифмической функции yx = a + b ln x .

1.1.Для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

1.2.Построить нелинейное логарифмическое уравнение парной регрессии yx от x вида (2.1), найдя его параметры a и b из выражений (2.5), предвари-

тельно сделав замену (2.2).

Таблица 2.1


№	x	z	y	z y	z2	y 2	y x	y − y x	(y − yx )2	Ai ,%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

1

2

…

Сумма

Среднее
значение

σ 2

Примечание: столбцы 8, 9, 10 заполняются после выполнения п.1.2 задания к работе, столбец

11 после п.1.3.

1.3.Рассчитать индекс корреляции (2.11), индекс детерминации (2.12) и ошибку аппроксимации (1.6).

1.4.Оценить статистическую значимость полученного уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F-критерия (2.13) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).

1.5.Построить на графике исходные данные (зависимость y от x ) и тео-

ретическую кривую (рассчитанную по модели 2.1).

2. Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной функции с квадратным корнем вида yx = a + b x , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1.

Таблица 2.2


№	X	Y	X Y	X 2	Y 2	yx	y − y x	(y − y x )2	Ai ,%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
…
Сумма
Среднее
значение

σ2

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021528.15 Кб23318.pdf
#
08.01.2021528.2 Кб83319.pdf
#
08.01.2021188.32 Кб5332.pdf
#
08.01.2021528.86 Кб63320.pdf
#
08.01.2021528.88 Кб13321.pdf
#
08.01.2021529.44 Кб13322.pdf
#
08.01.2021529.95 Кб13323.pdf
#
08.01.2021529.96 Кб13324.pdf
#
08.01.2021530.81 Кб23325.pdf
#
08.01.2021531.2 Кб33326.pdf
#
08.01.2021531.22 Кб13327.pdf