Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3322

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

529.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

3. Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной степенной функции yx = a xb , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.2 (см. теоретические сведения).

4.Сравнить построенные в п. 1, п. 2, п. 3 модели по индексу детерминации

исредней ошибке аппроксимации, составив табл. 2.3.

			Таблица 2.3

Модель	Индекс детерминации, ρxy	2	Средняя ошибка аппроксимации,		, %
Модель	Индекс детерминации, ρxy	2	Средняя ошибка аппроксимации,	A	, %
yx = a + b ln x
yx = a + b	x

yx = a xb

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 3 Построение линейной модели множественной регрессии

Цель работы: на основе исходных данных построить линейную модель множественной регрессии.

Теоретические сведения

Линейная модель множественной регрессии имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 +... + bm xm ,

(3.1)

где y x – зависимая переменная (результативный признак); x1 , x2 , … , xm – независимые переменные (признак факторы).

Уравнение (3.1) позволяет по заданным значениям факторов x1 , x2 , … , xm находить теоретические значения результативного признака y x , подставляя в него фактические значения факторовx1 , x2 , … , xm .

Построение линейной модели множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – a , b1 , b2 , … , bm . Для оценивания параметров линейной множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу параметры a , b1 , b2 , … , bm находятся из решения системы линейных уравнений

		n		n		n	n
a n + b1		∑x1i + b2	∑x2i		+... + bm	∑xmi	= ∑yi ;
		i=1		i=1		i=1	i=1
	n	n			n		n		n
a ∑x1i		+ b1 ∑x1i x1i		+ b2 ∑x1i x2i		+ ... +bm ∑x1i xmi		=	∑x1i yi ;	(3.2)
	i=1	i=1			i=1		i=1		i=1	(3.2)
...............................................................................................
	n	n			n		n		n
	n	n			n		n		n
a ∑xmi		+ b1 ∑xmi x1i + b2 ∑xmi x2i + ... +bm ∑xmi xmi							= ∑xmi yi ,
	i=1	i=1			i=1		i=1		i=1

где n – число наблюдений.

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (3.1) имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 .

(3.3)

Система уравнений для оценивания параметров двухфакторной модели (3.3) построенная на основе МНК согласно (3.2) будет иметь вид

		n	n	n
a n + b1		∑x1i + b2	∑x2i	= ∑yi ;
		i=1	i=1	i=1
	n	n		n	n
a ∑x1i		+ b1 ∑x1i x1i + b2		∑x1i x2i	= ∑x1i yi ;	(3.4)
i=1		i=1		i=1	i=1
	n	n		n	n
a ∑x2i		+ b1 ∑x2i x1i + b2		∑x2i x2i = ∑x2i yi ,
	i=1	i=1		i=1	i=1

Решая систему уравнений (3.4) относительно параметров a , b1 и b2 получим

σ y

ryx1 − ryx2 rx1x2

, b

σ y

ryx2 − ryx1 rx1x2

σx

1 − r 2 x1x2

σx

a = y − b1 x1 − b2 x2

(3.5)

где r

x1 y

− y x1

, r

x2 y

− y x2

, r

x x

x1 x2

− x1

σ y σx

σx

= y 2 − y 2 , σ

= x 2

− x 2 ,

= x

− x

2 .

Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизированном

масштабе будет иметь вид

ty = β1

+ β2

tx +...+ βm tx

(3.6)

где

t y , tx

, tx

… , tx

–

стандартизированные

переменные: t y =

y − y

σ y

xi − xi

, для которых среднее значение равно нулю: t

y = t x

= 0 , а среднее

σx

квадратическое отклонение равно единице:

σt

=σt

=1; βi –

стандартизиро-

ванные коэффициенты регрессии.

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии в стандартизи-

рованном масштабе (3.6) имеет вид

t y = β1

tx + β2

(3.7)

Метод наименьших квадратов, также справедлив для нахождения стандар-

тизованных коэффициентов регрессии. Эти коэффициенты показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xi изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов.

Коэффициенты «чистой» регрессии bi связаны со стандартизованными ко-

эффициентами регрессии βi следующим соотношением
b = β		σ y	.	(3.8)

i	i σx
		i

Используя соотношение (3.8), можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе (3.7) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных (3.1), при этом параметр a определяется как

a = yx − b1 x1 − b2 x2 −... − bm xm .

(3.9)

Частные коэффициенты эластичности определяются из выражения

Э	yxi	= b	xi	,	(3.10)

		i
			yxi

где bi – коэффициент регрессии для фактора xi в уравнении множественной регрессии, yxi – частное уравнение регрессии, которые связывает результатив-

ный признак с соответствующим фактором xi при закреплении остальных фак-

торов на среднем уровне.

Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены

средние по совокупности коэффициенты эластичности
			=b		xi		,	(3.11)
	Э	yxi		i	xi
	Э				yx

						i
						i

которые показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1 %.

Задание к работе

1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 3.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

Таблица 3.1

№	x1	x2	y	x	2	x	2	y 2	x1 x2	x1 y	x2 y	y x
					1		2
1	2	3	4	5			6	7	8	9	10	11
1
2
…
Сумма
Среднее
значение
σ

Примечание: столбец 11 заполняется после выполнения п.2 задания к работе.

2. Построить двухфакторную линейную модель множественной регрессии y x от x1 и x2 вида (3.3), найдя её параметры a , b1 , b2 из выражений (3.5).

3. Сделать переход от построенной в п. 1 двухфакторной линейной модели множественной регрессии к модели в стандартизированном масштабе t y от tx1

и t x2 вида (3.7), найдя её параметры β1 , β2 , используя выражение (3.8).

4.На основе построенной в п.2 линейной модели множественной регрессии

встандартизированном масштабе t y , провести анализ степени влияния каждого

из стандартизированных факторов tx1 и t x2 на результативный признак.

5. Провести анализ степени влияния каждого из факторов x1 и x2 на результативный признак, на основе среднего коэффициента эластичности (3.11).

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 4 Проверка существенности факторов и показатели качества

уравнения множественной регрессии

Цель работы: оценить качество уравнения множественной регрессии построенного в лабораторной работе № 3.

Теоретические сведения

Линейная модель множественной регрессии имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 +... + bm xm ,

(4.1)

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (4.1) имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 .

(4.2)

Для двухфакторной модели (4.2) парные коэффициенты корреляции вычисляются по следующим формулам

− y x1

; r

x2 y

− y x2

; r

x1 x2

− x1

x1 y

(4.3)

σy σx

σ y σx

x x

σx σx

									2		− x 2																2						2 .
где	σ	y	=	y 2 − y 2 ; σ	x	=	x		2		− x 2				;		σ	x			=				x		2			− x			2 .
		y			x		1							1				x	2								2						2
					1														2
	Совокупный коэффициент корреляции для модели (4.1) определяется из вы-
ражения
									Ryx x ...x								=			1		−				r			,					(4.4)
									Ryx x ...x								=			1		−							,					(4.4)
													1	2	p										r11
													1	2	p
где r – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;																																		r11 – оп-
ределитель матрицы межфакторной корреляции.
	Для двухфакторной модели (4.2) выражение (4.4) примет
									Ryx x =								1 −						r	.										(4.5)
									Ryx x =								1 −							.										(4.5)
													1	2									r11
													1	2
	Матрица парных коэффициентов корреляции для модели (4.1) будет иметь
вид
								1						ryx			ryx					...					ryx			p
								1						ryx			ryx					...					ryx
														1						2
									ryx					1			rx x					...					rx x				p
									1									1		2							1				p
						r =			ryx					rx x				1				...					rx x				p	.		(4.6)
									2					2 1													2				p
									... ... ... ... ...
									ryx		p			rx	x			rx			p	x ...					1
											p			p	1						p	2
	Для двухфакторной модели (4.2) матрица (4.6) примет вид
									1					ryx			ryx
									1					ryx			ryx
														1						2
						r =			ryx					1			rx x						.											(4.7)
									1									1		2
									ryx		2			rx x				1
											2			2	1
	Матрица межфакторной корреляции для общей модели (4.1) будет иметь
вид
										1				rx x				...					rx x			p
										1				rx x				...					rx x
														1 2								1
						r	=			rx x				1				...					rx x				p	.						(4.8)
						r	=				2 1											2					p	.						(4.8)
						11				... ... ... ...
										... ... ... ...
										rx		p	x	rx			x			... 1
												p	1			p 2

Для двухфакторной модели (4.2) матрица (4.8) примет вид

r =	1		rx x	.	(4.9)
r =			1 2	.	(4.9)
11	rx x		1
	rx x		1
	2	1

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на y вида (4.1) фактора xi , при неизменном уровне других факторов определяется из выражения

ryxi x1x2 ...xi−1xi+1...xm =	1 −	1 − Ryx2		x x ...x ...x			,	(4.10)
ryxi x1x2 ...xi−1xi+1...xm =	1 −	1 − Ryx2	x x ...x x			...x	,	(4.10)
			i	1 2	i	m
		i	1	2	i−1 i+1		m

где Ryx2 i x1x2 ...xi ...xm – множественный коэффициент детерминации всех m факторов

с результатом; Ryx2 i x1x2 ...xi−1xi+1...xm – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xi .

Для двухфакторной модели (4.2) выражение (4.10) примет вид

r	= 1	−	1 − Ry2x x		r	= 1	−	1 − Ry2x x
			1 2	;				1 2	.	(4.11)
			1 − r2	;					.	(4.11)
yx1	x2		1 − r2		yx2	x1		1 − r2
			yx					yx
			2					1

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера

Ryx2 1x2 ... xp

n − m −1

(4.12)

− Ryx2

факт

x ... x

где

Ryx2

x ...x

– совокупный коэффициент (индекс) множественной детермина-

ции; m – число параметров при переменных x (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); n – число наблюдений.

Частный F-критерий в общем виде для фактора xi определяется из выражения

F =

Ryx2

x x

...x

...x − Ryx2

x x

...x x

...x

n − m −1

(4.13)

1 2

i−1 i+1

1 − Ryx2

x x ...x ...x

1 2

ryx2 x1 ,

где Ryx2 i x1x2 ...xi ...xm – коэффициент множественной детерминации для модели с

полным набором факторов, Ryx2 i x1x2 ...xi−1xi+1...xm – тот же показатель, но без включения в модель фактора xi , n – число наблюдений, m – число параметров в модели (без свободного члена).

Задание к работе

1. Найти значения парных коэффициентов корреляции ryx1 , ryx2 , rx1x2 для

уравнения множественной регрессии, полученного в лабораторной работе № 3, используя выражения (4.3).

2. Рассчитать совокупный коэффициент корреляции Ryx1x2 из выражений

(4.5), (4.7) и (4.9).

3. Рассчитать частные коэффициенты корреляции ryx1 x2 , используя выражения (4.11).

4.Оценить значимость уравнения регрессии в целом с помощь F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F-критерия (4.12) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).

5.Оценить целесообразность включения фактора x1 после фактора x2 и x2

после x1 с помощью частного F-критерия (4.13). При этом частные F-критерии Fx1 , Fx2 необходимо сравнить с их табличными значениями (см. прил. 2).

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 5 Анализ автокорреляции уровней временных рядов

Цель работы: построить коррелограмму и проанализировать автокорреляцию уровней временного ряда.

Теоретические сведения

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt−1 вычисляется из выражения

						n
						∑(yt − y1 )(yt−1 − y2 )
				r =		t=2			,	(5.1)
				r =					,	(5.1)
				1		n	n	− y2 )2
						∑(yt	− y1 )2 ∑(yt−1	− y2 )2
						t=2	t=2
	1	n		1		n
где y1 =	1	∑yt ,	y2 =	1	∑yt−1 .
где y1 =		∑yt ,	y2 =		∑yt−1 .
	n −1 t=2			n −1 t=2

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt−2 определяется по следующей формуле

	1	n
где y3 =		∑yt , y4

	n − 2 t=3

				n
				∑(yt − y3 )(yt−2 − y4 )
	r		=	t=3			,	(5.2)
	r		=				,	(5.2)
	2			n	n	− y4 )2
				∑(yt − y3 )2	∑(yt−2	− y4 )2
				t=3	t=3
		1		n
=		1		∑yt−2 .
=	n			∑yt−2 .
	n	− 2 t=3

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Задание к работе

1. Найти значение коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка r1 , используя выражение (5.1). Для его нахождения составить табл. 5.1 на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

							Таблица 5.1

					(yt − y1 )×	2	2
t	yt	yt−1	yt − y1	yt−1 − y2	×(yt−1 − y2 )	(yt − y1 )	(yt−1 − y2 )
1	2	3	4	5	6	7	8
1		–	–	–	–	–	–
2
…
Сумма
Среднее			–	–	–	–	–
значение			–	–	–	–	–
значение

Примечание: среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как теперь на одно наблюдение меньше.

2. Найти значение коэффициента автокорреляции уровней ряда второго порядка r2 , используя выражение (5.2). Для его нахождения составить табл. 5.2 на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

3.Аналогично п. 1 и п. 2 найти коэффициенты автокорреляции более высоких порядков (для заданных исходных данных рекомендуется использовать 12 порядков), а все полученные значения занести в сводную табл. 5.3.

4.Построить коррелограмму, как зависимость коэффициентов автокорреляции уровней от соответствующих им лагов.

5.Проанализировать построенную коррелограмму и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021528.15 Кб23318.pdf
#
08.01.2021528.2 Кб83319.pdf
#
08.01.2021188.32 Кб5332.pdf
#
08.01.2021528.86 Кб63320.pdf
#
08.01.2021528.88 Кб13321.pdf
#
08.01.2021529.44 Кб13322.pdf
#
08.01.2021529.95 Кб13323.pdf
#
08.01.2021529.96 Кб13324.pdf
#
08.01.2021530.81 Кб23325.pdf
#
08.01.2021531.2 Кб33326.pdf
#
08.01.2021531.22 Кб13327.pdf