3322

21

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 6 Анализ аддитивных и мультипликативных моделей временных рядов

Цель работы: построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда и сделать прогноз его показателей.

где T – трендовая составляющая, S – сезонная составляющая, E – случайная составляющая.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2.Расчет значений сезонной компоненты S .

3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E ) в аддитивной или (T E ) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (T + E ) или (T E ) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5.Расчет полученных по модели значений (T + E ) или (T E ).

6.Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Задание к работе

1. Построить аддитивную модель временного ряда для исходных данных к работе (см. прил. 1).

1.1. Провести выравнивание исходных данных ряда методом скользящей средней. Расчет оформить в виде табл. 6.1.

1.1.1. Просуммировать уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3 табл. 6.1).

23

1.1.2.Разделив полученные суммы на 4, найти скользящие средние (ст. 4 табл. 6.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.1.3.Найти центрированные скользящие средние, приведя скользящие средние значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого необходимо найти средние значения из двух последовательных скользящих средних (ст. 5 табл. 6.1).

1.1.4.Найти оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) как разность между фактическими уровнями ряда (ст. 2 табл. 6.1) и центрированными скользящими средними (ст. 5 табл. 6.1).

1.2. Используя оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) рассчитать значения сезонной компоненты S. Расчет оформить в виде табл. 6.2.

1.2.1.Найти средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si .

1.2.2.Найти корректирующий коэффициент k , используя следующее вы-

ражение

24

1.2.4. В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Поэтому, необходимо проверить равенство нулю суммы значений сезонной компоненты Si , и прокомментировать полученный результат.

Скорректированная сезонная компо-

нента, Si

1.3.Исключить влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (ст. 1, 2, 3 и 4 табл. 6.3). Полученные значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трендовую T и случайную компоненту S ( y − Si =T + E ).

1.4.Определить трендовую компоненту T данной модели (ст. 5 табл. 6.3). Уравнение линии тренда имеет вид

где t – номер квартала.

25

Модель (6.5) фактически представляет собой линейное уравнение парной регрессии. Для нахождения параметры a и b данной модели используется МНК (см. лабораторную работу № 1). Для удобства необходимо составить табл. 6.4.

Подставляя в полученное уравнение значения t =1,2...16 , найти уровни T для каждого момента времени t, (ст. 5 табл. 6.3).

1.5.Найти значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого необходимо прибавить к уровням трендовой компоненты T значения сезонной компоненты S для каждого квартала (ст. 6 табл. 6.3).

1.6.На одних координатных осях построить графики зависимости фактических значений уровней временного ряда y (ст. 2 табл. 6.3) и теоретических T+S (ст. 6 табл. 6.3) от соответствующих кварталов t (ст. 1 табл. 6.3).

26

1.7. Оценить и прокомментировать качество построенной модели на основе коэффициента детерминации

1.8.1. Определить трендовые компоненты T (17) и T (18) на основе модели

(6.5).

1.8.2.Выбрать для из табл. 6.3 значения сезонных компонент для соответствующих кварталов.

1.8.3.Согласно выражению (6.8) найти прогнозные значения уровней временного ряда F(17) , F(18) .

2.Построить мультипликативную модель временного ряда для исходных данных к работе (см. прил. 1).

2.1.Провести выравнивание исходных данных ряда методом скользящей

средней.

2.1.1.Просуммировать уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3 табл. 6.5).

2.1.2.Разделив полученные суммы на 4, найти скользящие средние (ст. 4

табл. 6.5).

2.1.3.Найти центрированные скользящие средние. Для этого необходимо найти средние значения из двух последовательных скользящих средних (ст. 5

табл. 6.5).

2.1.4.Найти оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (ст. 2 табл. 6.5) на центрированные скользящие средние

(ст. 5 табл. 6.5).

2.2.Используя оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.5) рассчитать значения сезонной компоненты S. Расчет оформить в виде табл. 6.6.

27

2.2.1. Найти средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si .

2.2.2. Найти корректирующий коэффициент k , используя следующее выражение

i=1

2.2.3.Рассчитать скорректированные значения сезонной компоненты Si ,

используя выражение

2.2.4. В мультипликативных, как и в аддитивных моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В данном случае число периодов одного цикла равно четыре. По-

28

этому, необходимо проверить равенство четырем суммы значений сезонной компоненты Si , и прокомментировать полученный результат.

Скорректированная сезонная компо-

нента, Si

2.3. Исключить влияние сезонной компоненты, деля ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (ст. 1, 2, 3 и 4 табл. 6.7). Полученные значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трен-

довую T и случайную компоненту S ( y =T E ).

Si

Таблица 6.7

2.4. Определить трендовую компоненту T данной модели (ст. 5 табл. 6.7). Уравнение линии тренда имеет вид