2018

2

УДК 634.323

Юдина, Н.Ю. Основы научных исследований [Текст] : методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности 150200 (190601) – Автомобили и автомобильное хозяйство / Н. Ю. Юдина ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2007. – 28 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО «ВГЛТА»

Рецензент д-р техн. наук, проф. Лебедев

3

ВВЕДЕНИЕ

Характер современного промышленного производства требует от инженера высокого уровня профессиональной подготовки и умения на этой основе проводить исследования, ставить эксперименты, анализировать их результаты, осуществлять поиск оптимальных решений как в лабораторных, так и в производственных условиях.

В практической деятельности инженера необходимым этапом принятия плановых и управленческих решений являются элементы научных исследований, результаты которых используются в качестве исходной информации в задачах оперативного планирования. Поэтому целью изучения дисциплины «Основы научных исследований» является приобретение будущими специалистами теоретических знаний и практических навыков по методике постановки и проведения научных и производственных исследований в области организации и технологии производства, ремонта и эксплуатации машин.

Методические указания содержат в себе наиболее часто применяемые методы статистической обработки данных, даются приемы планирования многофакторных экспериментов, приводятся способы построения математических моделей, а также излагаются приемы построения и проверки достоверности выдвигаемых научных гипотез.

Лабораторные работы выполняются с применением стандартного программного обеспечения.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Тема. Определениечисловыххарактеристикслучайных величин Цель работы. Изучить методику расчета числовых характеристик слу-

чайных величин и получить практические навыки обработки результатов наблюде- нийиэкспериментовматематико-статистическимиметодами.

Общие сведения

Целью большинства научных исследований является изучение влияния различных воздействий на объект исследования. Эти воздействия называют факторами. Факторы могут быть основными и побочными, посторонними. Основные факторыучаствуютвэксперименте. Одни из них варьируются при исследовании технологического процесса и тогда их называют варьируемыми. Другие стабилизируются на определенном уровне. Побочные, посторонние факторы желательно по возможности устранять. Однако все побочные факторы устранить невозможно. Поэтому результат единичного измерения представляет собой случайную величину, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестное. Таким образом, результат измерения всегда отличается от истинного значения. Случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, называется дискретной. Случайную величину, возможныезначениякоторой непрерывно заполняют промежуток, называют непрерывной. Отклонение результатаизмеренияотистинногорезультатаназываетсяошибкойопыта.

Математическая статистика – это наука о математических методах обработки, систематизации и использования результатов наблюдений для научных и практическихвыводов.

Множество значений случайной величины, полученных в результате эксперимента, представляет собой статистическую совокупность. Статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения случайной величины, называется генеральной совокупностью. Обычно нельзя учесть все возможные значения случайной величины. Поэтому при исследовании учитывают существенную часть значений, которую называют выборочной совокупностью (выборкой), а число опытов, содержащееся в выборке – объемом вы-

5

борки. Достаточность числа этих значений определяют специальными вероятностными процедурами [1].

К числовым характеристикам случайных величин относятся следующие: математическое ожидание, дисперсия, коэффициент вариации и др.

При повторении опытов в одинаковых условиях обычно обнаруживается закономерность попадания в частоте попадания тех или иных результатов. Некоторые значения случайной величины появляются чаще других, при этом они группируются относительно некоторого результата – центра группирования, который, в свою очередь, определяет центр гистограммы распределения случайной величины. Он называется математическим ожиданием и определяется по формуле

i=1

гдеP(Xi) = mi/n - вероятностьтого, чтослучайнаявеличинаприметзначенияXi; mi – числозначенийслучайныхвеличин, попавшихводининтервал;

n – объемвыборки.

Экспериментатор обычно встречается не с генеральной совокупностью, а с выборкой. Оценкой математического ожидания в этом случае может быть среднееарифметическоезначениеилипросто"среднее" ycр:

Найденное значение уcр называют еще выборочным средним в отличие от генерального среднего М(х).

Рассеивание случайной величины относительно математического ожидания характеризуется величиной, называемой дисперсией и определяется

Мерой разброса случайной величины относительно математического ожидания служит корень квадратный из дисперсии, называемый средним квадратичным отклонением

Отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию

6

естькоэффициентвариации, характеризующийизменчивостьслучайнойвеличины

Дополнительноопределяются:

-средняяквадратичнаяошибкаматематическогоожидания

Подготовкаисходныхданныхдляввода

Для определения числовых характеристик случайных величин необходимо выполнитьследующиедействия:

-Исключить из выборки те значения случайной величины, которыерезковыделяютсяизобщейзакономерности.

-Определить количество интервалов, на которое можно разбить данную выборку, используяформулу

- Подсчитываетсячислонаблюденийm1 , попавшихвкаждыйинтервал. Значениеслучайнойвеличины, попавшеенаграницуинтервала, всегдаотноситсяк (i+1)-муинтервалу. Суммавсехвеличинm1 равнаобъемувыборки.

7

- Подготовленныеисходныеданныезаносятсявтабл. 1.

Расчетчисловыххарактеристикслучайныхвеличин

РасчетпроводитсясиспользованиемтабличногопроцессораExcel. Проанализировать полученные результаты расчетов, обратив особое внима-

ние на физическую сущность явлений, отражаемую каждой из числовых характеристик. Сделать выводы, в которых, кроме заключения об общих закономерностях изменения значений случайной величины, отметить практическое значение полученныхрезультатовиоформитьотчетполабораторнойработе.

Отчетсоставляетсявсоответствиисоследующейструктурой.

Цельработы.

Постановказадачи: чтодано, чтотребуетсяопределить.

Таблица результатов расчетов по определению характеристик случайных величин.

Анализполученныхрезультатов. Выводыипредложения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Тема. Составление уравнений регрессии по опытным данным с использованием метода наименьших квадратов.

Цель работы. Изучить метод наименьших квадратов (МНК) и получить практические навыки составления уравнений регрессии по опытным данным с использованием МНК.

Общие сведения

МНК – один из методов регрессионного анализа. Его используют для по-

8

лучения математического описания объекта.

Врезультате проведения эксперимента получают множество случайных величин (выборку). Имея только такую выборку, трудно определить характер и степень влияния варьируемых факторов на выходную величину. В этом случае лучше определить аналитическую зависимость.

Уравнение регрессионной зависимости выходной величины от варьируемых факторов выполняют в следующей последовательности:

выбирают вид уравнения; рассчитывают коэффициенты регрессии; проверяют адекватность модели.

Вслучае неадекватности выбранной математической модели процедура повторяется.

Вкачестве регрессионной модели может быть принят многочлен любого порядка, экспонента, тригонометрический многочлен и т.д. В лесной промышленности многие процессы описываются многочленами первого и второго порядка. Чем выше порядок, тем выше точность, но и затраты, связанные с обработкой результатов эксперимента, тоже выше.

После выбора модели рассчитывают коэффициенты регрессии и составляют эмпирическое уравнение зависимости выходной величины от варьируемых факторов.

Проверка адекватности математической модели дает возможность ответить на вопрос: удовлетворительно ли выбранная модель описывает объект исследования? Недостаточная адекватность модели связана с неудачным выбором вида модели.

Самой простой регрессионной моделью является линейная зависимость

где b0 ,b1 ,b2 ,...,bk – коэффициенты регрессии.

Применение линейных моделей дает приближенное представление о влиянии факторов на объект, и их целесообразно использовать

1) на начальных этапах исследования;

9

2)при жестком ограничении количества опытов;

3)в ситуации, когда экспериментатор уверен в адекватности линейной модели.

Влесной промышленности на результаты оценки большинства операций оказывают влияние многочисленные факторы. Однако степень их влияния далеко неравнозначна. Поэтому, с целью упрощения аналитического выражения, проводится ранжирование факторов и наименее значимые отбрасываются. Ранжирование факторов производится по известной методике [1] и здесь не рассматривается. Для получения информации об объекте, способах управления и оптимизации используются модели в виде многочлена второго порядка с несколькими варьируемыми факторами.

Модель в виде многочлена второго порядка с тремя варьируемыми факторами имеет вид:

y =b0 +b1 x1 +b2 x2 +b3 x3 +b11 x12 +b22 x22 +b33 x32 +b12 x1 x2 +b13 x1 x3 +b23 x2 x3. (2)

Такой вид модели применять нельзя, если истинная зависимость отклика y=f(x) от некоторого фактора:

1)имеет более одного экстремума;

2)имеет точку перегиба;

3)при некоторых значениях действующих факторов функция меняется скачком.

Впервых двух случаях рекомендуется выбирать многочлены более высокого порядка. Коэффициенты уравнения регрессии рекомендуется определять следующим образом.

Рассмотрим случай варьирования единственного фактора X. Предположим, что эксперимент состоит из N опытов, в которых варьируемый фактор х принимает значения х1, х2, …, хn. Выходная величина принимает значения y1,y2,...,yn соответственно. Представим зависимость, полученную экспериментальным путем, графически. По оси абсцисс отложим значения фактора Xi , принимаемые им в опыте, а по оси ординат – соответствующие значения выходной величины у (рис.1).

10

Выбрав линейный вид модели, приступаем к расчету коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов.

Рис 1. Зависимость функции y=f(x) от варьируемого фактора Допустим, что истинная зависимость y = f(x). Изобразим ее на графике

(рис.1). Значениям факторов хi соответствуют расчетные значения yti. Отклонение истинных значений выходной величины от расчетных определяются как

Согласно МНК, коэффициенты регрессии вычисляются при условии минимума суммы квадратов отклонений

- взяв производные по во и в1 и приравняв их нулю, получим систему двух уравнений, решив которую придем к выражению для расчета коэффициентов

во и в1.

Для квадратичной модели аналогично получают систему трех уравнений,