2018
.pdf11
дифференцируя сумму квадратов отклонений по во, в1 и в11.
Рассчитав коэффициенты регрессии, подставляем их конкретные значения в выбранную математическую модель исследуемого объекта.
Регрессионная модель, построенная по результатам эксперимента, позволяет рассчитать значения отклика в разных точках области варьирования факторов. Будет ли построенная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента, покажет проверка модели на адекватность.
Пусть n – число опытов, р – число оцениваемых коэффициентов. Проверка адекватностивозможна, еслиn > р.
Дляпроверкиадекватностимоделиопределяютсуммуквадратов, характеризующуюадекватностьмоделиsад.
n |
|
Sад = n∑( yiсс −yi )2 , |
(8) |
i=1
где yicp – среднеезначениерезультатовэкспериментавi-йсериидублированных опытов; yi – значениявыходнойвеличины, рассчитанноепоуравнениюрегрессии
(1)дляi-гоосновногоопыта.
-вычисляютчислостепенейсвободыfад дисперсииадекватности
fад = n – р; |
(9) |
-вычисляютдисперсиюадекватности Sад2
Sад2 = Sад. fад ; |
(10) |
-рассчитывают дисперсию воспроизводимости
|
n |
|
S 2 |
( y) = ∑( yi −Yicp )2 /(n −1) ; |
(11) |
i=1
- определяютрасчетныйкритерийФишера
Fрасч = Sад2 / S 2 {y}; (12)
и сравнивают с табличным значением критерия Fтабл, найденным при выбранном уровнезначимостиq = 0.05 для чисел степеней свободыf = n-l. Модельсчитаетсяадекватной, если Fрасч.< Fтабл. В противном случае меняют вид модели и повторяют процедурурасчета.
Если модель адекватна, то строят график зависимости выходной величины от варьируемых факторов. По оси абсцисс откладывают значения варьируемых факторов, а по оси ординат – значения выходной величины, полученные эксперименталь-
12
нымпутемирассчитанныепоматематическоймодели.
Подготовкаисходныхданныхдляввода
Исходныеданныеиспользуютсяизлабораторнойработы№1.
Расчет проводится с использованием табличного процессора Excel. Результат выбора аппроксимирующей функции выводится на печатающее
устройство.
Проанализировать полученные результаты, сделать выводы, которыеотразитьвотчетеполабораторнойработе.
ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№3
Тема. Составлениематрицполногофакторногоплана(ПФП) ирасчет коэффициентоврегрессииматематическоймодели.
Цельработы: изучитьметодику составленияматриц ПФПиполучитьпрактическиенавыкирасчетакоэффициентоврегрессииматематическоймодели.
Общиесведения
Важное значение для научных исследований имеют методы планирования многофакторных экспериментов. Целью экспериментального исследования является получениематематическоймоделиобъекта. Стратегиямногофакторногоэксперимента состоит в том, что при переходе к каждому последующему опыту изменяют уровнинеодного, асразунесколькихфакторов. Этодаетвозможностьполучитьответына вопросы: как, на каких уровнях и в каких сочетаниях варьировать факторы в эксперименте.
Полными факторными планами называются такие планы, в которых число уровней варьирования всех факторов одинаково и всевозможные комбинации этих уровнейвстречаютсяодинаковоеколичествораз.
ПорезультатамПФПвсегдаможнополучитьлинейнуюмодель.
Планы, в которых число уровней варьирования каждого фактора равно двум, обозначаются 2К. где к - число факторов. Число опытов для к факторов определяется поформуле
N = 2к. |
(1) |
13
Рассмотрим построение ПФП для двух варьируемых факторов. На первом этапе планирования эксперимента необходимо выбрать диапазон варьирования каждого фактора. ДляПФПкаждыйфакторварьируетсятольконадвухуровнях– верхнемхmax инижнемхmin. Вэкспериментереализуютсявсевозможныесочетанияуровнейварьирования. Для двух факторов эксперимент должен содержать 22 = 4 опыта. Матрица ПФП, дополненная столбцом отклика, приведена в табл. 1.
|
|
|
Таблица1 |
Матрицапланированиядвухфакторногоэксперимента |
|||
|
|
|
|
№опыта |
Значенияфакторов |
Значения выходнойвеличины |
|
|
х1 |
х2 |
|
1 |
x1min |
x2 min |
y1 |
2 |
x1max |
x2 min |
y2 |
3 |
x1min |
x2 max |
y3 |
4 |
x1max |
x2 max |
y4 |
Аналогично можно построить матрицу ПФП для любого количества факторов перебором всех сочетаний их верхних и нижних уровней, но это удобнее делать в нормализованных обозначениях. Матрица ПФП в нормализованных обозначениях представлена в табл. 2.
Таблица2 Нормализованнаяматрицапланированиядвухфакторногоэксперимента
№опыта |
Значенияфакторов |
Значениявыходнойвеличины |
|
|
x1 |
x2 |
|
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
Матрицы ПФП в нормализованных обозначениях обладают следующими характернымисвойствами:
1) Симметричность относительно центра плана – алгебраическая сумма эле-
ментовстолбцалюбогофактораравнанулю |
|
xij = 0 . |
(2) |
2) Нормированность – сумма квадратов элементов столбца любого фак- |
|
тора равна числу опытов |
|
xij = n. |
(3) |
14
3) Ортогональность - сумма произведения любых двух столбцов матрицы равна нулю
xij xuj = 0, u = i. |
(4) |
Перечисленные свойства матриц значительно облегчают расчет коэффициентов регрессии линейной математической модели, записанной для нормализованных факторов
|
y =b0 +b1 x1 +b2 x2 +... +bk xk . |
(5) |
Формула для нахождения линейных коэффициентов регрессии имеет |
||
вид: |
|
|
|
bi = (xi1 y1 + xi 2 y2 +... + xin yn ) / n . |
(6) |
Коэффициент во равен среднему арифметическому значению выходной |
||
величины |
|
|
|
b0 = ( y1 + y2 +... + yn ) / n . |
(7) |
Теперь уравнение регрессии для выбранных факторов можно записать в |
||
виде |
|
|
|
y = b0 +b1 x1 +b2 x2 . |
(8) |
Тогда из табл. 2: |
|
|
b0 |
= ( y1 + y2 +... + yn ) / 4 , |
|
b1 = ((−1) y1 +(+1) y2 +(−1) y3 +(+1) y4 ) / 4 , |
|
|
b2 |
= ((−1) y1 +(−1) y2 +(+1) y3 +(+1) y4 ) / 4 |
(9) |
Во многих случаях степень влияния одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Тогда говорят о наличии взаимодействия между этими факторами, т.е. ПФП 2К позволяют, кроме линейных коэффициентов регрессии, оценить всевозможные эффекты взаимодействия факторов.
Для эксперимента с двумя факторами существует единственное парное взаимодействие между х1 и х2. Таким образом, математическая модель с учетом этого имеет вид:
y =b0 +b1 x1 +b2 x2 +b12 x1 x2 |
(10) |
и, соответственно, матрица плана может быть представлена табл.3.
15
Таблица3 Нормализованнаяматрицапланированиядвухфакторногоэкспериментасучетом
парноговзаимодействия
№опыта |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
Сучетомданныхтабл. 3 коэффициентрегрессиив12 будетравен
b12 = (x11 x21 y1 + x12 x22 y2 + x13 x23 y3 + x14 x24 y4 ) / 4. |
(11) |
Для эксперимента с тремя факторами мы будем иметь уже три парных взаимодействияиодновзаимодействиетретьегоуровня, т.е. x1 x2 x3 .
Условимся, что в неравенстве х1min < x1 < х1max величина x1min называется нижним уровнем варьируемого фактора, х1max – его верхним уровнем. Середину диапазонаварьируемогофакторах1 назовемегоосновнымуровнемиобозначим xi0 , т.е.
xi0 = (xi max + xi min ) / 2, |
(12) |
|
аразность |
|
|
= xi max − xi0 |
= xi0 − xi min |
(13) |
назовеминтерваломварьированияфакторахi. |
|
|
СвязьмеждупроизвольнымфакторомVi иегонормализованнымобозначением |
||
хi можетбытьвычисленапоследующейформуле: |
|
|
xi = (Vi − xi0 ) / |
i . |
(14) |
Рассмотрим пример перехода от нормализованного обозначения факторов к натуральному. Допустим, варьируется только один фактор v1 (скорость движения) на двухуровнях:
Vi min =15,8 и Vi max =17,55. |
(15) |
Серединадиапазонаварьирования |
|
xi0 = (15,8 +17,55) / 2 =16,62 . |
(16) |
Интервалварьирования |
|
16 |
|
∆1 =17,55 - 16,62 = 0,9. |
(17) |
Тогда |
|
x1 = (V −16,62) / 0,9 =1,11 V −18,5 . |
(18) |
Теперь вместо Х1 подставляем его выражение в натуральном обозначении
(1,11V - 18,5).
ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№4
Тема. Составление матриц дробного факторного плана (ДФП) и расчет коэффициентоврегрессииматематическоймодели.
Цель работы. Изучить методику составления матриц дробного факторного планаиполучитьпрактическиенавыкирасчетакоэффициентоврегрессии.
Общиесведения
Эксперименты, проводимые на производстве, являются трудоемкими и дорогими. Сокращениезатратнаэкспериментыможетбытьдостигнутопутемсокращения числа проводимых опытов. Для этой цели используются дробные факторные планы. Этаэкономиядостигаетсяценойупрощенияматематическоймодели.
ПорезультатамПФПможнооценитьсвободныйчленврегрессионноймодели, линейные коэффициенты регрессии и все взаимодействия факторов. Однако во многихслучаяхучетвсехвзаимодействийфакторовневызываетсянеобходимостью. Так, при первоначальном изучении объектов часто ставят эксперименты с целью получения линейной модели. Для уяснения идеи построения ДФП обратимся сначала к ПФП. Предположим, что по некоторым соображениям можно пренебречь парным
взаимодействием x1 x2 (табл.1). Тогда оставшийся вакантным столбец x1 x2 можно использовать, варьируявсоответствиисэлементамиэтогостолбцанекийтретийфакторх3 (табл.2).
Таким образом, для эксперимента с тремя факторами получен план из четырех
опытов, порезультатамкоторогоможнопостроитьлинейнуюмодель |
|
y =b0 +b1 x1 +b2 x2 +b3 x3 . |
(1) |
17
Таблица1 Нормализованнаяматрицапланированиядвухфакторногоэксперимента
№опыта |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
|
|
|
|
|
Таблица2 |
|
Нормализованнаяматрицапланированиятрехфакторногоэксперимента |
|||||
|
|
|
|
|
|
№опыта |
х1 |
х2 |
х3 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
|
Очевидно, что матрица такого плана, как и матрица ПФП, удовлетворяет свойствам 1, 2 и 3 (см. лабораторную работу № 3). Планы такого типа называют дробными факторными планами (ДФП). Планы, в которых одно взаимодействие факторов заменено новым фактором, называют полурепликами. При замене двух взаимодейст-
вийновымифакторамиполучимчетвертьреплики. Числоопытов N = 2(k −2) .
При построении данной полуреплики 2(3-1) было использовано соотношение x3 = x1 x2 , которое называют генератором плана. При возрастании числа варьируе-
мых факторов количество опытов значительно увеличивается. Однако при этом первыйсмешанныйфакторвсегдаявляетсявзаимодействиемвсеходиночныхфакторов.
Определение коэффициентов регрессии для ДФП, а также переход на уравнениерегрессииснатуральными обозначениямифакторовосуществляетсяпо методике ПФП(см. лабораторнуюработу№3).
После получения уравнения регрессии подставить в него формулы перехода к натуральнымобозначениям, раскрытьскобкиипривестиподобныечлены. Проанализироватьполученныерезультаты, сделатьвыводыиоформитьотчетполабораторной работе.
18
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5
Тема: Проверка гипотезы о принадлежности случайной величины нормальному закону распределения плотности вероятности.
Цель работы: изучить методику проверки гипотезы о принадлежности случайных величин одному из законов распределения и получить практические навыки.
Общие сведения
В основе теории вероятностей лежит понятие множества, понимаемого как совокупность объектов (именуемых также точками или элементами), причем относительно каждого конкретного объекта можно сказать, принадлежит он этой совокупности или нет. Возможные исходы некоторого эксперимента представляют собой множество точек, которое называется выборочным пространством. Выборочное пространство может быть конечным или бесконечным. Случайная величина – это функция множеств, определенная в точках выборочного пространства и представляет собой действительное число, заключенное между “-“ и “+”, которое сопоставляется каждой возможной выборочной точке.
Количественнойоценкойвозможностипоявленияданногослучайного события является его вероятность. Если некоторое случайное событие А появляется как следствие какого-либо из m событий при общем числе n возможных, то вероятностью события А называют число Р = m/n. Вероятность всегда заключена между нулем и единицей. причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверногособытияравнаединице.
Если область значений случайной величины непрерывна, что и предполагается вдальнейшем, топлотностьвероятностиР(х) определяетсясоотношением
∫ p ( x ) dx |
= |
1 |
|
(1) |
p ( x ) > 0 |
|
|
|
|
p ( x ) = |
∫ |
p ( s ) ds , p ( x ) = |
dp ( x ) |
(2) |
|
|
|
dx |
|
Совокупностьвозможных значений случайнойвеличины, атакжевероятности,
19
с которыми эти значения могут появляться образуют закон распределения случайной величины.
Наиболее простым и по большей части достаточно точно отражающим действительность является так называемый нормальный закон распределения ошибок, который находит широкое применение при решении различных инженерных и экономическихзадач.
Необходимо отметить, что при проведении эксперимента вследствие допускаемых ошибок измерений, воздействия различных случайных факторов и недостаточности числа испытаний распределение опытных поинтервальных частостей представляютсобойломануюлинию– гистограмму(лабораторнаяработа№1).
Если была бы возможность провести достаточно большое число испытаний, то опытные гистограммы приближались бы к какой-либо кривой, которая могла бы соответствовать одному из вероятностных законов. Однако такой возможности экспериментатор не имеет. Поэтому возникает задача определения теоретической кривой распределения и затем уже подбора закона распределения случайной величины, которыйнаилучшимбыобразомотражалрезультатынаблюдений.
Решение этой задачи производится интуитивно или с использованием метода моментов.
Сущностьметодамоментовзаключаетсявтом, чтоповнешнемувидуделается предположение о принадлежности опытных данных одному из вероятностных законов. Принятая гипотеза называется нулевой. Далее вычисляют математическое ожиданиеидисперсиюинаосновеэтогозаписываютплотностьвероятноститогозакона, покоторомубудетвыравниватьсяопытнаягистограмма. Правдоподобностьпринятой гипотезы проверяется с помощью критериев согласия: квадрата Пирсона, критерия КолмагороваикритерияРомановского. Приэтом, таккаквыборкавсегдаограничена, получаемые на основе обработки гистограммы числовые характеристики представляют собой лишь оценки случайных величин, т.е. приближенные значения для рассматриваемойгенеральнойсовокупности.
Общая методика проверки принадлежности случайных значений оценочного показателяпроцессакодномуизизвестныхзаконовсводитсякследующему:
20
Формируется математическая модель закона, принадлежность к которому высказанавнулевойгипотезе:
1)вычисляют опытные поразрядные частоты рассматриваемого явления;
2)строят гистограмму и принимают нулевую гипотезу о принадлежности случайной величины к тому или иному закону;
3)определяют числовые характеристики;
4)вычисляют значения одного из критериев согласия при заданном значении уровня значимости;
5)строят соответствующие графики;
6)определяют доверительный интервал разброса результата при заданном значении доверительной вероятности.
Методика проверки гипотез о принадлежности случайных величин к нормальному закону распределения плотности вероятности
Пример: Для установления закономерности статистическими наблюдениями произвели 641 опыт по определению времени выполнения операции. Время продолжительности цикла изменялось от 20 до 60 секунд. Требуется:
1)установить закон, которому следует рассматриваемый процесс, и проверить правдоподобность статистической гипотезы при уровне значимости 0.05;
2)определить среднее время продолжительности обработки одного дерева.
3)вычислить доверительный интервал разброса среднего результата при доверительной вероятности Pg =95% .
Решение:
Для удобства обработки опытных данных весь объем выборки был сгруппирован в 10 разрядов, взятых через интервал, равный х = 4 секундам. За начало отсчета принят ложный ноль, равный 40 с ((20+60)/2). Результаты расчетов приведены в табл.1.