2018

21

Алгоритм решения

1. Определяют опытные частости (см. лабораторную работу № 1) и за-

22

писывают их в строке 3 табл.1.

2. По полученным значениям строят гистограмму (рис.1). Находят границы разрядов в отклонениях от ложного нуля.

Если a1, b1 – левая и правая границы разрядов соответственно, то:

выполняют с использованием середины разрядов, которые определяют как среднее арифметическое между левой и правой границами разряда и записывают в строку 5 табл.1. Тогда для первого интервала

(-20 + (-16))/2 - - 18 (-16 + (-12))/2 = -19 и т.д.

Рис.1. Гистограмма и выравнивающая ее теоретическая кривая распределения опытных частостей

3. По полученной гистограмме делают предположение, что изучаемый закон соответствует нормальному закону распределения вероятностей. Для подтверждения этого необходимо проверить принятую гипотезу согласно квадрату Пирсона, критерию Колмагорова или критерию Романовского. Для определения значений указанных критериев необходимо вычислить математическое ожидание и дисперсию, найти теоретические вероятности попада-

23

ния случайной величины в разряды и теоретические частоты (см. лабораторную работу № 1).

Для нашего примера математическое ожидание будет равно М(х) = -2 статистическая дисперсия

D(x) = 52,

а несмещенная оценка для среднеквадратичного отклонения:

б(х) = 7.6.

Плотность вероятности нормального закона выражается с помощью за-

4. Вычисляют вероятность попадания случайной величины в разряды. Для этого необходимо вычислить опытные частости (строка 6 табл.1) как сумму опытных частот предыдущих разрядов и определяемого.

Для первого разряда F(x) = Р1 =.031;

Для второго разряда F(x) = Р1 + Р2=.031 +.048 = .079; Для третьего разряда

F(x) = Р1 + Р2 +Р3 =.031 +.048 +.115 =.194.

Далее, применяя метод моментов, необходимо выровнять экспериментальное распределение нормальным законом.

Для построения графика нормального закона производят центрирование и нормирование функции плотности вероятности, для чего предполагают X = 0 и σ = 1. Полученная в результате этого центрирования и нормирования

где ti - центрированные и нормированные отклонения для середины разрядов

Тогда для первого разряда t1 = (-18 - (-2)) /7.6 = -2.12;

для второго разряда t2 = (-14 - (-2)) / 7.6 = -1.59.

Результаты записываем в строку 7 табл.1.

24

Определив значения центрированных и нормированных отклонений для середины разрядов, вычисляют по формуле (5) табличные плотности вероятностей f(t) и теоретическую вероятность Pi попадания в разряды.

mi = 0.022 * 641 = 14.4 (строка 10 табл.1)

6. Для выяснения принадлежности опытных данных к нормальному закону распределения вычисляют значение квадрата Пирсона. Для этого по каждому разряду вычисляют отношение квадратов отклонений теоретических частот от опытных к теоретической частоте попаданий (строка 11 табл.1)

(mi* −mi ) / mi = (20 −14)2 /14 = 2.18 .

Значения интегральной функции P(t) для нашего примера записаны в строку 14 табл.1 на основании данных табл. П.1. Сумма величин, записанных в строку 11 табл. 1 представляет собой значение квадрата Пирсона в рассматриваемом примере:

i=1

χ2 = 2.18 +1.39 +... =10.7 .

7. Определяют табличное значение уровня значимости и сравнивают его с расчетным. Для этого необходимо знать число степеней свободы, под которым в математической статистике понимают разность между числом опытов и числом констант, которые уже вычислены по результатам опытов независимо друг от друга. В нашем случае константами являются характеристики, полученные из следующих зависимостей:

∑n P * = 1;

i =1

Тогда число степеней свободы будет равно Ч=10 - 3 = 7. Используя стандартную таблицу (табл. П.3), находят уровень значимости

P(χ2 ,Ч) = P(11,7) = 0.088 .

Для проверки правдоподобия принятой гипотезы сравнивают полученное значение с заданным уровнем значимости, физический смысл которого представляет собой меру жесткости проверки правдоподобия гипотезы. Наиболее употребительными значениями уровня значимости q являются 0.1 и 0.05.

Таким образом, при проверке правдоподобности нулевой гипотезы с помощью уровня значимости производят сравнения опытного значения

Pоп (χ2 ,Ч) с заданным значением уровня значимости, т.е.

> q - гипотезанеотвергается Pоп (χ2 ,Ч) ≤ q - гипотезаотвергается

или 0.088 > 0.055 < 0.1

Как видно, при заданном уровне значимости q =0.05 гипотеза не отвергается, а при q = 0.1 отвергается, следовательно, мера жесткости проверки правдоподобия принятой гипотезы существенно влияет на принятие окончательного решения.

8. При необходимости производят проверку принятой гипотезы с помощью критерия Романовского, согласно которому должно выполняться неравенство

гласно критерию Романовского нулевая гипотеза о принадлежности опытных данных к нормальному закону распределения подтверждается.

≥ 0.6 - гипотезанеотвергается, При этом если P > 0.6 - гипотезаотвергается

Для нашего примера наибольшее расхождение между опытной и теоретической кривыми интегральной функции находится в сечении t = 38 и составляет

Dmax = 0.622 −0.590 −0.022 ,

а следовательно, λ = 0.022 641 = 0.56 .

По специальной таблице критических вероятностей для критерия Колмагорова Р(0.56) = 0.90. Поэтому гипотеза о принадлежности опытных данных нормальному закону не отвергается, так как 0.9 > 0.6.

10. Находят величину доверительного интервала разброса среднего результата, отвечающего доверительной вероятности Pg = 95% . Для этого вы-

числяют среднее квадратическое отклонение среднего результата по формуле

Функции Лапласа. Для рассматриваемого примера доверительный интервал разброса среднего результата составляет

Jg =38.02−3.92≤ X <38.02+3.06.

Это значит, что с вероятностью, равной Pg =95%, можно утверждать,

что математическое ожидание составляет не менее 39.51 и не более 45.63.

28

Таким образом, задача решена.

Исследованием распределения вероятностей установлено, что рассматриваемый процесс следует нормальному закону с математическим ожидани-

ем M (x) = 38.02 .

Порядок выполнения работы

1. Записать условие задачи и исходные данные.

Внимательно изучить пример проверки гипотезы о принадлежности случайной величины к нормальному закону распределения.

2.Вычертить таблицу 1 и заполнить первые три строки, воспользовавшись результатами лабораторной работы № 1.

Провести расчет, используя табличный процессор Excel, и заполнить остальные строки таблицы.

Построить гистограмму и теоретическую кривую вероятности попадания в интервалы.

3.Проверить принятую гипотезу с помощью критерия согласия.

4.Сделать интервальную оценку математического ожидания и дать заключение.

29

Библиографический список Основная литература

1.Ключников, В. И. Основы научных исследований [Текст] : учеб. пособие / В. И. Ключников ; ВГЛТА. – Воронеж, 2002. – 100 с.

2.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – М. : Высш. школа, 1997. – 150 с.

Дополнительная литература 4. Статистические методы для ЭВМ [Текст] / под ред. К. Энслейна. – М. :

Наука, 1986. – 460 с.

30

Приложение Таблица П.1 Вероятность интегральной функции нормального закона для нормиро-

ванной и центрированной случайной величины