Шпора по Линалу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра алгебры и математической логики

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Методические указания к домашней контрольной работе

по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Часть 1

Москва

2005

− 3 −

Условия задач

Общие условия ко всем вариантам

Даны линейные операторы ϕ и ψ в пространстве V 3.

1.Найти матрицы операторов ϕ, ψ и ϕ ψ в базисе i, j, k.

2.Найти ядро и образ операторов ϕ и ψ. В случае ненулевого ядра описать их уравнениями.

3.Выяснить, существует ли обратный оператор для ϕ ψ. Если да, то описать его геометрический смысл; если нет, то указать причину.

1.Поворот вокруг оси а) OZ на 90°; б) OZ на 45°; в) OX на 45°; г) OX

на 30°; д) OY на 90°; е) OY на 60°.

2.Ортогональное проектирование на плоскость а) x + y + z = 0;

б) x – y + z = 0; в) x + y – z = 0.

3.Ортогональное проектирование на ось а) x = 0, y = z; б) x = z, y = 0;

в) x = y = z.

4.Зеркальное отражение относительно плоскости а) x + y + z = 0;

б) x – y + z = 0; в) x + y – z = 0.

5.Зеркальное отражение относительно оси а) x = y, z = 0; б) x = z, y = 0; в) x = y = z.

6.Векторное умножение на вектор а) a = i + j + k; б) a = i + j – k;

в) a = i – j + k; г) a = i + 2k; д) a = j – 2k; е) a = 2i – j.

− 4 −

§1. Определения и примеры

Пусть V – линейное пространство, т.е. множество, элементы которого мы назовем векторами, с двумя операциями: сложением векторов и умножением вектора на число из поля Р (Р = R или P = C). Эти операции обладают определенными «естественными» свойствами. Пусть также ϕ – отображение V в V, т.е. правило, описывающее, как по вектору x V находить вектор y V. При этом вектор у называется образом вектора х и обозначается у = ϕ (x).

Отображение ϕ: V → V называется линейным оператором, если оно обладает следующими свойствами.

1.ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), т.е. образ суммы двух векторов совпадает с суммой образов этих векторов.

2.ϕ(λx) = λϕ(x) – образ вектора, умноженного на число, совпадает с произведением образа этого вектора на то же число.

Отсюда вытекает, что если ϕ – линейный оператор в V, то

ϕ(α1x + α2y) = α1ϕ(x) + α2ϕ(y),

т.е. образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации образов этих векторов с теми же коэффициентами.

Примеры.

1. Рассмотрим произвольное линейное пространство V и в нем два оператора.

ϕ1(x) = 0 x V. ϕ1 называется нулевым оператором.

ϕ2(x) = x x V. ϕ2 называется тождественным оператором и обозначается id.

Линейность этих операторов проверяется без труда. (Проверьте!)

2. Рассмотрим линейное пространство V = R2, т.е. множество всех векторов плоскости, и отображение ϕ – поворот плоскости на угол π6 . Это

отображение является линейным оператором (см. рис. 1). Проверяем свойства:

ϕ(x1 + x2) = ϕ (x1) + ϕ (x2),

ϕ(λx1) = λϕ(x1).

Можно рассмотреть оператор поворота на произвольный угол α. Этот линейный оператор обозначается ϕα. Заметим, что при α = 2kπ ϕα

= id.

3. Пусть V = R3 – множество всех векторов трехмерного пространства. Отображение ϕ – ортогональное проектирование на плоскость OXY.

Для проверки линейности этого оператора воспользуемся известными свойствами проектирования.

ϕ(a + b) = прOXY (a + b) = прOXY a + прOXY b = ϕ(a) + ϕ(b); ϕ(λa) = прOXY (λa) = λпрOXY a = λϕ(a).

ϕ – оператор проектирования на плоскость – линейный оператор (проектор).

Рис. 2

φ(a + b)

− 8 −

ϕ(еn) = a1n e1 + … + ann en.

в данном базисе. В столбцах этой матрицы стоят координаты образов базисных векторов в рассматриваемом базисе.

Примеры.

Оператор ϕ – поворот на угол π6 :

ϕ(i) = (cos π6 ) i + (sin π6 ) j; ϕ(j) = (–sin π6 ) i + (cos π6 ) j.

Следовательно, матрицей поворота на угол π6 будет матрица