Линейная Алгебра Билеты 1 Курс 1 Семестр

Билет 10.

Теорема. Определитель есть единственная кососимметрическая полилинейная функция от строк4 матрицы, такая что для единичной матрицы е¼ значение равно единице.

Пусть нам дана функция f. Из е¼ полилинейности следует, что

Обратите внимание, что запись элемента матрицы как a1j1 означает, что на самом деле он находится в строке 1 и столбце j1, а вовсе не обязательно в том месте матрицы, где такие буквы

упоминаются.

Но кососимметричность f(A) означает, что, если в двух разных строках матрицы единицы стоят в одном и том же столбце (то есть ja = jb при a 6= b), значение f для такой матрицы равно 0. Получаем, что в каждом слагаемом все jx должны составлять подстановку. Заметим также, что в (10.1) фигурируют все возможные наборы jx. Поэтому (10.1) можем записать как

Подстановка есть произведение единичной подстановки и некоторого числа t транспозиций. Из кососимметричности f(A) следует, что если один раз поменять

местами две строки матрицы, то функция поменяет знак. Итак, слагаемое, использующее подстановку , нужно умножить на ( 1)t = sgn , поэтому

Если для единичной матрицы E f(E) = 1, то f(A) = det A.

Следствие. Значение кососимметрической полилинейной функции f от строк матрицы A равно det A f(E).

Билет 11.

Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть det(AB) = det A det B.

4Строки и столбцы матрицы полностью равноправны во всех демократических странах.

10

Обозначим AB как C = fcikg, det(XB) êàê d(X1; : : : ; Xn). Элемент cik ðà-

Pn

âåí j=1 aijbjk, тогда строка Ci равна Ai B. Определим функцию di(Ai) = det(C1; : : : ; Ci; : : : ; Cn), тогда

di(X + Y ) = det(C1; : : : ; (X + Y )B; : : : ; Cn) = det(C1; : : : ; XB + Y B; : : : ; Cn) = = det(C1; : : : ; XB; : : : ; Cn) + det(C1; : : : ; Y B; : : : ; Cn) = di(X) + di(Y ): (11.1)

Аналогично доказываем, что di( X) = di(X). Получаем, что функция d(A) полилинейна от строк A.

Докажем кососимметричность d:

d(A1; : : : ; X; : : : ; Y; : : : ; An) = det(C1; : : : ; XB; : : : ; Y B; : : : ; Cn) =

= det(C1; : : : ; Y B; : : : ; XB; : : : ; Cn) = d(A1; : : : ; Y; : : : ; X; : : : ; An): (11.2)

Таким образом, d(A) кососимметричная полилинейная функция от строк матрицы A. Согласно вышеизложенному следствию, d(A) = det A d(E), из чего следует det(AB) = det A det B.

4Линейное пространство. Линейная независимость

Îïð. Алгебраическое многообразие множество решений системы алгебраических уравнений f(x1; x2; : : : ; xn) = 0, где f многочлен.

Важным частным случаем алгебраического многообразия является линейное многообразие.

~

Îïð. Линейное многообразие множество решений системы линейных уравнений AX =

~

B.

В тр¼хмерном пространстве линейное многообразие можно представить геометрически как плоскость, прямую, точку, а также как пустое множество.

Îïð. Линейное пространство множество V некоторых объектов, называемых векторами, замкнутое относительно операций +: V V ! V и : R V ! V , удовлетворяющих следующим аксиомам:

1.8u; v 2 V ) u + v = v + u;

2.8u; v; w 2 V ) (u + v) + w = u + (v + w);

4.8u 2 V; ; 2 R ) u( + ) = u + u;

5.8u 2 V; ; 2 R ) ( + )u = u + u;

6.8u 2 V; ; 2 R ) ( )u = ( u);

7.8 2 ) ~ u V 0u = 0;

8.8u 2 V ) 1u = u.

Следует отметить, что слово ¾вектор¿ здесь и далее не означает вектора в привычном смысле. Линейное пространство вполне может содержать, к примеру, матрицы. Некоторые коллеги даже могут заметить, что восьми аксиомам удовлетворяет множество R.

Îïð. Линейное подпространство подмножество некоторого линейного пространства, замкнутое относительно сложения и умножения.

Óòâ. Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным подпространством.

Óòâ. Любое непустое линейное многообразие представимо как f x + u j x 2 V g, где V линейное подпространство, а u вектор.

11

Билет 12.

Докажите, что многочлены степени не выше d образуют линейное пространство.

Для решения задачи нужно показать, что многочлены степени не выше d:

замкнуты относительно сложения и умножения на скаляр;

удовлетворяют восьми аксиомам линейного пространства.

Верность аксиом вытекает из соответствующих свойств множества R. Доказатель-

ство замкнутости данного множества многочленов также не представляет большой сложности. В качестве примера покажем, что многочлены степени не выше d замкнуты относительно сложения:

dxd + d 1xd 1 + + 1x + 0 + dxd + d 1xd 1 + + 1x + 0 =

= ( d + d)xd + ( d 1 + d 1)xd 1 + + ( 1 + 1)x + ( 0 + 0); (12.1)

что также является многочленом степени не больше d. Замкнутость относительно умножения на скаляр доказывается аналогично.

Îïð. Векторы v1; v2; : : : ; vn называются линейно независимыми , если уравнение

1v1 + 2v2 + + nvn = 0

не имеет нетривиальных решений.

Билет 13.

Докажите, что несколько векторов линейно зависимы в том и только том случае, когда один из них равен линейной комбинации остальных.

Необходимость: по определению линейная зависимость означает наличие таких чисел 1; : : : ; n, ÷òî 9 i 6= 0 è

Получаем, что вектор vi есть линейная комбинация остальных данных векторов.

Достаточность: если вектор vi равен линейной комбинации других векторов vx, то верно (13.2). Перенеся vi с противоположным знаком в левую часть равенства, получаем нетривиальное решение уравнения (13.1), так как коэффициент при vi отличен от нуля и равен 1.

Îïð. Линейная оболочка векторов u1; u2; : : : ; un множество всех их линейных комбина- ций. Обозначается L(u1; u2; : : : ; un) èëè hu1; u2; : : : ; uni.

Линейная оболочка также является линейным подпространством.

Говорят, что L(u1; u2; : : : ; un) порождено векторами u1; u2; : : : ; un или натянуто на них.

Билет 14.

Докажите, что следующие множества являются подпространствами в Rn: ëè-

нейная оболочка нескольких векторов; множество решений однородной системы линейных уравнений от n неизвестных.

12

Доказать, что множество является подпространством, довольно просто. Спра-

ведливость аксиом для него уже установлена, так как оно вложено в линейное пространство. Оста¼тся только доказать замкнутость.

Провед¼м доказательство для линейной оболочки векторов v1; v2; : : : ; vn. Линей-

ная оболочка это множество всех их линейных комбинаций. Из определения видно, что сумма линейных комбинаций и умноженная на скаляр линейная комбинация сами суть линейные комбинации.

Рассмотрим теперь множество решений однородной системы линейных уравне-

ментальной системой решений .

Часто встречается ортонормированный базис , состоящий из векторов вида (x; 0; : : : ; 0), (0; x; : : : ; 0), : : : , (0; 0; : : : ; x). В частности, координаты вектора в таком базисе используются в эвклидовой геометрии.

Билет 15.

Докажите, что любое пространство, порожд¼нное конечным набором векторов, имеет конечный базис.

Предположим противное. Пусть есть некое линейное пространство V , порож-

д¼нное конечным набором векторов a1; a2; : : : ; an, базис которого бесконечен. По- скольку линейное пространство замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр, оно содержит все возможные линейные комбинации векторов ai, òî åñòü является их линейной оболочкой. Тогда, если векторы линейно независимы, то они образуют базис V , что противоречит предположению о бесконечности базиса.

Если же среди векторов ai есть линейно зависимые от остальных, то, отбросив их, также получаем базис V , что приводит к тому же самому противоречию.

Îïð. Размерность линейного пространства V есть количество векторов в его базисе. Обозначается dim V .

Îïð. Ранг системы векторов u1; u2; : : : ; un размерность линейной оболочки этих векторов. Обозначается Rg(u1; u2; : : : ; un), а также бесчисленными другими способами.

Óòâ. Все базисы некоторой системы векторов равномощны.

Теорема. Если в линейном подпространстве V , содержащем векторы длины n, есть n линейно незави- симых векторов vi, то они образуют базис.

Очевидно, что одним из базисов для V является стандартный базис S: (1; 0; : : : ; 0), (0; 1; : : : ; 0), : : : , (0; 0; : : : ; 1). Чтобы доказать, что взятые нами векторы тоже образуют базис, нужно выразить через него

S. Представим векторы vi как строки матрицы V . Поскольку она не является вырожденной вследствие линейной независимости строк, у не¼ есть единственный канонический вид, строками которого являются

Следствие. В линейном пространстве V , содержащем векторы длины n, не может существовать n + 1 линейно независимых векторов.

Билет 16.

Теорема. Размерность подпространства не превосходит размерности пространства.

Рассмотрим линейное пространство V и его подпространство V 0. Предположим, ÷òî dim V = n, íî dim V 0 = m > n. Тогда в подпространстве V 0 åñòü m линейно

13

независимых векторов v1; v2; : : : ; vm. Íî V 0 вложено в V , поэтому эти векторы входят и в V . Если размерность пространства равна n, то, как доказано выше, в н¼м не может быть даже n + 1 линейно независимых векторов. Следовательно, v1; v2; : : : ; vn линейно зависимы.

Найдите размерность пространства многочленов степени не выше d.

Базисом пространства многочленов степени не выше d является набор векторов x0; x1; : : : ; xd. Это следует уже из записи многочлена. В самом деле, если

p(x) = adxd + + a1x1 + a0x0;

òî a0; a1; : : : ; ad координаты p(x) в предложенном базисе. Таким образом, размерность данного пространства равна d + 1.

Билет 17.

Докажите, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство. Как его размерность связана с рангом матрицы системы?

Пусть в системе вида AX = 0 n уравнений и m неизвестных; тогда решение системы есть вектор в Rm, а справедливость аксиом для таких векторов доказывается тривиально. Оста¼тся доказать замкнутость множества решений. Пусть X1 è X2 решения системы уравнений, тогда A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0+0 = 0, òî åñòü X1+X2 тоже решение системы уравнений. Кроме того, A ( X1) = AX1 =0 = 0, произведение решения и скаляра тоже является решением. Таким обра-

зом, замкнутость множества решений системы линейных уравнений относительно сложения и умножения на скаляр доказана.

Исследуем размерность множества решений, для этого построим базис. Таким базисом является фундаментальная система решений. В ней Rg A линейно незави-

симых строк, а значит, столько же независимых столбцов и базисных переменных. Стало быть, в базисе m Rg A векторов, по одному на каждую свободную пере-

менную. Получаем: в множестве решений системы AX = 0 размерность множества решений равна разности количества переменных и ранга A.

Множество таких X, что AX = 0, также называют ядром A и обозначают Ker A. В свою очередь, множество всех таких Y , что AX = Y для некоторого X, именуется образом и обозначается Im A.

Размерность образа в данном случае равна рангу матрицы. Таким образом, наше утверждение тогда записывается как

dim Ker A + dim Im A = m:

В таком виде оно более известно под названием теоремы о ранге и дефекте (rank nullity theorem).

Îïð. Сумма линейных подпространств U1; U2; : : : ; Un наименьшее пространство, со- держащее все Ui, òî åñòü

fu1 + u2 + + un j u1 2 U1; u2 2 U2; : : : ; un 2 Ung:

Билет 18.

Докажите, что сумма и пересечение двух подпространств U и W снова подпространства. Как их размерности связаны с размерностями U и W ?

Рассмотрим сначала сумму подпространств. Пусть u 2 U, w 2 W , но тогда иu 2 U, и w 2 W . Отсюда очевидно следует, что u + w входит в U + W при любых и . Также из произвольности и можно показать, что dim(U + V ) 6 dim U + dim V . В самом деле, линейное подпространство U + W натянуто как на

14

базис U (поскольку 8u 2 U ) U 2 U + W ), так и на базис W (аналогично). Если

оба базиса линейно независимы, то размерность суммы равна сумме размерностей; в противном случае часть векторов избыточна и не входит в базис U + W .

Теперь обратимся к пересечению подпространств U и W . В него входят все векторы v, входящие в оба подпространства; но в таком случае в оба подпространства

входят и все v, и все v1 + v2. Таким образом, U \W линейное подпространство. Его размерность не превосходит minfdim U; dim W g, так как векторов в его базисе не больше, чем в меньшем из базисов U и W . В самом деле, раз в U \ W входят только векторы, имеющиеся и в U, и в W , то подобное справедливо и для базиса

U \ W .

Îïð. Ранг матрицы определяется следующим образом:

строковый ранг: ранг системы векторов, состоящей из строк матрицы;

столбцовый ранг: ранг системы векторов, состоящей из столбцов матрицы;

ранг по Фробениусу: порядок наибольшего ненулевого минора.

Билет 19.

Теорема. Все определения ранга матрицы эквивалентны.

Предположим, что в матрице A порядок наибольшего ненулевого минора (обозначенного D) равен n. Перенумеруем строки и столбцы матрицы так, чтобы этот

минор оказался в е¼ левом верхнем углу. Докажем, что в таком случае в матрице ровно n линейно независимых столбцов. В самом деле, столбцы 1, 2, : : : , n

независимы, иначе минор был бы равен 0.

Исследуем все определители i, окаймляющие D и содержащие l-й столбец (l > n) и некоторую i-ю строку. Если i > n, то по условию этот определитель равен нулю.

В противном же случае определитель содержит две одинаковые строки и потому тоже равен нулю.

Рассмотрим алгебраические дополнения элементов последней строки i. Äëÿ ail таким дополнением будет D, а для остальных элементов

Легко заметить, что вместо матрицы A с равным успехом можно было рассмат- ривать AT , так как определитель не меняется при транспонировании. Таким образом, строковый ранг равен столбцовому.

15

Билет 20.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений AX = B являет-

ся совместной в том и только том случае, когда ранг е¼ матрицы равен рангу расширенной матрицы, то есть Rg A = Rg(AjB).

Необходимость: пусть система совместна и имеет некоторое решение x1, x2,

: : : , xn. Тогда B представляет собой сумму всех остальных столбцов с коэффици- ентами x1, x2, : : : , xn. Следовательно, последний столбец расширенной матрицы линейно зависим от остальных, то есть Rg A = Rg(AjB).

Достаточность: предположим, что Rg A = Rg(AjB). Тогда в матрице ровно Rg A

линейно независимых столбцов. Однако количество столбцов в расширенной матрице как минимум на 1 больше ранга A. Значит, столбец B может быть выражен

через остальные иначе говоря, система линейных уравнений AX = B совместна.

Óòâ. Пусть имеется система линейных уравнений AX = B, привед¼нная к ка-

ноническому виду, где x1; x2; : : : ; xs базисные переменные, xs+1; xs+2; : : : ; xn свободные переменные. Тогда е¼ решение вычисляется так:

P

для базисной переменной xk: xk = i>s( akixi);для свободной переменной xl: xl 2 R.

16

Определения

1.Сложение векторов в Rn: (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn). Умножение вектора в Rn на число: (a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an).

2.Скалярное произведение векторов в Rn:

(a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn:

3. Длина (норма) вектора в Rn квадратный корень скалярного квадрата вектора:

pq

jxj = x x = x21 + x22 + + x2n:

4. Подстановка из n элементов биекция из множества натуральных чисел не больше n

â ñåáÿ æå.

5.Произведение подстановок есть их композиция.

6.Ч¼тность подстановки ч¼тность количества инверсий в подстановке. (Эквивалентно: ч¼тность количества транспозиций в разложении подстановки на транспозиции.)

7.Знак подстановки (sgn ) равен ( 1)i, где i количество инверсий в перестановке (либо транспозиций в е¼ разложении). Иначе: sgn равно 1, если подстановка ч¼тная, и 1, если она неч¼тная.

8.Знак произведения подстановок равен произведению знаков подстановок.

9.Знаки взаимно обратных подстановок равны.

10.Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n:

где подстановка, Sn множество всех подстановок из n элементов.

11.Элементарные преобразования строк матрицы:

(a)перемена двух строк матрицы местами;

(b)прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на число;

(c)умножение строки на ненулевое число.

12.Определитель матрицы меняет знак при перестановке строк матрицы, не меняется при прибавлении к строке другой строки с некоторым коэффициентом, умножается на при умножении строки на .

13.Определитель матрицы A порядка n раскладывается по строке x следующим образом:

nn

XX

ãäå Axj алгебраическое дополнение элемента, а Mxj его дополнительный минор.

14. Определитель матрицы A порядка n раскладывается по столбцу y следующим образом:

nn

XX

17

15.Обратной матрицей A 1 к квадратной невырожденной матрице A называется такая матрица, что A A 1 = E.

16.Невырожденной матрицей называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

17.Транспонированная матрица AT матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

18.Произведением матриц An m è Bm r называется такая матрица Cn r, ÷òî

ãäå ~

A союзная матрица к A, состоящая из алгебраических дополнений к соответствующим элементам A.

20.Система линейных уравнений называется совместной, если она обладает хотя бы одним решением.

21.Система линейных уравнений называется определ¼нной, если у не¼ ровно одно решение.

22.Определитель обратной матрицы к A обратен к определителю A: det A 1 = det1 A .

23.Полилинейной функцией называется функция от нескольких аргументов, линейная

по каждому из них. Иначе, f полилинейна, когда f(: : : ; x + y; : : : ) = f(: : : ; x; : : : ) + f(: : : ; y; : : : ) и f(: : : ; x; : : : ) = f(: : : ; x; : : : ).

24.Кососимметрической функцией называется функция, меняющая знак при перестановке любых двух аргументов.

25.Матрица называется ступенчатой, если номера ведущих элементов е¼ ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, а нулевые строки (если они есть) стоят в конце.

26.Матрица приведена к каноническому виду, если она является ступенчатой, ведущие элементы е¼ ненулевых строк равны 1, а все остальные элементы в их столбцах нулевые.

27.Линейным пространством называется множество V , содержащее так называемые век-

торы, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляр и удовлетворяющее следующим аксиомам:

(a)8u; v 2 V ) u + v = v + u;

(b)8u; v; w 2 V ) (u + v) + w = u + (v + w);

(d)8u 2 V; ; 2 R ) u( + ) = u + u;

(e)8u 2 V; ; 2 R ) ( + )u = u + u;

(f)8u 2 V; ; 2 R ) ( )u = ( u);

(g)8 2 ) ~ u V 0u = 0;

(h)8u 2 V ) 1u = u.

18

28.Линейной оболочкой L(v1; v2; : : : ; vn) называется множество всех линейных комбинаций векторов v1; v2; : : : ; vn.

29.Система векторов v1; v2; : : : ; vn называется линейно независимой, если уравнение

~1v1 + 2v2 + + nvn = 0

не имеет нетривиальных (то есть ненулевых) решений.

30.Линейное пространство называется конечно порожд¼нным, если в н¼м можно найти конечный базис.

31.Линейным подпространством называется подмножество линейного пространства, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляр.

32.Базис линейного пространства V набор линейно независимых векторов, линейная оболочка которых равна V .

33.Размерность линейного пространства V (dim V ) мощность базиса V .

34.Размерность пространства многочленов степени не выше d равна d + 1.

35.Размерность пространства Rn равна n.

36.Вопрос снят.

37.Вопрос снят.

38.Ранг матрицы определяется следующим образом:

строковый ранг: ранг системы векторов, состоящей из строк матрицы;

столбцовый ранг: ранг системы векторов, состоящей из столбцов матрицы;

ранг по Фробениусу: порядок наибольшего ненулевого минора.

Все эти определения эквивалентны.

39.Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений AX = 0 равна n Rg A, где n количество столбцов в A.

40.Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений есть базис линейного пространства е¼ решений.

41.Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений AX = B совместна тогда

и только тогда, когда ранг е¼ матрицы равен рангу расширенной матрицы, то есть

Rg A = Rg(AjB).

42.Линейное многообразие есть множество решений некоторой системы линейных уравнений.

43.Если ранги обычной и расширенной системы не равны, то в силу теоремы КронекераКапелли система несовместна, и размерность линейного многообразия решений равна 0. Иначе размерность линейного многообразия равна n Rg A, как и в случае однородной системы линейных уравнений.

19