Линейная Алгебра Билеты 1 Курс 1 Семестр

1Основные операции над векторами и матрицами

На множестве n-мерных векторов определены следующие операции:

сложение: (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn);

умножение на скаляр: (a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an);

скалярное произведение1: (a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn.

Билет 1.

Докажите дистрибутивность, коммутативность сложения и скалярного произведения, ассоциативность сложения в n-мерном евклидовом пространстве 2.

Все доказательства проводятся через ссылки на соответствующие свойства вещественных чисел.

Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения:

A(B + C) = (a1; a2; : : : ; an) ((b1; b2; : : : ; bn) + (c1; c2; : : : ; cn)) =

=(a1; a2; : : : ; an) (b1 + c1; b2 + c2; : : : ; bn + cn) = a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2)+

+: : : an(bn + cn) = a1b1 + a2b2 + + anbn + a1c1 + a2c2 + + ancn = AB + AC;

Для матриц определены следующие операции:

сложение: An m + Bn m = Cn m, åñëè cij = aij + bij;

умножение: An m Bm r = Cn r, если выполняются следующие эквивалентные условия:

cik = Ai Bk = Pm aijbjk;

j=1

1¾Вообще говоря¿ c , скалярное произведение не является операцией, так как сопоставляет двум векторам число. Операция же в общем случае отображает множество Xn в X. Однако пока неизвестно, да¼т ли сие

тайное знание право не доказывать свойств скалярного произведения.

2Здесь фактически рассматриваются координаты вектора относительно определ¼нного базиса; см. стр. 13.

1

Ci = Ai B;

Ck = A Bk.

Билет 2.

Докажите равенства (A + B)C = AC + BC и (A B) C = A (B C), где все выражения в левой части имеют смысл.

Докажем сначала дистрибутивность умножения относительно сложения: пусть

P P P P

rik = j=1 pijcjk = j=1(aij + bij)cjk = j=1 aijcjk + j=1 bijcjk = sik + tik, òî

åñòü (A + B)C = P C = R = S + T = AC + BC.

Рассмотрим теперь ассоциативность умножения произвольных матриц. Обозна- ÷èì èõ êàê An m, Bm r, Cr t. Тогда

Последний переход возможен, так как (x1 + + xn)y = x1y + + xny. В свою очередь,

2Подстановки

Îïð. Подстановка порядка n биекция из множества натуральных чисел не больше n

íà ñåáÿ.

Îïð. Единичная (тождественная) подстановка подстановка, сопоставляющая каждому числу себя же. Обозначается Id.

Для подстановок одинакового порядка определена операция произведения, эквивалентная композиции: = .

Îïð. Инверсией в подстановке называется такая пара элементов i и j, что i < j, но

(i) > (j).

Îïð. Транспозицией ij называется подстановка вида

Óòâ. Любая подстановка может быть разложена в произведение независимых циклов.

Билет 3.

Теорема. Любая подстановка раскладывается в произведение транспозиций.

Докажем теорему по индукции, в зависимости от порядка n:

n = 1: существует единственная подстановка, равная Id;

2

n = 2: существуют две подстановки (1; 2) = Id и (2; 1) = 1;2;

n > 2: пусть предположение индукции верно при порядке n 1 для произ-

вольной подстановки . Любая подстановка порядка n представима либо как

Очевидно, что единичная подстановка Id раскладывается в произведение 0 транспозиций.

Îïð. Ч¼тность подстановки равна ч¼тности количества инверсий в ней.

Îïð. Знаком подстановки называется число sgn = ( 1)t, где t количество инверсий

в разложении подстановки.

Теорема. Умножение на транспозицию меняет знак подстановки.

Пусть некоторая подстановка умножается на транспозицию ij, ãäå i < j. Обозна- чим буквой l минимум из i и j, а r максимум. Рассмотрим следующие классы элементов (номер элемента обозначаем k):

k < l; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;

k < l; i < k < j: смена положения i не нарушает ни одну инверсию;

r < k; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;

r < k; i < k < j: смена положения j не нарушает ни одну инверсию;

l < k < r; k < l < r ëèáî k < r < l: каждой инверсии l > k после транспозицииl è r будет соответствовать инверсия r > k;

l < k < r; l < r < k ëèáî r < l < k: каждой инверсии k > r после транспозиции

Ни в одном из рассмотренных случаев не получаем оснований для смены знака подстановки. Но такое основание дают элементы i и j. В самом деле, если l < r, то после транспозиции инверсия появляется, а в противном случае исчезает.

Следствие. Для любой подстановки ч¼тности количества инверсий и количества транспозиций в разложении равны.

Билет 4.

Теорема. Знак произведения подстановок равен произведению их знаков.

Разложим подстановки 1 è 2 íà t1 è t2 транспозиций соответственно. Пусть ни одна транспозиция не встречается в обоих разложениях; тогда, очевидно, 1 2 разлагается на t1 + t2 транспозиций, а sgn( 1 2) = ( 1)t1+t2 = ( 1)t1 ( 1)t2 = sgn 1 sgn 2. Если же некоторая транспозиция ij

Óòâ. Все транспозиции неч¼тны.

3

Любую транспозицию ij можно представить как Id ij. Умножение на транспо- зицию меняет знак подстановки. Знак Id равен 1, тогда знак транспозиции равен

3 Определитель

Îïð. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n равен

X

sgn a1 1 a2 2 : : : an n ;

8 2Sn

ãäå Sn множество всех подстановок порядка n.

Для определителя должны выполняться следующие свойства:

полилинейность:

det(A1; A2; : : : ; X + Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) + det(A1; A2; : : : ; Y; : : : );

det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : );

кососимметричность: det(A1; A2; : : : ; X; : : : ; Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; Y; : : : ; X; : : : );

det E = 1.

Билет 5.

Как определитель вед¼т себя при элементарных преобразованиях строк матрицы?

Рассмотрим три элементарных преобразования: перестановку строк, умножение

строки на число и сложение двух строк.

Перестановка строк i и j приводит к тому, что каждая подстановка из определения детерминанта заменяется на ij. Тогда знак подстановки изменяется; стало быть, и весь определитель умножается на 1. В то же время определитель

содержит все возможные подстановки, а новая матрица содержит все элементы старой, тогда новый определитель содержит те же самые слагаемые с точностью до знака. Итак, при перестановке строк определитель всего лишь меняет знак.

Теперь умножим i-ю строку матрицы на число . Распишем детерминант по определению:

2Sn

Получаем, что множитель можно вынести за знак определителя.

Наконец, рассмотрим определитель матрицы, в которой к некоторой строке i была

4

прибавлена строка j. По определению:

2Sn

X

+sgn a1 1 : : : aj i : : : aj j : : : an n = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An)+

8 2Sn

+ det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An): (5.2)

Докажем такое утверждение: определитель матрицы X с двумя одинаковы-

ми строками равен 0. В самом деле, как только что было доказано, перемена мест строк меняет знак определителя. Но если мы поменяем местами две равные строки, матрица не изменится, и поэтому det X = det X, что верно только при

det X = 0.

Пользуясь этим свойством, получим:

(5.2) = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An) + det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An) =

= det A + 0: (5.3)

Таким образом, если к одной строке матрицы прибавить другую, определитель не

При транспонировании i-я строка переходит в i-й столбец и наоборот. Тогда

ãäå = 1. Получаем фактически формулу для det A. Стало быть, определитель при транспонировании не меняется.

Теорема. Определитель матрицы с углом нулей, то есть вида ( A0 BC ), равен det A det C.Как доказано в следствии из билета 10, любая кососимметрическая полилинейная функ-

ция от строк или столбцов3 матрицы представима как (X) = det X (E), где, очевидно, (E) можно задавать любым и получать разные функции. Определим такую функцию

f(A) = det ( A0 BC ). Е¼ кососимметричность относительно столбцов A следует из соответствующего свойства определителя. Полилинейность же вытекает из того, что столбцы вида Ai

0

не теряют такой вид при сложении и умножении на скаляр, так как нули в нижней части остаются нулями при таких преобразованиях. Итак,

f(A) = det A f(E) = det A det ( E0 BC ) :

Зададим такую полилинейную кососимметрическую функцию g(C) от строк C, что g(C) = det ( E0 BC ). По соображениям, подобным привед¼нным выше, получаем

f(A) = det A det C det ( E0 BE ) :

Матрицу ( E0 BE ) можно привести к единичной элементарными преобразованиями (так как в нижней подматрице есть строки, содержащие только одну единицу), прич¼м определитель

от этого не поменяется. Но det E = 1, получаем

det ( A0 BC ) = det A det C:

3В этом доказательстве строки и столбцы матрицы имеют значимые различия.

5

Îïð. Минор некоторой матрицы определитель матрицы, полученной из исходной пут¼м удаления части строк и/или столбцов.

Îïð. Дополнительный минор элемента aij матрицы A минор, полученный пут¼м уда-

ления из A строки i и столбца j. Обозначается Mij.

Îïð. Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A равно ( 1)i+j det Mij. Обозна- чается Aij.

Матрица, состоящая из алгебраических дополнений, называется союзной матрицей и обозначается ~

A.

Билет 6.

Теорема. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n раскладыва-

ется по строке x в сумму

n

axjAxj:

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, лежащих на е¼ главной диагонали.

Фигурирующая в таком разложении матрица тоже является нижнетреугольной, поэтому и к ней применимо такое же действие. Выполнив разложение n 1 раз,

6

Îïð. Обратная матрица к невырожденной матрице A такая матрица A 1, ÷òî A A 1 = E.

Билет 7.

Óòâ. det A 1 = det 1 A.

Как доказано в билете 11 (стр. 10), det AB = det A det B. Тогда 1 = det E = det(A A 1) = det A det A 1, òî åñòü det A 1 =

Теорема. У любой невырожденной матрицы X существует единственная обрат-

1, равная 1 ~T . ная матрица X det X A

Предположим, что существует такая матрица C = fcijg, что XC = E, а матрица X невырожденная. Тогда XCj = Ej. Согласно теореме Крамера у этого уравнения

есть единственное решение относительно Cj, вычисляемое по формуле

С помощью рассуждений, аналогичных провед¼нным в (6.2) и (6.3), получаем:

Распишем алгебраическое дополнение xij êàê AXij = ( 1)i+j MijX, а алгебраическое дополнение yji êàê AYji = ( 1)j+i MjiY . Докажем, что миноры MijX è MjiY равны между собой. В самом деле, минор MijX есть определитель матрицы, полученной из X удалением строки i и столбца j. Но при траспонировании X i-я строка перешла

в i-й столбец, а j-й столбец в j-ю строку. Получаем, что оба минора получены

удалением из матрицы одних и тех же элементов. Кроме того, транспонирование не меняет определитель, поэтому MijX = MjiY , из чего следует и равенство AXij =

AYji.

T ~ T , из чего выводим Полученный результат можно переписать как Af = (A)

7

Билет 8.

Теорема. Решение системы линейных уравнений AX = B, прич¼м такой, что det A 6= 0, можно вычислить с помощью метода Крамера:

Представим систему в таком виде:

>

>

>

:

Здесь одно из решений системы. Будем искать неизвестное i. Умножим обе части j-го уравнения (где j пробегает по номерам всех уравнений, от 1 до n) на Aji, сложим получившиеся равенства и вынесем за скобки. Получим:

1(A1ia11 + A2ia21 + + Anian1) + 2(A1ia12 + A2ia22 + + Anian2)+

++ i(A1ia1i + A2ia2i + + Aniani) + + n(A1ia1n + A2ia2n + + Aniann) =

=A1ib1 + A2ib2 + + Anibn: (8.2)

Заметим, что все суммы в скобках представляют собой определители матриц, полученных из A заменой элемента axi, находящегося в i-м столбце, на множитель при алгебраическом дополнении Axi (x пробегает по всем номерам строк). Более того, почти все определители в левой части равны нулю, так как содержат два одинаковых столбца. Не равен нулю только коэффициент при i, представляю-

Êстрокам матрицы применимы следующие элементарные преобразования:

1.перемена двух строк матрицы местами;

2.прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на число;

8

3.умножение строки на ненулевое число.

Билет 9.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных уравнений.

Преобразование 1 вида фактически меняет местами два уравнения, что никак не меняет множества решений.

ïðè÷¼ì b1x1 + b2x2 + + bnxn равно некоторому m. Но (9.1) = l + m, что верно

тогда и только тогда, когда верны исходные равенства то есть когда множество решений системы не меняется.

Если с помощью преобразования 2 вида прибавим к строке е¼ же, умноженную на 1, то получим элементарное преобразование 3 вида, умножение строки на

. Таким образом, доказательство теоремы для преобразования 3 вида сводится к вышепривед¼нному.

Теорема. Пут¼м элементарных преобразований любую матрицу можно привести к каноническому виду.

Пусть в матрице A первые k 1 столбцов уже приведены к каноническому виду, прич¼м построено s 1 ступеней. Докажем, что и первые k столбцов также можно привести к каноническому виду. Если все элементы в k-м столбце, находящиеся в строке s или после не¼, нулевые, то такой канонический вид уже найден. Рассмотрим теперь случай, когда существует ajk 6= 0, где j > s. Применим элементарное

Тогда в столбце k все элементы, кроме ask, равны нулю. Применим преобразо-

вание 3 вида и умножим столбец на a1 , чтобы ask приравнять единице. Таким

sk

образом, получаем искомый канонический вид первых k столбцов матрицы A.

Теорема. Канонический вид матрицы единственный. Иначе:

Теорема. Канонический вид матрицы A однозначно восстанавливается по множеству решений системы линейных уравнений AX = 0.

Пусть известно, что в системе ровно s базисных переменных, тогда канониче- ский вид K восстанавливается так: если 8i 6 s, то kii = 1, другие элементы i-х

можно однозначно восстановить коэффициенты.

Осталось только определить, сколько переменных являются главными, а сколько свободными. Это можно сделать, пользуясь следующим свойством: значение свободной переменной невозможно определить по значениям расположенных после не¼ переменных. Таким образом, свободные переменные можно определить также однозначно.

В общем случае свободные переменные могут не располагаться в одной части матрицы; в таком случае уже нельзя отличить свободные переменные от базисных по индексу, но основная идея доказательства оста¼тся прежней.

9